離散型隨機(jī)變量的均值一、教材分析期望是概率論和數(shù)理統(tǒng)計的重要概念之一，是反映隨機(jī)變量取值分布的特征數(shù)，學(xué)習(xí)期望將為今后學(xué)習(xí)概率統(tǒng)計知識做鋪墊。同時，它在市場預(yù)測，經(jīng)濟(jì)統(tǒng)計，風(fēng)險與決策等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，為今后學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)及相關(guān)學(xué)，科產(chǎn)生深遠(yuǎn)的影響。二、學(xué)情分析本節(jié)課是一節(jié)概念新授課， 而概念本身具有一定的抽象性，學(xué)生難以理解，因此把對離散性隨機(jī)變量期望的概念的教學(xué)作為本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)。此外，學(xué)生初次應(yīng)用概念解決實際問題也較為困難，故把其作為本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)。三、教學(xué)目標(biāo)1、知識目標(biāo)1） 了解離散型隨機(jī)變量的 均值或期望的意義，會根據(jù)離散型隨機(jī)變量的分布列求出均 值或期望.2、能力目標(biāo)1 ）理解公式“ E （aE +b） =aEE +b"，以及“若El B （n,p ）,貝U EE =np” .能熟練地 應(yīng)用它們求相應(yīng)的離散型隨機(jī)變量的均值或期望。3、情感目標(biāo)1 ）承前啟后，感悟數(shù)學(xué)與生活的和諧之美，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的文化功能與人文價值。四、教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量期望的概念及其實際含義（B、C類目標(biāo)）難點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量期望的實際應(yīng)用（ A類目標(biāo)）五、教學(xué)過程（一）、復(fù)習(xí)引入1 .隨機(jī)變量：如果隨機(jī)試驗的結(jié)果可以用一個變量來表示，那么這樣的變量叫做隨機(jī)變量.隨機(jī)變量常用希臘字母 E、Y等表示.2 .離散型隨機(jī)變量：對于隨機(jī)變量可能取的值，可以按一定次序一一列出，這樣的隨機(jī) 變量叫做離散型隨機(jī)變量.3 .離散型隨機(jī)變量與連續(xù)型隨機(jī)變量的區(qū)別與聯(lián)系：離散型隨機(jī)變量與連續(xù)型隨機(jī)變量都是用變量表示隨機(jī)試驗的結(jié)果；但是離散型隨機(jī)變量的結(jié)果可以按一定次序 列出，而連續(xù)性隨機(jī)變量的結(jié)果不可以 列出(二)、新課講授根據(jù)已知隨機(jī)變.量的分布列，我們可以方便的得出隨機(jī)變量的某些制定的概率，但分布列的用途遠(yuǎn)不止于此，例如：已知某射手射擊所得環(huán)數(shù)E的分布列如下E 45678910P0.020.040.060.090.280.290.22在n次射擊之前，可以根據(jù)這個分布列估計n次射擊的平均環(huán)數(shù).這就是我們今天要學(xué)習(xí)的離散型隨機(jī)變量的 均值或期望.根據(jù)射手射擊所得環(huán)數(shù)E的分布列，我們可以估計，在 n次射擊中，預(yù)計大約有P( =4)xn =0.02n 次得 4 環(huán)；P代=5)xn =0.04n 次得 5環(huán);P(亡=10) xn =0.22n 次得 10 環(huán).故在n次射擊的總環(huán)數(shù)大約為4 0.02 n 5 0.04 n 10 0.22 n=(4 m 0.02 + 5父0.04+ 10x0.22)x n ,從而，預(yù)計n次射擊的平均環(huán)數(shù)約為4父0.02 + 5乂0.04 +10x0.22 = 8.32.