第八節(jié)曲線與方程A組基礎(chǔ)題組1.方程x=1-4y2所表示的曲線是()A.雙曲線的一部分B.橢圓的一部分C.圓的一部分D.直線的一部分2.已知點(diǎn)P是直線2x-y+3=0上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),定點(diǎn)M(-1,2),Q是線段PM延長線上的一點(diǎn),且|PM|=|MQ|,則Q點(diǎn)的軌跡方程是()A.2x+y+1=0B.2x-y-5=0C.2x-y-1=0D.2x-y+5=03.已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0),M為橢圓上一動(dòng)點(diǎn),F1為橢圓的左焦點(diǎn),則線段MF1的中點(diǎn)P的軌跡是()A.圓B.橢圓C.雙曲線D.拋物線4.已知A(-1,0),B(1,0)兩點(diǎn),過動(dòng)點(diǎn)M作x軸的垂線,垂足為N,若=·,當(dāng)<0時(shí),動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為()A.圓B.橢圓C.雙曲線D.拋物線5.已知點(diǎn)O(0,0),A(1,-2),動(dòng)點(diǎn)P滿足|PA|=3|PO|,則P點(diǎn)的軌跡方程是()A.8x2+8y2+2x-4y-5=0B.8x2+8y2-2x-4y-5=0C.8x2+8y2+2x+4y-5=0D.8x2+8y2-2x+4y-5=06.已知定點(diǎn)A(4,0)和圓x2+y2=4上的動(dòng)點(diǎn)B,動(dòng)點(diǎn)P(x,y)滿足+=2,則點(diǎn)P的軌跡方程為. 7.已知?jiǎng)訄AQ過定點(diǎn)A(2,0)且與y軸截得的弦MN的長為4,則動(dòng)圓圓心Q的軌跡C的方程為. 8.在ABC中,A為動(dòng)點(diǎn),B,C為定點(diǎn),B-a2,0,Ca2,0(a>0),且滿足條件sinC-sinB=12sinA,則動(dòng)點(diǎn)A的軌跡方程是. 9.已知圓C1的圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)O,且恰好與直線l1:x-y-22=0相切.(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)設(shè)點(diǎn)A為圓上一動(dòng)點(diǎn),ANx軸于點(diǎn)N,若動(dòng)點(diǎn)Q滿足=m+(1-m)(其中m為非零常數(shù)),試求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程.10.已知長為1+2的線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)A、B分別在x軸、y軸上滑動(dòng),P是AB上一點(diǎn),且=.求點(diǎn)P的軌跡方程.B組提升題組11.設(shè)圓(x+1)2+y2=25的圓心為C,A(1,0)是圓內(nèi)一定點(diǎn),Q為圓周上任一點(diǎn),AQ的垂直平分線與CQ的連線的交點(diǎn)為M,則M點(diǎn)的軌跡方程是()A.4x221-4y225=1B.4x221+4y225=1C.4x225-4y221=1D.4x225+4y221=112.在ABC中,已知A(2,0),B(-2,0),G,M為平面上的兩點(diǎn)且滿足+=0,|=|=|,則頂點(diǎn)C的軌跡為()A.焦點(diǎn)在x軸上的橢圓(長軸端點(diǎn)除外)B.焦點(diǎn)在y軸上的橢圓(短軸端點(diǎn)除外)C.焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線(實(shí)軸端點(diǎn)除外)D.焦點(diǎn)在x軸上的拋物線(頂點(diǎn)除外)13.在平面直角坐標(biāo)系中,O為坐標(biāo)原點(diǎn),A(1,0),B(2,2),若點(diǎn)C滿足=+t(-),其中tR,則點(diǎn)C的軌跡方程是. 14.ABC的頂點(diǎn)A(-5,0),B(5,0),ABC的內(nèi)切圓圓心在直線x=3上,求頂點(diǎn)C的軌跡方程.15.已知定點(diǎn)F(0,1)和直線l1:y=-1,過定點(diǎn)F與直線l1相切的動(dòng)圓的圓心為點(diǎn)C.(1)求動(dòng)點(diǎn)C的軌跡方程;(2)過點(diǎn)F的直線l2交動(dòng)點(diǎn)C的軌跡于兩點(diǎn)P,Q,交直線l1于點(diǎn)R,求·的最小值.