2018-2019學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題 理(含解析)一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知，下列說法正確的是 （ ）A. 若，則 B. 若，則C. 若，則 D. 若，則【答案】D【解析】【分析】根據(jù)不等式性質(zhì)得D成立，舉例說明A,B,C錯誤.【詳解】因為2>1,-1>-2,2(-1)=1(-2),所以A錯；因為2>1 ,202=102,所以B錯；因為-2<-1,->-1 ,所以C錯；由不等式性質(zhì)得若，則，所以D對，選D.【點(diǎn)睛】本題考查不等式性質(zhì)，考查分析判斷能力.2.已知集合，則=（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先求集合A,B，再根據(jù)交集定義求結(jié)果.【詳解】因為，所以= ，選B.【點(diǎn)睛】求集合的交、并、補(bǔ)時，一般先化簡集合，再由交、并、補(bǔ)的定義求解3.在中，則（ ）A. B. C. 或 D. 或【答案】C【解析】【分析】由正弦定理可求得sinB=，結(jié)合范圍，即可解得B的值【詳解】由正弦定理可得：sinB=，,解得：B=或故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理的應(yīng)用，屬于基本知識的考查4.在各項都為正數(shù)的數(shù)列中，首項，且點(diǎn) 在直線上，則數(shù)列的前項和為（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】代入點(diǎn)，化簡可得數(shù)列an為首項為2，公比為3的等比數(shù)列，由等比數(shù)列的求和公式，化簡計算即可得到所求和【詳解】在正數(shù)數(shù)列an中，a1=2，且點(diǎn)在直線x9y=0上，可得an2=9an12，即為an=3an1，可得數(shù)列an為首項為2，公比為3的等比數(shù)列，則an的前n項和Sn等于=3n1故選：B【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列與解析幾何的綜合運(yùn)用，是一道好題解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意等比數(shù)列的前n項和公式和通項公式的靈活運(yùn)用5.我國古代名著九章算術(shù)中有這樣一段話：“今有金錘，長五尺，斬本一尺，重四斤，斬末一尺，重二斤,中間三尺重幾何”意思是：“現(xiàn)有一根金錘，長5尺，頭部尺，重斤，尾部尺，重斤，且從頭到尾，每一尺的重量構(gòu)成等差數(shù)列，問中間三尺共重多少斤”A. 6斤 B. 7斤 C. 斤 D. 斤【答案】D【解析】【分析】將原問題轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列的問題，然后利用等差數(shù)列的性質(zhì)求解即可.【詳解】原問題等價于等差數(shù)列中，已知，求的值.由等差數(shù)列的性質(zhì)可知：，則，即中間三尺共重斤.本題選擇D選項.【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的實際應(yīng)用，等差數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.6.等差數(shù)列中，且，為其前項和，則（ ）A. ， B. ，C. ， D. ，【答案】B【解析】【分析】由題意可得：由等差數(shù)列的性質(zhì)可得 即可得到答案.【詳解】由題意可得：因為a100，a110，且a11|a10|，所以由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：故選B【點(diǎn)睛】本題主要考查學(xué)生靈活運(yùn)用等差數(shù)列的性質(zhì)化簡求值，掌握等差數(shù)列的前n項和公式7.不等式 對于一切恒成立，那么的取值范圍（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】當(dāng)時不等式即為，對一切恒成立，當(dāng)時，利用二次函數(shù)的性質(zhì)列出滿足的條件，結(jié)合兩種情況，即可得到答案【詳解】當(dāng)時不等式即為，對一切恒成立，當(dāng)時，則須，解得，所以，綜上所述，實數(shù)的取值范圍是，故選B【點(diǎn)睛】本題主要考查了不等式的恒成立問題的求解，其中解答中熟練應(yīng)用一元二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，注意對二次項系數(shù)的分類討論是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎(chǔ)題8.已知數(shù)列的前項和，則數(shù)列的前項和為（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先根據(jù)和項與通項關(guān)系求， 根據(jù)等比數(shù)列定義判斷為等比數(shù)列，最后根據(jù)等比數(shù)列求和公式得結(jié)果.【詳解】當(dāng)時;當(dāng)時;所以，因此數(shù)列為等比數(shù)列，前項和為，選C.【點(diǎn)睛】給出與的遞推關(guān)系求，常用思路是：一是利用轉(zhuǎn)化為的遞推關(guān)系，再求其通項公式；二是轉(zhuǎn)化為的遞推關(guān)系，先求出與之間的關(guān)系，再求. 