這是一個由射手射擊所得環(huán)數(shù)的分布列得到的，只與射擊環(huán)數(shù)的可能取值及其相應(yīng)的概率有關(guān)的常數(shù)，它反映了射手射擊的平均水平.對于任一射手，若已知其射擊所得環(huán)數(shù)E的分布列，即已知各個 P(U=i) (i=0, 1,2,，10),我們可以同樣預(yù)計他任意n次射擊的平均環(huán)數(shù)：0MP(£ =0) + 1嚇(0=1) +10MP、=10).1.均值或數(shù)學(xué)期望：一般地，若離散型隨機(jī)變量E的概率分布為X1X2XnPP1P2Pn則稱E= X1P1 +X2P2 + +4Pn+ 為E的均值或數(shù)學(xué)期望，簡稱期望.2 .均值或數(shù)學(xué)期望是離散型隨機(jī)變量的一個特征數(shù)，它反映了離散型隨機(jī)變量取值的 平均水平 .3 .平均數(shù)、均值：一般地，在有限取值離散型隨機(jī)變量E的概率分布中，令p1 = p2 =1 .1=Pn ,則有P1= P2= =Pn=一，E- =(X1+X2+十*口戶一，所以 工的數(shù)學(xué)期望nn又稱為平均數(shù)、均值.4 .均值或期望的一個性質(zhì)：若“=a+b(a、b是常數(shù))，七是隨機(jī)變量，則刀也是隨機(jī)變量，它們的分布列為X1x2xn刀ax1 +bax2 +baxn +bPp1口pn于是 E n = (ax1 +b) p1 + (ax2 +b) p2 + +(axn +b) pn +=a(Xl pi+X2 P2+XnPn +)+b(p1+P2十+Pn +)=aE：+b,由此，我們得到了期望的一個性質(zhì)：E(a'-b)=aE'-b5 .若 E I B (n,p ),貝U EE =np證明如下：P( =k) =C：pk(1-p)n" =C：pkqn上,+ + kx Ckpkqn"+ nxEt=0x C0p0qn + 1x Cnp1qn+ 2x C；p2qn/enCn p又kCnk 二 kn!k!(n -k)!n (n 7)!(k-1)!(n-1)-(k-1)!k- nCn，9E = np ( Cn j0 n_. 111 n J2p q + Cn" qk 1 k 1 (n)4k)+ Cn/p q+n -1 0n 1p q ) =np(p +q) = np .故 若七B(n, p),則E巴=np.三、講解范例：1分，罰不中得0分，已知他命中的概率為例1.籃球運(yùn)動員在比賽中每次罰球命中得0.7 ,求他罰球一次得分 X的期望.解：因為 P(=1) =0.7,P=0) =0.3 ,所以 E =1 0.7 - 0 0.3 =0.7.例2. 一次單元測驗由20個選擇題構(gòu)成，每個選擇題有4個選項，其中有且僅有一個選項是正確答案，每題選擇正確答案得5分，不作出選擇或選錯不得分，滿分 100分,學(xué)生甲選對任一題的概率為 0.9,學(xué)生乙則在測驗中對每題都從4個選擇中隨機(jī)地選擇一個，求學(xué)生甲和乙在這次英語單元測驗中的成績的期望解：設(shè)學(xué)生甲和乙在這次英語測驗中正確答案的選擇題個數(shù)分(20,0.9 ) , n B(20,0.25),e E - 20 0.9 =18, E-20 0.25 =5 .由于答對每題得5分，學(xué)生甲和乙在這次英語測驗中的成績分別是5之和5刈.所以,他們在測驗中的成績的期望分別是:E(5 ) = 5E( ) = 5 18 =90, E(5 ) = 5E( ) = 5 5 = 25 .例3.根據(jù)氣象預(yù)報，某地區(qū)近期有小洪水的概率為 0.25，有大洪水的概率為 0.01 .該 地區(qū)某工地上有一臺大型設(shè)備， 遇到大洪水時要損失 60 000元，遇到小洪水時要損失 10000 元.為保護(hù)設(shè)備，有以下 3種方案：方案1:運(yùn)走設(shè)備，搬運(yùn)費(fèi)為 3 800元.方案2:建保護(hù)圍墻，建設(shè)費(fèi)為2 000元.但圍墻只能防小洪水.方案3:不采取措施，希望不發(fā)生洪水.試比較哪一種方案好.