2.2函數(shù)的定義域、值域及解析式2014 高考會這樣考1.考查函數(shù)定義域、值域的求法；2.考查函數(shù)解析式的應用；3.和其他知識相結合，考查函數(shù)概念復習備考要這樣做 1.掌握函數(shù)定義域的幾種情形； 2.理解求函數(shù)解析式的基本方法； 3.和函數(shù)最值相結合求函數(shù)值域1 函數(shù)的定義域(1) 函數(shù)的定義域是指使函數(shù)有意義的自變量的取值范圍(2) 求定義域的步驟寫出使函數(shù)式有意義的不等式(組 )；解不等式組；寫出函數(shù)定義域(注意用區(qū)間或集合的形式寫出)(3) 常見基本初等函數(shù)的定義域分式函數(shù)中分母不等于零偶次根式函數(shù)、被開方式大于或等于0.一次函數(shù)、二次函數(shù)的定義域為R. y ax (a>0 且 a 1)， ysin x，y cos x，定義域均為R. y tan x 的定義域為x|x R 且 xk 2， k Z .函數(shù) f(x) x0 的定義域為 x|x R 且 x 0 2 函數(shù)的值域(1) 在函數(shù) y f(x)中，與自變量 x 的值相對應的 y 的值叫函數(shù)值，函數(shù)值的集合叫函數(shù)的值域(2) 基本初等函數(shù)的值域 y kx b (k 0)的值域是R. y ax2 bx c (a0) 的值域是：當 a>0 時，值域為4ac b2， ；當 a<0 時，值域4a為 ，4ac b2.4ak y x (k 0)的值域是 y|yR 且 y 0 y ax (a>0 且 a 1)的值域是 (0， ) y log ax (a>0 且 a 1)的值域是 R . y sin x， y cos x 的值域是 1,1 y tan x 的值域是 R.3 函數(shù)解析式的求法(1) 換元法；(2) 待定系數(shù)法；1(3) 消去法：若所給解析式中含有 f(x)、f x 或 f(x)、f( x)等形式，可構造另一個方程，通過解方程組得到 f(x)(4) 配湊法或賦值法：依據(jù)題目特征，能夠由一般到特殊或由特殊到一般尋求普遍規(guī)律，求出解析式難點正本疑點清源 1 函數(shù)的定義域是研究函數(shù)問題的先決條件，它會直接影響函數(shù)的性質，所以要樹立定義域優(yōu)先的意識2 (1) 如果函數(shù)f(x)的定義域為A，則 f(g(x)的定義域是使函數(shù)g(x) A 的 x 的取值范圍(2) 如果 f(g(x) 的定義域為 A，則函數(shù) f(x)的定義域是函數(shù) g(x)的值域(3) fg(x) 與 fh(x) 聯(lián)系的紐帶是g(x)與 h(x)的值域相同1 4 x2的定義域為 _ 1 (2012 山東改編 )函數(shù) f(x) ln x 1答案( 1,0) (0,2x 1>0，解析由 ln x 1 0，得 1<x 2，且 x 0.4 x2 02 設 g(x) 2x 3， g(x2) f(x)，則 f(x) _.答案2x7解析由 g(x) 2x 3，知 f(x) g(x 2) 2(x 2) 3 2x 7.3 若 f(x)滿足 f(xy)f(x) f(y)，則可寫出滿足條件的一個函數(shù)解析式f( x) 2x.類比可以得到：若定義在R 上的函數(shù)g(x)，滿足 (1) g( x1 x2) g(x1)g(x2)； (2)g(1) 3； (3)? x1<x2，g(x1)<g(x2)，則可以寫出滿足以上性質的一個函數(shù)解析式為_答案g(x) 3x解析由 知 g(x)應該是指數(shù)函數(shù)模型，結合 知 g(x) 3x.抽象離不開具體，對于一些常見的恒等式，其對應的函數(shù)模型應該熟悉如：一、指數(shù)函數(shù)模型，對應的性質為：f mf(m n) f(m) f(n)或 f(mn) f n；二、對數(shù)函數(shù)型，對應的性質為：f(mn) f(m)f(n)m或 f( n ) f( m) f(n)；三、正比例函數(shù)模型，對應的性質為：f(m n) f(m) f( n)；四、余弦函數(shù)型，對應的性質為：f(mn) f(m n) 2f(m)f(n) 4函數(shù) f(x) log 2(3x 1)的值域為 _ 答案(0， )解析由 3x>0 知 3x 1>1.