2018-2019學年高二數(shù)學上學期期中試題 文(含解析)一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共計70分.請把答案填寫在答題卡相應位置上.1.命題：的否定是_【答案】xR，sin x2.【解析】【分析】將特稱命題否定為全稱命題即可.【詳解】特稱命題的否定為全稱命題，則命題的否定是xR，sin x2.【點睛】對含有存在(全稱)量詞的命題進行否定需兩步操作：(1)將存在(全稱)量詞改寫成全稱(存在)量詞；(2)將結論加以否定這類問題常見的錯誤是沒有變換量詞，或者對于結論沒給予否定有些命題中的量詞不明顯，應注意挖掘其隱含的量詞2.拋物線的準線方程是，則_.【答案】.【解析】拋物線即的準線方程為，所以，解得3.若直線與圓有兩個不同交點，則點與圓的位置關系是_【答案】在圓外【解析】【分析】由題意考查圓心到直線的距離與半徑的關系確定點與圓的位置關系即可.【詳解】直線與圓有兩個不同的交點，則圓心到直線的距離小于半徑，即：，即，據(jù)此可得：點與圓的位置關系是點在圓外.【點睛】本題主要考查直線與圓的位置關系，點與圓的位置關系等知識，意在考查學生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.4.若雙曲線的焦點到其漸近線的距離等于實軸長，則該雙曲線的離心率為_【答案】.【解析】【分析】由題意確定a,b,c的關系，然后確定其離心率即可.【詳解】由題意可知，雙曲線的一個焦點坐標為，雙曲線的一條漸近線方程為：，即，據(jù)此可得：，則，橢圓的離心率.【點睛】雙曲線的離心率是雙曲線最重要的幾何性質(zhì)，求雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：求出a，c，代入公式；只需要根據(jù)一個條件得到關于a，b，c的齊次式，結合b2c2a2轉(zhuǎn)化為a，c的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以a或a2轉(zhuǎn)化為關于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范圍)5.已知以為圓心的圓與圓相內(nèi)切，則圓C的方程是_【答案】(x4)2(y3)236.【解析】【分析】由圓與圓的位置關系確定圓的半徑，然后確定圓的方程即可.【詳解】兩圓的圓心距為：，設所求圓的半徑為，由兩圓內(nèi)切的充分必要條件可得：，據(jù)此可得：，圓C的方程是(x4)2(y3)236.【點睛】判斷兩圓的位置關系常用幾何法，即用兩圓圓心距與兩圓半徑和與差之間的關系，一般不采用代數(shù)法6.在平面直角坐標系中，直線與直線互相垂直的充要條件是_.【答案】.【解析】試題分析：由兩直線ax+by+c=0與mx+ny+d=0垂直am+bn=0解得即可解：直線x+（m+1）y=2-m與直線mx+2y=-8互相垂直m+2（m+1）=0m=-故答案是考點：兩直線垂直點評：本題主要考查兩直線垂直的條件，同時考查充要條件的含義7.已知雙曲線的一條漸近線方程是，它的一個焦點與拋物線的焦點相同，則雙曲線的方程為_【答案】.【解析】【分析】由題意利用待定系數(shù)法確定雙曲線方程即可.【詳解】雙曲線的漸近線方程是，拋物線的焦點坐標為，據(jù)此可得：，解得：，雙曲線的方程為.【點睛】求雙曲線的標準方程的基本方法是待定系數(shù)法具體過程是先定形，再定量，即先確定雙曲線標準方程的形式，然后再根據(jù)a，b，c，e及漸近線之間的關系，求出a，b的值如果已知雙曲線的漸近線方程，求雙曲線的標準方程，可利用有公共漸近線的雙曲線方程為，再由條件求出的值即可.8.若命題有是假命題，則實數(shù)的取值范圍是_【答案】.【解析】【分析】利用原命題的否定為真命題確定實數(shù)的取值范圍即可.【詳解】由題意可得命題：，是真命題，據(jù)此可得：，解得：，即實數(shù)的取值范圍是.【點睛】本題主要考查全稱命題與特稱命題的關系，由命題的真假求參數(shù)的方法等知識，意在考查學生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.9.已知為橢圓的兩個焦點，點在橢圓上，如果線段的中點在 軸上，且，則的值為_【答案】7.