應(yīng)用關(guān)系式時，一定要注意分兩種情況，在求出結(jié)果后，看看這兩種情況能否整合在一起.9.設(shè)的內(nèi)角所對的邊分別為,若，則的形狀為（ ）A. 直角三角形 B. 等腰三角形C. 等腰直角三角形 D. 正三角形【答案】B【解析】【分析】先利用三角恒等變換化簡2sin A cos Bsin C得A=B.【詳解】由已知得2sin Acos Bsin Csin(AB)sin Acos Bcos Asin B，即sin(AB)0，因為<AB<，所以AB.故答案為：B【點(diǎn)睛】(1)本題主要考查三角恒等變換，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(2)三角恒等變換時 ，要“三看”（看角看名看式）“三變”（變角變名變式）.10.已知數(shù)列的通項公式為，設(shè)其前項和為，則使成立的正整數(shù)有A. 最小值 B. 最大值 C. 最小值 D. 最大值【答案】A【解析】【分析】先有an的通項公式和對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，求出Sn，再把Sn-5轉(zhuǎn)化為關(guān)于n的不等式即可【詳解】， ，又因為 ，故使Sn-5成立的正整數(shù)n有最小值：63故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列的求和以及對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，是一道基礎(chǔ)題11.已知，則函數(shù)的最小值是（ ）A. 2 B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用二倍角公式求出，再利用基本不等式，即可求出答案【詳解】，則故選【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的最小值的求法，考查了二倍角公式，注意運(yùn)用基本不等式，考查了運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題12.在中，角所對的邊分別為，若，則周長的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡已知可得，結(jié)合的范圍可求，再由余弦定理求得 ，再由基本不等式，求得的范圍，即可得到的范圍，進(jìn)而可求周長的范圍【詳解】，可得：， ，解得，由余弦定理可得 由， ，得，即周長 故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，余弦定理及運(yùn)用，同時考查基本不等式的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知，滿足，則的最大值為_.【答案】2【解析】【分析】先作可行域，再根據(jù)目標(biāo)函數(shù)所表示的直線結(jié)合圖象確定最大值取法,最后計算得結(jié)果.【詳解】可行域如圖，則直線過點(diǎn)A(1,0)時取最大值2.【點(diǎn)睛】線性規(guī)劃的實質(zhì)是把代數(shù)問題幾何化，即數(shù)形結(jié)合的思想.需要注意的是：一，準(zhǔn)確無誤地作出可行域；二，畫目標(biāo)函數(shù)所對應(yīng)的直線時，要注意與約束條件中的直線的斜率進(jìn)行比較，避免出錯；三，一般情況下，目標(biāo)函數(shù)的最大或最小值會在可行域的端點(diǎn)或邊界上取得14.各項均為正數(shù)的等比數(shù)列的前項和為，已知，,則_.【答案】10【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列和項性質(zhì)列方程解得結(jié)果.【詳解】由題意得，成等比數(shù)列，則，所以,或90，因為各項均為正數(shù)，所以>，因此.【點(diǎn)睛】在解決等差、等比數(shù)列的運(yùn)算問題時，經(jīng)常采用“巧用性質(zhì)、整體考慮、減少運(yùn)算量”的方法.15.函數(shù)的最小值是_.【答案】5【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)單調(diào)性，再見單調(diào)性確定函數(shù)最小值.【詳解】因為當(dāng)時，所以當(dāng)時最小值為5.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)單調(diào)性求最值，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性，考查基本求解能力.16.已知數(shù)列為正項的遞增等比數(shù)列， ，記數(shù)列的前項和為，則使不等式成立的最大正整數(shù)的值為_.【答案】6【解析】【分析】先根據(jù)條件求出首項與公比，再根據(jù)等比數(shù)列求和公式求，化簡不等式解得，最后確定滿足條件的最大正整數(shù)的值.【詳解】由數(shù)列為正項的遞增等比數(shù)列，得公比>0由 得,所以因此滿足條件的最大正整數(shù)的值為6.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列通項公式、求和公式以及解指數(shù)不等式，考查基本求解能力.三、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.（1）已知，且，求的最小值；（2）已知 ,，求證：.【答案】（1）9 ； （2）8 .【解析】【分析】（1）利用1的代換化簡，再根據(jù)基本不等式求最值，（2）利用1的代換化簡 ，再根據(jù)基本不等式證不等式.