又 f(x)在 (0， )為增函數(shù)且f(1) 0， f(x) log 2(3x 1)>0.11 x25 已知 f x 1 x2，則 f(x) _.x2 1答案(x 0)x2 111解析 令 x t，則 x t 且 t 0，1 22 11 tt f(t)，12 t2 11 tx2 1即 f(x) 2( x 0).x 1題型一求函數(shù)的定義域例 1(1) 函數(shù) yln x 1的定義域為 _ x23x 4(2) 若函數(shù) y f(x)的定義域是f 2x 的定義域是 _0,2 ，則函數(shù) g(x)x 1思維啟迪： 函數(shù)的定義域是使解析式有意義的自變量的取值集合；抽象函數(shù)的定義域要注意自變量的取值和各個字母的位置答案(1)( 1,1)(2)0,1)x 1>0解析(1)由，得 1<x<1. x2 3x4>0 0 2x 2，(2) 依已知有x 1 0，解之得 0x<1 ，定義域為 0,1) 探究提高(1) 求函數(shù)的定義域，其實質就是以函數(shù)解析式所含運算有意義為準則，列出不等式或不等式組，然后求出它們的解集(2) 已知 f(x)的定義域是 a，b，求 fg(x) 的定義域， 是指滿足 a g(x) b 的 x 的取值范圍，而已知 fg(x) 的定義域是 a ， b ，指的是 x a， bx 4(1) 若函數(shù) f(x) mx2 4mx 3的定義域為R ，則實數(shù) m 的取值范圍是_3答案0，4解析f(x)的定義域為R ，即 mx2 4mx 3 0 恒成立 當 m 0 時，符合條件 當 m 0 時， (4m)2 4 m 3<0 ，3即 m(4m 3)<0 ， 0<m<4.3綜上所述， m 的取值范圍是0， 4 .(2) 已知 f(x)的定義域是 0,4 ，則 f(x 1) f(x 1)的定義域是 _ 答案 1,30 x 1 4，解析由得 1 x 3.0 x 1 4故 f(x 1) f(x 1)的定義域為 1,3 題型二求函數(shù)的值域例 2 求下列函數(shù)的值域：(1) y x2 2x (x0,3 )；(2) yx 3； 1x(3) y x 1 2x；(4) y log 3x logx31.思維啟迪： 根據(jù)各個函數(shù)解析式的特點，考慮用不同的方法求解(1) 配方法； (2)分離常數(shù)法； (3)換元法或單調性法；(4) 基本不等式法解 (1)( 配方法 )y x2 2x (x 1)2 1，y (x1) 21 在 0,3 上為增函數(shù)，0 y 15，即函數(shù) y x22x (x 0,3 )的值域為 0,15 (2)( 分離常數(shù)法 )x 3x1 44.y 1x 1x 1x 1因為4 0，所以 141，x 1x 1即函數(shù)的值域是 y|y R ，y 1 (3) 方法一(換元法 )1 t2令 12x t，則 t 0 且 x 2 ，于是 y1 t 212 1，2 t ( t 1)21y|y1由于 t 0，所以 y 2，故函數(shù)的值域是2 .方法二(單調性法 )111容易判斷函數(shù)y f(x) 為增函數(shù)， 而其定義域應滿足1 2x 0，即 x2，所以 y f22，1即函數(shù)的值域是y|y 2 .(4)( 基本不等式法)函數(shù)定義域為 x|xR ， x>0，且 x 1 當 x>1 時， log 3x>0 ，于是1y log3x log 3x 1 21log 3xlog 3x 1 1；當 0<x<1 時， log 3x<0，于是13x 11 1 log3x log 3xy log3 x log 2 1 3.故函數(shù)的值域是( ， 3 1， )探究提高(1) 當所給函數(shù)是分式的形式，且分子、 分母是同次的， 可考慮用分離常數(shù)法；(2) 若與二次函數(shù)有關， 可用配方法； (3)若函數(shù)解析式中含有根式， 可考慮用換元法或單調性法； (4)當函數(shù)解析式結構與基本不等式有關，可考慮用基本不等式求解；(5)分段函數(shù)宜分段求解；(6) 當函數(shù)的圖象易畫出時，還可借助于圖象求解求下列函數(shù)的值域：x2 x(1) yx2x 1；(2)y 2x 1134x.解 (1)方法一 (配方法 )1 y 1，x2 x 1又 x2 x 1 x1 2 3 3，24 4141 0<x2 x 13， 3y<1.1 函數(shù)的值域為3， 1 .