【解析】【分析】由題意可得PF2平行y軸，然后結合橢圓方程和橢圓的定義整理計算即可求得最終結果.【詳解】原點O是F1F2的中點，PF2平行y軸，即PF2垂直于x軸c=3，|F1F2|=6，設|PF1|=x，根據(jù)橢圓定義可知，解得，|PF2|=，|PF1|=t|PF2|，t=7.【點睛】本題主要考查橢圓的幾何性質(zhì)，方程的思想等知識，意在考查學生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.10.若直線始終平分圓的周長，則的最小值為_【答案】5.【解析】【詳解】由題意可得直線過圓心，即：，據(jù)此可得：，則點在直線上，表示直線上的點與點之間距離的平方，點到直線的距離為：，據(jù)此可得：的最小值為.【點睛】本題主要考查直線與圓的位置關系，兩點之間距離公式及其應用，等價轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想等知識，意在考查學生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.11.設分別是橢圓的左、右焦點，為橢圓上任一點，點的坐標為，則的最大值為_【答案】15.【解析】【分析】利用橢圓的定義將左焦點問題轉(zhuǎn)化為右焦點問題，然后求解最值即可.【詳解】由橢圓方程可得：a=5,b=4,c=3.F1(3,0),F2(3,0)，如圖所示，由橢圓的定義可得：|PF1|+|PF2|=2a=10，|PM|+|PF1|=|PM|+2a|PF2|=10+(|PM|PF2|)10+|MF2|=15，則|PM|+|PF1|的最大值為15.故答案為：15.【點睛】本題主要考查橢圓的定義與幾何性質(zhì)，等價轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想，數(shù)形結合的數(shù)學思想等知識，意在考查學生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.12.點是橢圓上的點，以為圓心的圓與軸相切于橢圓的焦點，圓與軸相交于，若是鈍角三角形，則橢圓離心率的取值范圍是_【答案】.【解析】【分析】由題意利用幾何關系得到關于離心率的不等式，求解不等式即可確定橢圓的離心率的取值范圍.【詳解】圓M與軸相切于焦點F，不妨設M(c,y),則(因為相切,則圓心與F的連線必垂直于x軸)M在橢圓上,則或(a2=b2+c2)，圓的半徑為，過M作MNy軸與N,則PN=NQ,MN=c，PN,NQ均為半徑,則PQM為等腰三角形，PN=NQ=，PMQ為鈍角,則PMN=QMN>45，即PN=NQ>MN=c所以得,即，得，a22c2+c2e2>2c2，e44e2+1>0(e22)23>0e22<(0<e<1)e2<+20<e<.【點睛】橢圓的離心率是橢圓最重要的幾何性質(zhì)，求橢圓的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：求出a，c，代入公式；只需要根據(jù)一個條件得到關于a，b，c的齊次式，結合b2a2c2轉(zhuǎn)化為a，c的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以a或a2轉(zhuǎn)化為關于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范圍)13.已知橢圓的左、右焦點分別為，離心率為，若橢圓上存在點，使得，則該離心率的取值范圍是_【答案】.【解析】【分析】由題意首先求得|PF2|的長度，然后結合焦半徑的范圍得到關于離心率的不等式，求解不等式即可確定離心率的范圍.【詳解】由題意可得：|PF1|=e|PF2|，又|PF1|+|PF2|=2a，所以|PF2|(1+e)=2a ，由于a-c|PF2|a+c，所以(a+c)(1+e)2a ，且(a-c)(1+e)2a ，式兩邊除以a，得(1+e)(1+e)2，解得e式兩邊除以a，得(1-e)(1+e)2，恒成立，所以離心率e的取值范圍是.