新編數(shù)學(xué)北師大版精品資料第 1 課時正切函數(shù)的定義正切函數(shù)的圖像與性質(zhì)核心必知1正切函數(shù)(1)定義：如果角滿足：R R，2k(kZ Z)，那么，角的終邊與單位圓交于點P(a，b)，唯一確定比值ba.根據(jù)函數(shù)的定義，比值ba是角的函數(shù)，我們把它叫作角的正切函數(shù)，記作ytan_，其中R R，2k，kZ Z.(2)與正弦、余弦函數(shù)的關(guān)系：sinxcosxtan_x(3)三角函數(shù)：正弦、余弦、正切都是以角為自變量，以比值為函數(shù)值的函數(shù)，它們統(tǒng)稱為三角函數(shù)(4)正切值在各象限內(nèi)的符號如圖2正切線單位圓與x軸正半軸交于點A，過點A作x軸的垂線AT，與角的終邊或其反向延長線交于點T.則稱線段AT為角的正切線當(dāng)角的終邊在y軸上時，角的正切線不存在3正切函數(shù)的圖像和性質(zhì)函數(shù)性質(zhì)ytanx圖像續(xù)表函數(shù)性質(zhì)ytanx定義域x|xR R 且xk2，kZ Z值域R R周期性最小正周期為T奇偶性奇函數(shù)單調(diào)性在(k2，k2)(kZ Z)上是增加的對稱性圖像的對稱中心(k2，0)kZ Z問題思考1你能描述正切曲線的特征嗎？提示：正切曲線是被互相平行的直線xk2(kZ Z)所隔開的無窮多支曲線組成的，是間斷的，它沒有對稱軸，只有對稱中心2正切曲線在整個定義域上都是增加的嗎？提示：不是正切函數(shù)定義域是x|xk2，kZ Z，正切曲線在每一個開區(qū)間(k2，k2)(kZ Z)上是增加的，它是周期函數(shù)，但在整個定義域上不是增加的3函數(shù)y|tanx|的周期是2嗎？提示：不是y|tanx|的周期仍為.講一講1已知 tan2，利用三角函數(shù)的定義求 sin和 cos.嘗試解答在的終邊上取一點P(a，2a)且a0，則有xa，y2a，ra24a2 5|a|.tan20，在第一象限或第三象限當(dāng)在第一象限時，a0，則r 5a.sinyr2a5a2 55，cosxra5a55.當(dāng)在第三象限時，a0，則r 5a.sinyr2a 5a2 55，cosxra 5a55.1若P(x，y)是角終邊上任一點，則 sinyr，cosxr，tanyx(x0)，其中rx2y2.2當(dāng)角的終邊上的點的坐標(biāo)以參數(shù)形式給出時，要根據(jù)問題的實際情況及解題的需要對參數(shù)進(jìn)行分類討論練一練1角的終邊經(jīng)過點P(b，4)且 cos35，求 tan的值解：由已知可知點P在第二象限，b0.cos35，bb21635，解得b3，tan43.講一講2畫出函數(shù)y|tanx|的圖像，并根據(jù)圖像寫出使y1 的x的集合嘗試解答y|tanx|tanx，kxk2， （kZ Z） ，tanx，k2xk， （kZ Z） ，畫出其圖像，如圖所示實線部分由圖像可知x的集合為x|k4xk4，kZ Z1三點兩線畫圖法“三點”是指4，1，(0，0)，4，1；“兩線”是指x2和x2.在三點、兩線確定的情況下，類似于五點法作圖，可大致畫出正切函數(shù)在2，2 上的簡圖，然后向右、向左擴展即可得到正切曲線2如果由yf(x)的圖像得到y(tǒng)f(|x|)及y|f(x)|的圖像，可利用圖像中的對稱變換法完成；即只需作出yf(x)(x0)的圖像，令其關(guān)于y軸對稱便可以得到y(tǒng)f(|x|)(x0)的圖像；同理只要作出yf(x)的圖像，令圖像“上不動下翻上”便可得到y(tǒng)|f(x)|的圖像3利用函數(shù)的圖像可直觀地研究函數(shù)的性質(zhì)，如判斷奇偶性、周期性、解三角不等式等練一練2多維思考根據(jù)講 2 中函數(shù)y|tanx|的圖像，討論該函數(shù)的性質(zhì)解：(1)定義域：x|xR R，x2k，kZ Z(2)值域：0，)(3)周期性：是周期函數(shù)，最小正周期為.(4)奇偶性：圖像關(guān)于y軸對稱，函數(shù)是偶函數(shù)(5)單調(diào)性：在每一個區(qū)間(2k，k(kZ Z)上是減少的，在每一個區(qū)間k，2k(kZ Z)上是增加的(6)對稱性：對稱軸xk2，kZ Z.講一講3(1)求函數(shù)ytan12x4 的單調(diào)區(qū)間(2)比較 tan214與 tan175的大小嘗試解答(1)ytanx，在2k，2k(kZ Z)上是增加的，2k12x42k，kZ Z.2k2x2k32，kZ Z，即函數(shù)ytan12x4 的單調(diào)遞增區(qū)間是22k，322k(kZ Z)(2)tan214tan45tan4，tan175tan325tan25.