方法二(判別式法 )x2 x由 y x2 x 1，x R，得 (y1)x2(1 y) x y 0. y 1 時， x ?， y 1.又 x R， (1 y)2 4y(y 1)0，1解得 3 y 1.11綜上得3 y<1. 函數(shù)的值域為3， 1 .(2) 方法一(換元法 )13 t2設 13 4x t，則 t 0， x4，13 t2于是 f( x) g(t) 2 4 1 t11112t2 t2 2(t1)2 6，顯然函數(shù)g(t)在 0， )上是單調遞減函數(shù)，11所以 g(t)g(0) 2 ，11因此原函數(shù)的值域是 ， 2.方法二(單調性法 )13函數(shù)定義域是x|x 4，當自變量x 增大時， 2x 1 增大，13 4x減小，所以 2x 113 4x增大，因此函數(shù)f(x) 2x 113 4x在其定義域上是一個單調遞增函數(shù)，131311所以當 x4時，函數(shù)取得最大值f 42 ，11故原函數(shù)的值域是 ， 2.題型三求函數(shù)的解析式例 3 (1) 已知 f 2x 1 lg x，求 f(x)；(2) 設 yf(x)是二次函數(shù)， 方程 f(x) 0 有兩個相等實根， 且 f (x) 2x 2，求 f( x)的解析式；(3) 定義在 ( 1,1)內的函數(shù) f(x)滿足 2f(x) f( x) lg( x1) ，求函數(shù) f(x)的解析式思維啟迪： 求函數(shù)的解析式，要在理解函數(shù)概念的基礎上，尋求變量之間的關系22解 (1)令 t x 1，則 x，t 1 f(t) lg22，即 f( x) lg(x>1) t 1x1(2) 設 f(x) ax2 bx c (a 0) ，則 f( x) 2ax b 2x2， a1， b 2， f(x) x2 2x c.又 方程 f(x) 0 有兩個相等實根， 4 4c0， c 1，故 f(x) x2 2x 1.(3) 當 x( 1,1)時，有 2f(x) f( x) lg( x1) 以 x 代替 x 得， 2f( x) f(x) lg( x 1) 由 消去 f( x)得，21f(x) 3lg(x 1) 3lg(1 x)，x ( 1,1)探究提高函數(shù)解析式的求法(1) 配湊法： 由已知條件 f(g(x) F(x)，可將 F(x)改寫成關于 g(x)的表達式， 然后以 x 替代g(x)，便得 f( x)的解析式；(2) 待定系數(shù)法：若已知函數(shù)的類型(如一次函數(shù)、二次函數(shù) )，可用待定系數(shù)法；(3) 換元法：已知復合函數(shù) f(g(x)的解析式，可用換元法，此時要注意新元的取值范圍；1(4) 消去法： 已知關于f(x)與 f x 或 f( x)的表達式， 可根據(jù)已知條件再構造出另外一個等式組成方程組，通過解方程組求出f(x)給出下列兩個條件：(1) f( x 1) x2 x；(2) f(x)為二次函數(shù)且 f(0) 3，f(x 2) f(x) 4x 2.試分別求出 f(x)的解析式解 (1)令 t x 1， t 1，x (t 1)2.則 f(t) (t 1)2 2(t 1) t2 1， f(x) x2 1 (x 1)(2) 設 f(x) ax2 bx c (a 0) ，又 f(0) c 3. f(x) ax2 bx3， f(x 2) f(x) a(x 2)2 b(x 2) 3 (ax2 bx3) 4ax 4a2b 4x2.4a 4a 1， ，4a 2b2b 1 f(x) x2 x 3.函數(shù)問題首先要考慮定義域典例： (14 分 )已知 f(x)2 log3x， x 1,9 ，試求函數(shù) y f(x) 2 f(x2)的值域審題視角(1) f(x)的定義域； (2) yf(x)2f(x2)的定義域與 f(x)的定義域不同；(3)如何求y f(x)2 f(x2)的定義域規(guī)范解答解 f(x)2 log 3x 的定義域為 1,9 ，要使 f(x) 2 f(x2)有意義，必有1 x 9 且 1 x2 9， 1 x 3， 4 分 y f(x)2 f( x2)的定義域為 1,3 又 y (2 log3x)2 2 log3x2(log 3x 3)2 3.8 分 x 1,3 ， log3x 0,1 ， ymax (1 3)2 3 13，ymin (0 3)2 3 6.12 分 函數(shù) yf(x)2f(x2)的值域為 6,13 14 分 溫馨提醒(1) 本題考查了函數(shù)的定義域、值域的概念及求法，是函數(shù)的重點知識(2) 本題易錯原因是忽略對定義域的研究，致使函數(shù)yf(x)2 f(x2)的討論范圍擴大(3) 解答有關函數(shù)的問題要規(guī)范，研究函數(shù)問題，首先研究其定義域，這是解答的規(guī)范，也是思維的規(guī)范 .