2019學年北師大版數學精品資料活頁作業(yè)(三)反證法1用反證法證明命題“三角形的內角至多有一個鈍角”時，假設正確的是()A假設至少有一個鈍角B假設至少有兩個鈍角C假設沒有一個鈍角D假設沒有一個鈍角或至少有兩個鈍角解析：“至多有一個”的否定是“至少有兩個”，故選B答案：B2設a，b，c是正數，Pabc，Qbca，Rcab，則“P·Q·R0”是“P，Q，R同時大于零”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件解析：必要性顯然成立充分性：若P·Q·R0，則P，Q，R同時大于零或其中兩個負的一個正的，不妨設P0，Q0，R0.因為P0，Q0，即abc，bca，所以abbcca.所以b0，這與a，b，c都是正數矛盾故P，Q，R同時大于零答案：C3設a，b，c(，0)，則a，b，c()A都不大于2B都不小于 2C至少有一個不大于2D至少有一個不小于2解析：對于C，可用反證法證明如下：假設a2，b2，c2同時成立，則6，這與6矛盾答案：C4已知：x10，x11，且xn1(n1,2，3，)試證：數列xn或者對任意正整數n都滿足xnxn1，或者對任意的正整數n都滿足xnxn1.當此題用反證法否定結論時，應為()A對任意的正整數n，有xnxn1B存在正整數n，使xnxn1C存在正整數n，使xnxn1且xnxn1D存在正整數n，使(xnxn1)(xnxn1)0解析：證明結論的含義是數列an為單調數列，因此對它的否定是數列an不為單調數列，即為常數數列或存在不具備單調的項，故選D答案：D5用反證法證明命題“設a，b為實數，則方程x3axb0至少有一個實根”時，要做的假設是()A方程x3axb0沒有實根B方程x3axb0至多有一個實根C方程x3axb0至多有兩個實根D方程x3axb0恰好有兩個實根解析：至少有一個實根的否定是沒有實根，故要做的假設是“方程x3axb0沒有實根”答案：A6對于定義在實數集R上的函數f(x)，如果存在實數x0，使f(x0)x0，那么x0叫作函數f(x)的一個好點已知函數f(x)x22ax1不存在好點，那么a的取值范圍是_解析：假設函數f(x)存在好點x，即x22ax1x，即x2(2a1)x10.所以(2a1)240，解得a或a.因此f(x)不存在好點時，a.答案：7用反證法證明“一個三角形不能有兩個直角”有三個步驟：ABC90°90°C180°，這與三角形內角和為180°矛盾，故假設錯誤所以一個三角形不能有兩個直角假設ABC中有兩個直角，不妨設A90°，B90°.上述步驟的正確順序為_解析：由反證法的一般步驟可知，正確的順序應為.答案：8在ABC中，若ABAC，P是ABC內一點，APBAPC，求證：BAPCAP.用反證法證明時，假設應分_和_兩類解析：BAPCAP的否定為BAPCAP，因此假設應分兩類：BAPCAP和BAPCAP.答案：BAPCAPBAPCAP9用反證法證明：已知a，b均為有理數，且和都是無理數，求證：是無理數證明：假設為有理數，則()()ab.由a0，b0，得0. .a，b為有理數，且為有理數為有理數，即為有理數()()為有理數，即2為有理數應為有理數，這與已知為無理數矛盾一定為無理數10已知x0，y0，且xy2.求證：，中至少有一個小于2.證明：假設，都不小于2，即2，2.x>0，y0，1x2y,1y2x.2xy2(xy)即xy2，與已知xy2矛盾，故假設錯誤，原命題正確，中至少有一個小于2.11用反證法證明命題“a，bN，如果ab能被5整除，那么a，b至少有一個能被5整除”，則假設的內容是()Aa，b都能被5整除Ba，b都不能被5整除Ca不能被5整除Da，b有一個不能被5整除解析：至少有一個的反面是一個也沒有，故選B答案：B12若下列方程：x24ax4a30，x2(a1)xa20，x22ax2a0，至少有一個方程有實根，則實數a的取值范圍為_解析：假設三個方程均無實根，則有解得 即a1.所以當a1或a時，三個方程至少有一個方程有實根答案：a1或a13設二次函數f(x)ax2bxc(a0)，若關于x的不等式f(x1)0的解集為0,1，則關于x的不等式f(x1)0的解集為_解析：將函數yf(x1)的圖像向左平移2個單位得到函數yf(x1)的圖像，不等式f(x1)0的解集為0,1，所以yf(x1)的圖像是開口向下的拋物線，與x軸的交點為(0,0)，(1,0)，所以不等式f(x1)0的解集為(，21，)答案：(，21，)14已知集合a，b，c0,1,2，且下列三個關系：a2；b2；c0有且只有一個正確，則100a10bc等于_解析：(1)若正確，則不正確，由不正確得c0，由正確得a1，所以b2，與不正確矛盾，故不正確(2)若正確，則不正確，由不正確得a2，與正確矛盾，故不正確(3)若正確，則不正確，由不正確得a2，由不正確及正確得b0，c1，此時100a10bc100×210×01201.答案：20115設二次函數f(x)ax2bxc(a0)中，a，b，c均為整數，且f(0)，f(1)均為奇數求證：f(x)0無整數根證明：假設f(x)0有一個整數根k，則ak2bkc.又f(0)c，f(1)abc均為奇數ab為偶數當k為偶數時，顯然與式矛盾；當k為奇數時，設k2n1(nZ)，則ak2bk(2n1)(2naab)為偶數，也與式矛盾，故假設不成立所以方程f(x)0無整數根16已知函數f(x)在區(qū)間1，)上是增函數，且當x01，f(x0)1時，有f(f(x0)x0，求證：f(x0)x0.證明：假設f(x0)x0，則必有f(x0)x0或f(x0)x0.若f(x0)x01，由f(x)在1，)上為增函數，得f(f(x0)f(x0)又f(f(x0)x0，f(x0)x0，與假設矛盾若x0f(x0)1，同理，得f(x0)f (f(x0)又f(f(x0)x0，x0f(x0)，也與假設矛盾綜上所述，當x01，f(x0)1，且f(f(x0)x0時，f(x0)x0.