又函數(shù)ytanx在(0，2)內(nèi)單調(diào)遞增，而 04252，tan4tan25，即tan214tan175.1正切函數(shù)在每一個單調(diào)區(qū)間內(nèi)都是增加的，在整個定義域內(nèi)不是增加的，另外正切函數(shù)不存在減區(qū)間2對于函數(shù)yAtan(x)(A，是常數(shù))的單調(diào)區(qū)間問題，可先由誘導(dǎo)公式把x的系數(shù)化為正值，再利用“整體代換”思想，求得x的范圍即可3比較兩個正切函數(shù)值的大小，要先利用正切函數(shù)的周期性將正切值化為區(qū)間2，2 內(nèi)兩角的正切值，再利用正切函數(shù)的單調(diào)性比較大小練一練3函數(shù)f(x)tan(2x3)的單調(diào)遞增區(qū)間為_解析：由k22x3k2(kZ Z)，得k212xk2512(kZ Z)，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為(k212，k2512)(kZ Z)答案：(k212，k2512)(kZ Z)求函數(shù)y11tanx的定義域錯解由 1tanx0 得 tanx1，解得xk4，kZ Z，函數(shù)的定義域為x|xk4，kZ Z錯因求函數(shù)的定義域不僅考慮使函數(shù)式有意義， 還得考慮正切函數(shù)本身固有的xk2，kZ Z 這一條件上面的解法只考慮了 1tanx0，而沒有考慮xk2，kZ Z，因而是錯誤的正解由1tanx0，xk2，kZ Z，得xk4且xk2，kZ Z.函數(shù)的定義域為x|xk4且xk2，kZ Z.1函數(shù)ytan(x)是()A奇函數(shù)B偶函數(shù)C既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)D非奇非偶函數(shù)解析：選 Aytan(x)tanx.此函數(shù)是奇函數(shù)2函數(shù)ytan(x4)的定義域是()A.x|x4B.x|x4C.x|xk4，kZ ZD.x|xk4，kZ Z解析：選 D由x4k2，kZ Z 得，xk4，kZ Z，函數(shù)的定義域為x|xk4，kZ Z.3已知角的終邊上一點P(2，1)，則 tan()A.12B2C2D12解析：選 Dtanyx1212.4函數(shù)ytanx，x0，4 的值域是_解析：函數(shù)ytanx在0，4 上為增加的，0tanx1.答案：0，15比較大?。簍an 2_tan 9.解析：tan 9tan(29)，而2229，且ytanx在(2，)內(nèi)是增加的tan 2tan(29)，即 tan 2tan 9.答案： 6利用正切函數(shù)的圖像作出ytanx|tanx|的圖像，并判斷此函數(shù)的周期性解：當(dāng)x(k2，k時，ytanx0，當(dāng)x(k，k2)時，ytanx0，ytanx|tanx|0，x（k2，k，kZ Z，2tanx，x（k，k2） ，Z Z.圖像如圖所示由ytanx|tanx|的圖像可知，它是周期函數(shù)，周期為.一、選擇題1已知是第二象限角，則()Atan20Btan20Ctan20Dtan2的符號不確定解析：選 A是第二象限角，2是第一或第三象限角，tan20.2函數(shù)y2tan(2x4)的定義域是()A.x|xR R 且xk4，kZ ZB.x|xR R 且xk238，kZ ZC.x|xR R 且xk34，kZ ZD.x|xR R 且xk28，kZ Z解析：選 B由 2x4k2，kZ Z，解得xk238，kZ Z.3函數(shù)ytan(sinx)的值域是()A.4，4B.22，22Ctan 1，tan 1D1，1解析：選 C1sinx1，21sinx10tanx，cosx0tanx，2x2，tanx，x2或20，函數(shù)的增區(qū)間為(k，k2)(kZ Z)答案：k，k2 (kZ Z)7函數(shù)ysinx與ytanx的圖像在2，2 上交點個數(shù)是_解析：在x0，2 時，tanxsinx，x2，0時，tanxsinx，所以ysinx與ytanx在2，2 上只有一個交點(0，0)答案：18已知函數(shù)y2tan612x，則函數(shù)的對稱中心是_解析：y2tan612x2tan12x6 .ytanx的對稱中心為k2，0，令12x6k2，得xk3，kZ Z.y2tan612x的對稱中心為k3，0，kZ Z.答案：k3，0(kZ Z)三、解答題9已知f(x)asinxbtanx1，f(25)7，求f(2 0125)解：設(shè)g(x)asinxbtanx，因為 sinx與 tanx都是奇函數(shù)，所以g(x)g(x)，即g(x)g(x)0，故f(x)f(x)g(x)1g(x)12，又易得f2 0125f40225f25，f25f252，且f257，f2 0125f255.10已知函數(shù)f(x)x22xtan1，x1， 3 ，其中2，2 .(1)當(dāng)6時，求函數(shù)f(x)的最大值與最小值；(2)求的取值范圍，使yf(x)在區(qū)間1， 3 上是單調(diào)函數(shù)解：(1)當(dāng)6時，f(x)x22 33x1x33243，x1， 3 當(dāng)x33時，f(x)的最小值為43；當(dāng)x1 時，f(x)的最大值為2 33.(2)函數(shù)f(x)(xtan)21tan2的圖像的對稱軸為xtan.yf(x)在區(qū)間1， 3上是單調(diào)函數(shù)，tan1 或tan 3，即 tan1 或 tan 3.又2，2 ，的取值范圍是2，3 4，2.