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2018-2019學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題 文(競(jìng)培中心) 一、選擇題：（本大題共12小題，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.） 1．設(shè)集合，，則 （ ） A． B． C． D． 2．已知命題p：，，則 A．：， B．：， C．：， D．：， 3．在等比數(shù)列中，已知，且，，成等差數(shù)列則的前5項(xiàng)和為　　 A．31 B．62 C．64 D．128 4．已知函數(shù)，則　　 A．xx B． C．2 D．1 5．已知函數(shù)（），若，為其圖象上兩相鄰的對(duì)稱中心，且函數(shù)的最大值為3，則 ( ) A． B． C． D． 6．朱世杰是歷史上最偉大的數(shù)學(xué)家之一，他所著的《四元玉鑒》卷中“如像招數(shù)”五問中有如下問題：今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日轉(zhuǎn)多七人.”其大意為“官府陸續(xù)派遣1864人前往修筑堤壩，第一天派出64人，從第二天開始每天派出的人數(shù)比前一天多7人.”在該問題中的1864人全部派遣到位需要的天數(shù)為（ ） A．9 B．16 C．18 D．20 7．中， ，，，則外接圓的面積為（ ） A． B． C． D． 8．函數(shù)圖像向左平移個(gè)單位后圖像關(guān)于軸對(duì)稱，則的值可能為（ ）. A． B． C． D． 9．在中，，若，，則（ ） A． B． C． D． 10．函數(shù)的圖象大致為　　 A． B． C． D． 11．已知單位向量滿足，則=（ ） A．3 B．2 C．9 D．4 12．設(shè)函數(shù)，若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷（非選擇題 共90分） 二、填空題：（本大題共4小題，每小題5分，共20分.將答案填寫在答題卷上.） 13．已知，滿足約束條件，則的最小值為__________． 14．若正實(shí)數(shù)滿足，則 的最小值為______． 15．若，則______. 16.已知在ABC中，若______． 三、解答題：（本大題共6個(gè)小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.） 17．（本小題滿分10分） 已知等差數(shù)列的前項(xiàng)的和為，，. （1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （2）設(shè)，記數(shù)列的前項(xiàng)和，求使得恒成立時(shí)的最小正整數(shù). 18．（本小題滿分12分） 已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，滿足. (1) 求角的大??； (2) 若，的面積為，求的大小． 19．（本小題滿分12分） 已知函數(shù)的最小正周期為． （1）求的值和函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間； （2）求函數(shù)在區(qū)間上的取值范圍． 20．（本小題滿分12分） 已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，且，. （1）求的通項(xiàng)公式； （2）若，求的前項(xiàng)和. 21.（本小題滿分12分） 已知函數(shù). （1）設(shè)是函數(shù)的極值點(diǎn)，求的值，并求的單調(diào)區(qū)間； （2）若對(duì)任意的，恒成立，求的取值范圍. 22．（本小題滿分12分） 設(shè)函數(shù)． （1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； （2）記函數(shù)的最小值為，證明：． 1．A 2．C 3．B 4．B 5．B 6．B 7．C 8．B 9．A 10．D 11．A 12．D 【詳解】 設(shè)， 則， 在上遞減，在上遞增， ，且時(shí)，， 有三個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于與的圖象有三個(gè)交點(diǎn)， 畫出的圖象，如圖， 由圖可得，時(shí)，與的圖象有三個(gè)交點(diǎn)， 此時(shí)，函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)， 實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選D. 13． 14． 15． 16. 17．(1) (2)1 解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)?，? 所以 解得 所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為. （2）由（1）可知 ∴ , ∴，∴，∴的最小正整數(shù)為1 18．（1）； （2）. 解：(1)在中，因?yàn)椋? 所以由正弦定理可得：， 所以，又中，，所以. 因?yàn)?，所? (2)由，，，得. 由余弦定理得，所以. 19．Ⅰ，；Ⅱ 解： Ⅰ因?yàn)? 所以函數(shù)的最小正周期為，所以 ． 由，得， 函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為， Ⅱ， 在區(qū)間單調(diào)遞增，在區(qū)間單調(diào)遞減， ，，， 因此的取值范圍為 20．（1）；（2） 解：（1）因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，， 則. 即， 所以. 因?yàn)椋?，即? 所以數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列. 由得，因?yàn)?，解? 所以. （2）由（1）知， 所以，① ② ③-④得， ， ， ∴. 21．(1) 在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減. (2) 解：（1），. 因?yàn)槭呛瘮?shù)的極值點(diǎn)， 所以，故. 令， 解得或. 所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減. （2）， 當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增， 又，所以恒成立； 當(dāng)時(shí)，易知在上單調(diào)遞增， 故存在，使得， 所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增， 又，則，這與恒成立矛盾. 綜上，. 22．（I）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（II）詳見解析. 【詳解】 （Ⅰ）顯然的定義域?yàn)椋? ． ∵，， ∴若，，此時(shí)，在上單調(diào)遞減； 若，，此時(shí)，在上單調(diào)遞增； 綜上所述：在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增． （Ⅱ）由（Ⅰ）知：， 即：． 要證，即證明，即證明， 令，則只需證明， ∵，且， ∴當(dāng)，，此時(shí)，在上單調(diào)遞減； 當(dāng)，，此時(shí)，在上單調(diào)遞增， ∴． ∴．∴．