方法與技巧1 函數(shù)的定義域是函數(shù)的靈魂，它決定了函數(shù)的值域，并且它是研究函數(shù)性質的基礎因此，我們一定要樹立函數(shù)定義域優(yōu)先意識求函數(shù)的定義域關鍵在于列全限制條件和準確求解方程或不等式(組 )；對于含有字母參數(shù)的函數(shù)定義域，應注意對參數(shù)取值的討論；對于實際問題的定義域一定要使實際問題有意義2 函數(shù)值域的幾何意義是對應函數(shù)圖象上點的縱坐標的變化范圍利用函數(shù)幾何意義，數(shù)形結合可求某些函數(shù)的值域3 函數(shù)的值域與最值有密切關系，某些連續(xù)函數(shù)可借助函數(shù)的最值求值域，利用配方法、判別式法、基本不等式求值域時，一定注意等號是否成立，必要時注明“ ”成立的條件失誤與防范1 求函數(shù)的值域，不但要重視對應法則的作用，而且還要特別注意定義域對值域的制約作用函數(shù)的值域常?；瘹w為求函數(shù)的最值問題，要重視函數(shù)單調性在確定函數(shù)最值過程中的作用特別要重視實際問題中的最值的求法2 對于定義域、值域的應用問題，首先要用“ 定義域優(yōu)先 ” 的原則，同時結合不等式的性質 .A 組 專項基礎訓練(時間： 35 分鐘，滿分：62 分 )一、填空題 (每小題 5分，共 35 分 )1，則 f(x)的定義域為 _ 1 若 f(x)1log 2 2x 1答案1， 02解析要使 f(x)有意義，需 log1(2x 1)>0 log11，221 0<2x 1<1， 2<x<0.1， x>0，1， x為有理數(shù)，2 (2012 福 建 改編 ) 設f(x) 0， x 0，g(x) 則f(g( )的 值 為0， x為無理數(shù)， 1， x<0，_ 答案0解析根據(jù)題設條件， 是無理數(shù)， g( )0， f(g( ) f(0) 0.3 已知 f( x) x2 px q 滿足 f(1) f(2) 0，則 f( 1) _.答案6解析由 f(1) f(2) 0，得12 pq 0，22 2p q 0p 3， f( x) x2 3x 2.q 2 f( 1) ( 1)2 3 2 6.1 x1 x24 已知 f1 x 1 x2，則 f( x)的解析式為 _ 答案f(x) 2x 2(x 1)1 x1 t121 x1 t1 t2t ，從而 f( x)的(t 1)，由此得 x解析令 t ，所以 f(t)1 x1 t1 t1 t2121 t2x解析式為f(x) 1 x2 (x 1)5 若函數(shù) f(x) 2x2 2ax a 1的定義域為 R ，則 a 的取值范圍為 _答案 1,0解析由題意知2x2 2ax a 10 恒成立 x22ax a0 恒成立， 4a2 4a 0， 1a 0.6 若函數(shù) y f(x)的定義域是 1,1，則函數(shù)y f(log 2x)的定義域是 _答案1， 221解析由 1 log2x 1 得 log 22 log 2x log22，由 y log 2x 在 (0， )上遞增，得 1 x 2. 27 若函數(shù) y f(x)的值域是 1,3 ，則函數(shù)F(x) 1 2f(x 3)的值域是 _ 答案解析 5 ， 1 1 f(x) 3， 1 f(x 3) 3， 6 2f(x 3) 2， 5 F(x) 1.二、解答題 (共 27 分 )2的定義域為集合N，8 (13 分 ) 記 f(x) lg(2 x 3)的定義域為集合M，函數(shù) g(x)1 x1求：(1) 集合 M、 N； (2) 集合 M N，M N.解 (1)M x|2x 3>0 x|x>3 ，2N x|1 2 0 x|x 3 或 x<1 ；x 13(2) M N x|x3 ， M N x|x<1 或 x>2 9 (14 分 ) 已知 f(x)是二次函數(shù)，若f(0) 0，且 f(x 1) f(x) x1.(1) 求函數(shù) f(x)的解析式；(2) 求函數(shù) y f(x22) 的值域解 (1)設 f(x) ax2 bxc (a 0)，又 f(0) 0， c 0，即 f(x) ax2 bx.