解：用X1、X2和X3分別表示三種方案的損失.采用第1種方案，無論有無洪水，都損失 3 800元，即X = 3800 .采用第2種方案，遇到大洪水時，損失 2 000 + 60 000=62 000 元；沒有大洪水時， 損失2 000元，即v 62000 ,有大洪水；X2 =2000,無大洪水.同樣，采用第3種方案，有60000,有大洪水；X3=10000,有小洪水；0,無洪水.于是，EX=3 800 ,EX= 62 000 X P (X2 = 62 000 ) + 2 00000 X P (X 2 = 2 000 )=62000 X 0. 01 + 2000 X (1-0.01) = 2 600 ,E* = 60000 XP (X3 = 60000) + 10 000XP(X3 =10 000 ) + 0 .X P (X3 =0)=60 000 X 0.01 + 10000 X 0.25=3100 .采取方案2的平均損失最小，所以可以選擇方案2.值得注意的是，上述結(jié)論是通過比較“平均損失”而得出的.一般地，我們可以這樣來 理解“平均損失”：假設(shè)問題中的氣象情況多次發(fā)生，那么采用方案2將會使損失減到最小.由于洪水是否發(fā)生以及洪水發(fā)生的大小都是隨機(jī)的，所以對于個別的一次決策，采用方案2也不一定是最好的.例4.隨機(jī)拋擲一枚骰子，求所得骰子點(diǎn)數(shù)的期望.解：: P(亡=i) =1/6,i =1,2,，,6,.E =1 1/6 2 1/66 1/6 =3.5.例5.有一批數(shù)量很大的產(chǎn)品，其次品率是15%對這批產(chǎn)品進(jìn)行抽查，每次抽取1件，如果抽出次品，則抽查終止，否則繼續(xù)抽查，直到抽出次品為止，但抽查次數(shù)不超過10次.求抽查次數(shù)之的期望(結(jié)果保留三個有效數(shù)字).解：抽查次數(shù)取1 M U M10的整數(shù)，從這批數(shù)量很大的產(chǎn)品中抽出 1件檢查的試驗可以認(rèn)為是彼此獨(dú)立的，取出次品的概率是0.15 ,取出正品的概率是 0.85 ,前k-1次取出正品而第k次(k=1, 2,，10)取出次品的概率：P(W =k) =0.85k,x 0.15 (k=1, 2,，10)需要抽查10次即前9次取出的都是正品的概率：P伐=10) =0.859*由此可得U的概率分布如下:12345678910P0.10.1270.1080.090.0780.0660.0560.0480.0400.2315542366196根據(jù)以上的概率分布，可得 巴的期望= 5.35*E =1 0.15 2 0.1275 -10 0.2316例6.隨機(jī)的拋擲一個骰子，求所得骰子的點(diǎn)數(shù)的數(shù)學(xué)期望.解：拋擲骰子所得點(diǎn)數(shù)E的概率分布為所以EU =1X 1 +2X 1+ 3X6+5X=(1 +2+3+ 4+5 + 6)拋擲骰子所得點(diǎn)數(shù) E的數(shù)學(xué)期望，就是 E的所有可能取值的平均值.例7.某城市出租汽車的起步價為若行駛路程超出4km,則按每超出10元,行駛路程不超出4km時租車費(fèi)為lkm加收2元計費(fèi)(超出不 足lkm的部分按10元,lkm計).從這個城市的民航機(jī)場到某賓館的路程為15km.某司機(jī)經(jīng)常駕車在機(jī)場與此賓(這個城E是館之間接送旅客，由于行車路線的不同以及途中停車時間要轉(zhuǎn)換成行車路程市規(guī)定，每停車5分鐘按lkm路程1f費(fèi))，這個司機(jī)一次接送旅客的行車路程一個隨機(jī)變量.設(shè)他所收租車費(fèi)為(I )求租車費(fèi) Y關(guān)于行車路程E的關(guān)系式;(n)若隨機(jī)變量 E的分布列為15161718P0.10.50.30.1求所收租車費(fèi)Y的數(shù)學(xué)期望.(出)已知某旅客實付租車費(fèi)38元，而出租汽車實際行駛了15km,問出租車在途中因故停.車?yán)塾嬜疃鄮追昼?？