【點睛】橢圓的離心率是橢圓最重要的幾何性質(zhì)，求橢圓的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：求出a，c，代入公式；只需要根據(jù)一個條件得到關于a，b，c的齊次式，結合b2a2c2轉(zhuǎn)化為a，c的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以a或a2轉(zhuǎn)化為關于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范圍)14.在平面直角坐標系中，已知圓，動點在直線上，過點分別作圓的切線，切點分別為，若滿足的點有且只有兩個，則實數(shù)的取值范圍是_【答案】.【解析】【分析】設出點的坐標，將原問題轉(zhuǎn)化為直線與圓相交的問題，求解關于b的不等式即可求得實數(shù)的取值范圍.【詳解】由題意O(0,0),O1(4,0).設P(x,y)，則PB=2PA，(x4)2+y2=4(x2+y2)，x2+y2+=0，圓心坐標為,半徑為，動點P在直線x+yb=0上，滿足PB=2PA的點P有且只有兩個，直線與圓x2+y2+=0相交，圓心到直線的距離，即實數(shù)的取值范圍是.【點睛】本題主要考查圓的方程及其應用，等價轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想，直線與圓是位置關系的應用等知識，意在考查學生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.二、解答題：本大題共6小題，共計90分.請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟. 15.已知p：|x3|2，q：(xm1)(xm1)0，若p是q的充分而不必要條件，求實數(shù)m的取值范圍【答案】【解析】試題分析：由題意p：2x32，1x5.：x1或x5.q：m1xm1，：xm1或xm1.又是的充分而不必要條件，或2m4.因此實數(shù)m的取值范圍是2,4考點：簡單不等式的解法，充要條件。點評：中檔題，涉及充要條件問題，往往綜合性較強，本題與不等式綜合在一起考查。充要條件的判斷問題，通常有：定義法，等價關系法，集合關系法。本題采用的是集合關系法。16.已知命題：指數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞減，命題：關于的方程的兩個實根均大于3.若或為真，且為假，求實數(shù)的取值范圍【答案】【解析】【分析】首先確定p,q為真時a的取值范圍，由題意可知，p真q假，或者p假q真，據(jù)此求解實數(shù)的取值范圍即可.【詳解】若p為真命題，則f(x)(2a6)x在R上單調(diào)遞減， 02a61，解得 3a.若q為真命題，令f(x)x23ax2a21，則有整理得解得a>.又由已知“p或q”為真，“p且q”為假，所以應有p真q假，或者p假q真 若p真q假，則，此時a無解若p假q真，則，解得<a3或a.綜合知實數(shù)a的取值范圍為【點睛】本題主要考查由命題真假求參數(shù)的方法，分類討論的數(shù)學思想等知識，意在考查學生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.17.中心在原點，焦點在x軸上的一橢圓與一雙曲線有共同的焦點F1，F(xiàn)2，且|F1F2|，橢圓的長半軸與雙曲線實半軸之差為4，離心率之比為37. （1）求這兩曲線的方程；（2）若P為這兩曲線的一個交點，求cosF1PF2的值.【答案】（1）和；（2）【解析】試題分析：（1）設橢圓長、短半軸長分別為，雙曲線半實、虛軸長分別為，列出，解出參數(shù)的值，即可得出橢圓與雙曲線的方程；（2）不妨設分別為左、右焦點，是第一象限的一個交點，則，再利用余弦定理得出，求值即可.試題解析：（1）由題意知，半焦距，設橢圓長半軸為，則雙曲線實半軸，離心率之比為，橢圓的短半軸等于，雙曲線虛半軸的長為，橢圓和雙曲線的方程分別為：和.（2）由橢圓的定義得：，由雙曲線的定義得：，與中，一個是10，另一個是 4，不妨令，又，三角形中，利用余弦定理得：，18.已知圓過兩點，且圓心在直線上.(1)求圓的方程；(2)設是直線上的動點，是圓的兩條切線，為切點，求四邊形面積的最小值【答案】（1）(x1)2(y1)24；（2）?！窘馕觥俊痉治觥?1)由待定系數(shù)法求解圓的方程即可；(2)由題意利用圓的幾何性質(zhì)將原問題進行等價轉(zhuǎn)化，然后結合點到直線距離公式即可求得最終結果.