又 f(x 1) f(x) x 1. a(x 1)2 b(x 1) ax2 bx x1. (2a b)x a b (b 1)x 1，12a b b 1a 2.，解得1a b 1b 2 f(x)1212x x.2212212(2) 由 (1)知 yf(x 2) 2(x 2) 2(x 2) 1(x43x2 2) 1 x2 3 2 1，2228當 x2 32時， y 取最小值 18. 函數(shù)y f(x2 2)的值域為18， .B 組專項能力提升(時間： 35 分鐘，滿分： 58 分 )一、填空題 (每小題 5分，共 30 分 )1 (2012 蘇江 )函數(shù) f(x)1 2log x的定義域為 _6答案(0， 6x>0，解析要使函數(shù) f(x)1 2log 6x有意義，則1 2log 6x 0.解得 0<x 6.x2， |x| 1，g(x) 是二次函數(shù)，若 f(g(x)的值域是 0， )，則 g(x)的值域是2 設 f(x)x， |x|<1，_ 答案0， )解析f(x)的圖象如圖g(x)是二次函數(shù)， 且 f(g(x) 的值域是 0， )，g(x)的值域是 0， )2x a， x>2，3 設函數(shù) f(x) 若 f(x)的值域為 R ，則常數(shù) a 的取x a2 ， x 2，值范圍是 _答案a2 或 a 1解析易知兩段函數(shù)都是增函數(shù)，當x>2 時， y>4 a；當 x 2 時， y 2 a2，要使 f(x)的值域為 R ，則 4 a 2 a2，解得 a 2 或 a 1.114 已知 f x x x2x2 ，則 f(3) _.答案11解析 f x1 x212 x1 2 2，xxx f(x) x2 2， f(3) 32 211.5 設 函 數(shù) g(x) x2 2(xR ) ， f(x) g x x 4， x<g x則 f(x) 的 值 域 是，g x x， x g x_ 9答案4， 0 (2， )解析由 x<g(x)可得 x< 1 或 x>2，由 x g(x)可得 1 x 2；x2 x 2，x< 1或x>2， f(x)x2 x 2， 1x 2.由 f(x)的圖象可得：當 x< 1 或 x>2 時， f(x)>f( 1) 2，1 f(x) f(2)，當 1 x2 時， f 299即4 f(x) 0， f(x) 值域為 4， 0 (2， )6 設 x 2，則函數(shù) yx 5x 2的最小值是 _x 1答案283解析 x 1 4 x 1 1t 2 5t 44y，設 x 1 t，則 t 3，那么 yt t t 5，在x 1區(qū)間 2， )上此函數(shù)為增函數(shù)，所以t 3 時，函數(shù)取得最小值即28y 3 .min二、解答題 (共 28 分 )7 (14 分 ) 已知函數(shù) f(x) x2 4ax 2a 6 (a R)(1) 若函數(shù)的值域為 0， )，求 a 的值；(2) 若函數(shù)的值域為非負數(shù)，求函數(shù) g(a)2 a|a 3|的值域解 (1) 函數(shù)的值域為 0， )， 16a2 4(2a 6)0， 2a2 a 3 0， a 1 或 a 3. 2(2) 對一切x R 函數(shù)值均為非負， 16a2 4(2a 6) 8(2a2 a 3)0. 31 a 2.a 3>0， g(a) 2 a|a 3| a2 3a 2a 32 2174a 1， 32.3 二次函數(shù)g(a)在 1，2 上單調遞減， g 3 g(a) g( 1)即 19 g( a) 4.2419 g(a)的值域為 4 ， 4 .8 (14 分 )已知定義在 0,6 上的連續(xù)函數(shù) f(x)，在 0,3 上為正比例函數(shù)， 在 3,6 上為二次函數(shù)，并且當 x3,6 時， f( x) f(5) 3， f(6) 2，求 f(x)的解析式解由題意，當x3,6 時，可設 f( x) a(x 5)2 3 (a<0) f(6) 2， a(6 5)2 3 2，解得 a 1， f(x) (x 5)2 3 x2 10x 22.當 x 0,3 時，設 f(x) kx (k 0) x 3 時， f(x) (3 5)2 3 1， 1 3k， k 113， f(x) 3x.13x0 x<3 ，故 f(x) x210x 223x 6 .