解?I )依題意得Y =2(七-4)十10,即 刀=2 E +2;(n ) E2 =15x0.1 +16x0.5+17x0.3+18x0.1=16.4Y =2 七 +2En =2EW +2=34.8(元)故所收租車費(fèi)Y的數(shù)學(xué)期望為34.8元.(出)由 38=2 E +2,得 =18, 5x(18-15)=15所以出租車在途中因故停車?yán)塾嬜疃?5分鐘.四、課堂練習(xí)：1. 口袋中有5只球，編號為1, 2, 3, 4, 5,從中任取3球，以巴表示取出球的最大號碼，則E2 =()A. 4;B. 5;C. 4.5 ; D. 4.75.答案：C .2.籃球運(yùn)動員在比賽中每次罰球命中的1分，罰不中得0分.已知某運(yùn)動員罰球命中的概率為0.7 ,求他罰球1次的得分E的數(shù)學(xué)期望；他罰球2次的得分Y的數(shù)學(xué)期望；他罰球3次的得分E的數(shù)學(xué)期望.解：因為P(U=1)=0.7, P仁=0) =0.3,所以eM =1X P(£ =1) +0X p =0) =0.7Y的概率分布為Y 012P0.32C2 M 0.7M0.3 0.72所以 EU =0x 0.09+ 1x 0.42 +2x 0.98=1.4 .E的概率分布為0123P0.33C3 M0.7M0.32C； M0.72M 0.30.73所以 E =0x 0.027 + 1 x 0.189 +2x 0.98 = 2.1.3.設(shè)有m升水，其中含有大腸桿菌n個.今取水1升進(jìn)行化驗，設(shè)其中含有大腸桿菌的個數(shù)為E ,求E的數(shù)學(xué)期望.，一 一一一，人 ，一1一分析：任取1升水，此升水中含一個大腸桿菌的概率是,事件“七二k”發(fā)生，即m 個大腸桿菌中恰有 k個在此升水中，由n次獨(dú)立重復(fù)實驗中事件 A (在此升水中含一個大腸 桿菌)恰好發(fā)生 k次的概率計算方法可求出P( E =k),進(jìn)而可求 EE .解：記事件A: “在所取的1升水中含一個大腸桿菌”，則P(A)=.m_k 1 k 1 n-k P( E =k)=R(k尸C： ) (1 - )(k=0,1, 2,.，n).E B(n)，故 E =nx 1 = _n_.mmm五、課堂小結(jié) ：(1)離散型隨機(jī)變量的期望，反映了隨機(jī)變量取值的平均水平；(2)求離散型隨機(jī)變量 E的期望的基本步驟：理解 E的意義，寫出 E可能取的全部值；求E取各個值的概率，寫出分布列；根據(jù)分布列，由期望的定義求出EE公式E (aE +b) = aE E +b,以及.服從二項分布的隨機(jī)變量的期望EE =np .六、課后作業(yè)1.一袋子里裝有大小相同的3個紅球和兩個黃球， 從中同時取出2個，則其中含紅球個數(shù)的數(shù)學(xué)期望是 (用數(shù)字作答)解：令取取黃球個數(shù) t (=0、1、2)則巴的要布列為012p31035110于是 E ( ) =0X +1 X 3 +2X =0.810510故知紅球個數(shù)的數(shù)學(xué)期望為1.22.袋中有4個黑球、3個白球、2個紅球，從中任取 2個球，每取到一個黑球記0分,每取到一個白球記 1分，每取到一個紅球記 2分，用表示得分?jǐn)?shù)求-的概率分布列 求的數(shù)學(xué)期望解：依題意U的取值為0、1、2、3、4,什 EC：1-=0 時，取 2 黑 p( -=0)= C2 =6巴=1時，取1 黑 1 白 p( t=1)c4 c31C92亡=2時，取2白或1紅1黑p（0=2）=C；C2c2 c4c；1136之=3時，取1白1紅，概率p（1=3）=c3C2C92：=4時，取C222 紅，概率 p( - =4)= 2136。分布列為01234p1111116R36636C9(2)期望 Et=0X 1 +1X 1 +2X H+3X 1+4X = 146336636 9八、板書設(shè)計離散型隨機(jī)變量的均值1、知識回顧（回顧離散型隨機(jī)變量）（回顧隨機(jī)變量）3、典型例題（從中認(rèn)識其中的性質(zhì)）（兩點(diǎn)分布列）（二項分布）4、自主練習(xí)5、課堂小結(jié)2、離散型隨機(jī)變量的意義（分布列知識）（均值和數(shù)學(xué)期望的理解）