【詳解】（1）由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)，等號成立，因此的最小值為9，（2）因為，所以 ，因此當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍柍闪ⅲ?dāng)且僅當(dāng)?shù)忍柍闪?，?dāng)且僅當(dāng)?shù)忍柍闪?，所以，?dāng)且僅當(dāng)?shù)忍柍闪?，因為，所以，所?【點(diǎn)睛】在利用基本不等式求最值時，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號取得的條件)的條件才能應(yīng)用，否則會出現(xiàn)錯誤.18.如圖，在中，是邊上一點(diǎn)，且.（1）求的長；（2）若，求的長及的面積.【答案】(1) (2) 【解析】試題分析：（1）在中由正弦定理可求得AD的長；（2）在中，由余弦定理可得，利用可得所求面積。試題解析：（1）在中，由正弦定理得，即（2），在中 ，由余弦定理得.綜上，的面積為。19.設(shè)函數(shù)（1）若不等式的解集為，求實數(shù)、的值；（2）解不等式【答案】（1）（2）時解集為，時解集為，時解集為，時解集為，時解集為【解析】試題分析：（1）根據(jù)一元二次不等式的解集，利用根與系數(shù)的關(guān)系，即可求出實數(shù)a、m的值；（2）不等式化為（ax-1）（x-1）0，討論a=0和a0、a0時，求出不等式f（x）0的解集即可試題解析：，不等式等價于，依題意知不等式的解集為，且1和2為方程的兩根，解得，實數(shù)、的值分別為、，不等式可化為，（）當(dāng)時，不等式等價于，解得，故原不等式的解集為， 7分（）當(dāng)時，不等式等價于，當(dāng)時，不等式的解集為，即原不等式的解集為，當(dāng)時，不等式的解集為，即原不等式的解集為，當(dāng)時，不等式的解集為，即原不等式的解集為，（）當(dāng)時，不等式等價于，不等式的解集為，即原不等式的解集為，綜上所述，當(dāng)時不等式的的解集為，當(dāng)時不等式的的解集為，當(dāng)時不等式的的解集為，當(dāng)時不等式的的解集為，當(dāng)時不等式的的解集為?？键c(diǎn)：一元二次不等式的解法；二次函數(shù)的性質(zhì)20.設(shè)的內(nèi)角的對邊分別為,且.（1）求角的大小;（2）若,求的周長.【答案】（1） ； （2） .【解析】【分析】（1）由正弦定理將條件化為角的關(guān)系，化簡得，即得結(jié)果，（2）由正弦定理得 ，再根據(jù)余弦定理解得，最后求周長.【詳解】（1）由正弦定理得在中，即； （2） ，由正弦定理得 又，解得（負(fù)根舍去）， 的周長【點(diǎn)睛】解三角形問題，多為邊和角的求值問題，這就需要根據(jù)正、余弦定理以及三角形面積公式結(jié)合已知條件靈活轉(zhuǎn)化邊和角之間的關(guān)系，從而達(dá)到解決問題的目的.21.某企業(yè)今年初用72萬元購買一套新設(shè)備用于生產(chǎn)，該設(shè)備第一年需各種費(fèi)用12萬元，從第二年起，每年所需費(fèi)用均比上一年增加4萬元，該設(shè)備每年的總收入為50萬元，設(shè)生產(chǎn)x年的盈利總額為y萬元.寫出y與x的關(guān)系式；經(jīng)過幾年生產(chǎn)，盈利總額達(dá)到最大值？最大值為多少？經(jīng)過幾年生產(chǎn)，年平均盈利達(dá)到最大值？最大值為多少？【答案】（1）；（2）經(jīng)過10年生產(chǎn)，盈利總額達(dá)到最大值，最大值為128萬元.經(jīng)過6年生產(chǎn)，年平均盈利達(dá)到最大值，最大值為16萬元.【解析】【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列求和公式得x年所需總費(fèi)用，再利用收入減去成本得盈利總額，即得結(jié)果，（2）根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)求最值，根據(jù)基本不等式求最值.【詳解】（1）x年所需總費(fèi)用為，所以盈利總額；（2）因為對稱軸為，所以當(dāng)時盈利總額達(dá)到最大值，為128萬元；因為，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號,所以經(jīng)過6年生產(chǎn)，年平均盈利達(dá)到最大值，最大值為16萬元.【點(diǎn)睛】在利用基本不等式求最值時，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號取得的條件)的條件才能應(yīng)用，否則會出現(xiàn)錯誤.22.已知等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，前n項和為，且，數(shù)列、滿足，.（1）求 及；（2）數(shù)列 的前n項和為 ，證明 .【答案】（1）， （2）見解析【解析】【分析】（1）先根據(jù)條件求得公比，再代入等比數(shù)列通項公式與求和公式求得 及；（2）根據(jù)條件得，利用裂項相消法求得，即證得不等式【詳解】（1）因為，所以（負(fù)舍），因此；（2），(),因此=()+()()+.+()+()=()<(.【點(diǎn)睛】裂項相消法是指將數(shù)列的通項分成兩個式子的代數(shù)和的形式，然后通過累加抵消中間若干項的方法，裂項相消法適用于形如 (其中是各項均不為零的等差數(shù)列，c為常數(shù))的數(shù)列. 裂項相消法求和，常見的有相鄰兩項的裂項求和(如本例)，還有一類隔一項的裂項求和，如或.