【詳解】(1)設圓M的方程為(xa)2(yb)2r2(r>0)，根據(jù)題意得解得ab1，r2，故所求圓M的方程為(x1)2(y1)24.(2)由題意知，四邊形PAMB的面積為SSPAMSPBMAMPABMPB.又AMBM2，PAPB，所以S2PA，而PA，即S2.因此要求S的最小值，只需求PM的最小值即可，即在直線3x4y80上找一點P，使得PM的值最小，所以PMmin3，所以四邊形PAMB面積的最小值為Smin22.【點睛】求圓的方程，主要有兩種方法：(1)幾何法：具體過程中要用到初中有關圓的一些常用性質(zhì)和定理如：圓心在過切點且與切線垂直的直線上；圓心在任意弦的中垂線上；兩圓相切時，切點與兩圓心三點共線(2)待定系數(shù)法：根據(jù)條件設出圓的方程，再由題目給出的條件，列出等式，求出相關量一般地，與圓心和半徑有關，選擇標準式，否則，選擇一般式不論是哪種形式，都要確定三個獨立參數(shù)，所以應該有三個獨立等式19.已知橢圓的中心為坐標原點，橢圓短軸長為，動點,在橢圓的準線上(1)求橢圓的標準方程(2)求以為直徑且被直線截得的弦長為的圓的方程；(3)設點是橢圓的右焦點，過點作的垂線，且與以為直徑的圓交于點，求證：線段的長為定值，并求出這個定值【答案】（1）；（2）；（3）證明見解析，定值為。【解析】【分析】(1)由題意求得a,b的值即可確定橢圓方程；(2)由題意分別求得圓心和半徑即可求得圓的方程；(3)法一：利用平面幾何的性質(zhì)確定H的橫坐標，然后整理計算即可證得最終結果；法二：利用平面向量的知識結合數(shù)量積大于零整理計算即可證得最終結果.【詳解】(1)由2b2，得b1.又由點M在準線上，得2.故2.所以c1.從而a.所以橢圓的方程為.(2)以OM為直徑的圓的方程為x(x2)y(yt)0，即(x1)221，其圓心為，半徑r.因為以OM為直徑的圓被直線3x4y50截得的弦長為2，所以圓心到直線3x4y50的距離d.所以，解得t4.故所求圓的方程為.(3)法一由平面幾何知ON2OHOM.直線OM：yx，直線FN：y (x1)由得xH.所以ON2|xH|xM|22.所以線段ON的長為定值.法二設N(x0，y0)，則(x01，y0)，(2，t)，(x02，y0t)，(x0，y0)因為，所以2(x01)ty00.所以2x0ty02.又，所以x0(x02)y0(y0t)0.所以xy2x0ty02.所以|為定值.【點睛】求定值問題常見的方法有兩種：(1)從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關(2)直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值20.已知橢圓的離心率為，其右焦點到直線的距離為.(1) 求橢圓的方程；(2) 過點的直線交橢圓于兩點求證：以為直徑的圓過定點【答案】（1）；（2）圓恒過定點(0，1)，證明見解析?！窘馕觥俊痉治觥?1) 由題意求得a,b的值即可確定橢圓方程；(2) 首先求得ABx軸和ABy軸時以AB為直徑的圓的方程，求得兩圓的交點為Q(0，1)然后分類討論斜率存在和斜率不存在兩種情況證明題中的結論即可.【詳解】(1) 由題意，e，e2，所以ab，cb.又，a>b1，所以b1，a22，故橢圓C的方程為.(2) 當ABx軸時，以AB為直徑的圓的方程為x2y21.當ABy軸時，以AB為直徑的圓的方程為x2(y)2.由可得由此可知，若以AB為直徑的圓恒過定點，則該定點必為Q(0，1)下證Q(0，1)符合題意設直線l的斜率存在，且不為0，則方程為ykx，代入y21并整理得(12k2)x2kx0，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2，x1x2，所以(x1，y11)(x2，y21)x1x2(y11)(y21)x1x2(kx1)(kx2)(1k2)x1x2k(x1x2)(1k2)k0，故，即Q(0，1)在以AB為直徑的圓上綜上，以AB為直徑的圓恒過定點(0，1)【點睛】求定點問題常見的方法有兩種：(1)從特殊入手，求出定點，再證明這個值與變量無關(2)直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定點