答案全解全析A組基礎(chǔ)題組1.Bx=1-4y2兩邊平方,可變?yōu)閤2+4y2=1(x0),表示的曲線為橢圓的一部分.2.D設(shè)Q(x,y),易得P(-2-x,4-y),代入2x-y+3=0,得2x-y+5=0.3.B設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)是F2,由橢圓的定義可得|MF1|+|MF2|=2a>2c,所以|PF1|+|PO|=12(|MF1|+|MF2|)=a>c,所以點(diǎn)P的軌跡是以F1和O為焦點(diǎn)的橢圓.4.C設(shè)M(x,y),則N(x,0),所以=y2,·=(x+1,0)·(1-x,0)=(1-x2),所以y2=(1-x2),即x2+y2=,當(dāng)<0時(shí),變形為x2+=1,所以當(dāng)<0時(shí),動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為雙曲線.5.A設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y),則(x-1)2+(y+2)2=3x2+y2,整理得8x2+8y2+2x-4y-5=0.6.答案(x-2)2+y2=1解析設(shè)B(x0,y0),由+=2,得4+x0=2x,y0=2y,得x0=2x-4,y0=2y,代入圓的方程得(2x-4)2+4y2=4,即(x-2)2+y2=1.7.答案y2=4x解析設(shè)Q(x,y).因?yàn)閯?dòng)圓Q過定點(diǎn)A(2,0)且與y軸截得的弦MN的長為4,所以MN22+|x|2=|AQ|2,所以|x|2+22=(x-2)2+y2,整理得y2=4x.所以動(dòng)圓圓心Q的軌跡C的方程是y2=4x.8.答案16x2a2-16y23a2=1(x>0且y0)解析由正弦定理得|AB|2R-|AC|2R=12×|BC|2R,即|AB|-|AC|=12|BC|,故動(dòng)點(diǎn)A的軌跡是以B,C為焦點(diǎn),a2為實(shí)軸長的雙曲線右支(除去頂點(diǎn)).即動(dòng)點(diǎn)A的軌跡方程為16x2a2-16y23a2=1(x>0且y0).9.解析(1)設(shè)圓的半徑為r,圓心到直線l1的距離為d,則d=|-22|12+(-1)2=2.因?yàn)閞=d=2,圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)O,所以圓C1的方程為x2+y2=4.(2)設(shè)動(dòng)點(diǎn)Q(x,y),A(x0,y0),ANx軸于點(diǎn)N,N(x0,0),由題意知,(x,y)=m(x0,y0)+(1-m)·(x0,0),解得x=x0,y=my0,即x0=x,y0=1my.將點(diǎn)Ax,1my代入圓C1的方程x2+y2=4,得動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程為x24+y24m2=1.10.解析設(shè)A(x0,0),B(0,y0),P(x,y),則=(x-x0,y),=(-x,y0-y),又=,所以x-x0=-22x,y=22(y0-y),得x0=1+22x,y0=(1+2)y.因?yàn)閨AB|=1+2,即x02+y02=(1+2)2,所以1+22x2+(1+2)y2=(1+2)2,化簡得x22+y2=1.所以點(diǎn)P的軌跡方程為x22+y2=1.B組提升題組11.D因?yàn)閨MQ|=|MA|,所以|MC|+|MA|=|MC|+|MQ|=|CQ|=5,因此M點(diǎn)的軌跡是以C(-1,0),A(1,0)為焦點(diǎn)的橢圓,其中a=52,c=1,b2=214,M點(diǎn)的軌跡方程是4x225+4y221=1.故選D.12.B設(shè)C(x,y)(y0),則由+=0,知G為ABC的重心,得Gx3,y3.因?yàn)閨=|=|,所以M為ABC的外心,所以點(diǎn)M在y軸上,又,則有M0,y3.所以x2+-y32=4+y29,化簡得x24+y212=1,又A(2,0),B(-2,0),C為ABC的三個(gè)頂點(diǎn),所以y0.所以頂點(diǎn)C的軌跡為焦點(diǎn)在y軸上的橢圓(除去短軸端點(diǎn)).13.答案y=2x-2解析設(shè)C(x,y),則=(x,y),+t(-)=(1+t,2t),所以x=t+1,y=2t,消去參數(shù)t得點(diǎn)C的軌跡方程為y=2x-2.14.解析如圖,|AD|=|AE|=8,|BF|=|BE|=2,|CD|=|CF|,所以|CA|-|CB|=8-2=6.根據(jù)雙曲線的定義,所求軌跡是以A,B為焦點(diǎn),實(shí)軸長為6的雙曲線的右支(除去與x軸的交點(diǎn)),方程為x29-y216=1(x>3).15.解析(1)由題設(shè)知點(diǎn)C到點(diǎn)F的距離等于它到l1的距離,點(diǎn)C的軌跡是以F為焦點(diǎn),l1為準(zhǔn)線的拋物線,動(dòng)點(diǎn)C的軌跡方程為x2=4y.(2)由題意知,直線l2的斜率存在,方程可設(shè)為y=kx+1(k0),與動(dòng)點(diǎn)C的軌跡方程x2=4y聯(lián)立,消去y,得x2-4kx-4=0.設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),則x1+x2=4k,x1x2=-4.又R-2k,-1,·=x1+2k,y1+1·x2+2k,y2+1=x1+2k·x2+2k+(kx1+2)·(kx2+2)=(1+k2)x1x2+2k+2k(x1+x2)+4k2+4=-4(1+k2)+4k2k+2k+4k2+4=4k2+1k2+8.k2+1k22(當(dāng)且僅當(dāng)k2=1時(shí)取等號),·4×2+8=16,即·的最小值為16.