課時規(guī)范練35空間幾何體的表面積與體積一、選擇題1.正六棱柱的高為6,底面邊長為4,則它的表面積為()A.48(3+)B.48(3+2)C.24()D.144答案:A2.如圖,一個簡單組合體的正視圖和側視圖相同,是由一個正方形與一個正三角形構成,俯視圖中,圓的半徑為.則該組合體的表面積為()A.15B.18C.21D.24答案:C解析:由三視圖可知,該幾何體是由圓錐與等底面的圓柱組合而成的組合體,所以該幾何體的表面積是圓錐的側面積、圓柱的側面積和底面圓的面積的和,所以該幾何體的表面積為S=××2+2××2+×()2=21.3.一個幾何體按比例繪制的三視圖如圖所示(單位:m),則該幾何體的體積為()A. m3B. m3C. m3D. m3答案:C解析:結合三視圖可知,該幾何體是由三個棱長為1 m的正方體和半個棱長為1 m的正方體組成的,所以該幾何體的體積V=3×1×1×1+×1×1×1=(m3).4.圓臺的一個底面周長是另一個底面周長的3倍,母線長為3,圓臺的側面積為84,則圓臺較小底面的半徑為()A.7B.6C.5D.3答案:A解析:設圓臺較小底面半徑為r,則另一底面半徑為3r.來源:由S=(r+3r)·3=84,解得r=7.5.某幾何體的三視圖如圖所示,其中俯視圖是個半圓,則該幾何體的表面積為()A.B.+C.+D.+答案:C解析:由三視圖可知該幾何體為一個半圓錐,即由一個圓錐沿中軸線切去一半而得.S=×2××+×2×1=+.6.一個幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的表面積為()A.75+2B.75+4C.48+4D.48+2答案:B解析:由三視圖可知該幾何體是一個四棱柱.兩個底面面積之和為2××3=27,四個側面的面積之和是(3+4+5+)×4=48+4,故表面積是75+4.7.設三棱柱的側棱垂直于底面,所有棱的長都為a,頂點都在一個球面上,則該球的表面積為()A.a2B.a2C.a2D.5a2答案:B解析:如圖,O1,O分別為上、下底面的中心, D為O1O的中點,則DB為球的半徑,有r=DB=,S表=4r2=4×a2.二、填空題8.四棱錐P-ABCD的頂點P在底面ABCD中的投影恰好是A,其三視圖如圖,則四棱錐P-ABCD的體積為. 答案:a3解析:易知該四棱錐中,PA底面ABCD,PA=a,底面是邊長為a的正方形,故體積V=a2×a=a3.9.已知一個圓錐的展開圖如圖所示,其中扇形的圓心角為120°,底面圓的半徑為1,則該圓錐的體積為. 答案:解析:因為扇形弧長為2,所以圓錐母線長為3,高為2,所求體積V=××12×2.10.若一個圓柱的側面展開圖是邊長為2的正方形,則此圓柱的體積為. 答案:解析:設圓柱的底面半徑為r,高為h,底面積為S,體積為V,則有2r=2r=,故底面面積S=r2=×,故圓柱的體積V=Sh=×2=.11.已知某幾何體的三視圖的正視圖和側視圖是全等的等腰梯形,俯視圖是兩個同心圓,如圖所示,則該幾何體的全面積為. 答案:26解析:由三視圖知該幾何體為上底直徑為2,下底直徑為6,高為2的圓臺,則幾何體的全面積S=×1+×9+×(1+3)×=26.12.如圖是一個空間幾何體的三視圖,則這個幾何體的外接球的體積是. 答案: cm3解析:由題意可知,該幾何體是一個有同一頂點的三條棱兩兩垂直的三棱錐,該三棱錐的底面是直角三角形,它的兩條直角邊的長度分別為4,3,三棱錐的高為5,以長4、寬3、高5補成一個長方體,可知外接球的大圓直徑就等于該長方體的體對角線的長,從而有2R=5(cm),故球的體積為V=R3=(cm3).三、解答題13.已知某幾何體的俯視圖是如圖所示的矩形,正視圖是一個底邊長為8,高為4的等腰三角形,側視圖是一個底邊長為6,高為4的等腰三角形.(1)求該幾何體的體積V;(2)求該幾何體的側面積S.解:由已知可得該幾何體是一個底面為矩形,高為4,頂點在底面的射影是矩形中心的四棱錐.(1)V=×(8×6)×4=64.(2)該四棱錐有兩個側面PAD,PBC是全等的等腰三角形,且BC邊上的高為h1=4,另兩個側面PAB,PCD也是全等的等腰三角形,AB邊上的高為h2=5,因此S=2=40+24.14.如圖所示,在邊長為5+的正方形ABCD中,以A為圓心畫一個扇形,以O為圓心畫一個圓,M,N,K為切點,以扇形為圓錐的側面,以圓O為圓錐底面,圍成一個圓錐,求圓錐的全面積與體積. 解:設圓錐的母線長為l,底面半徑為r,高為h,由已知條件解得r=,l=4,S全面積=rl+r2=10,h=,V=r2h=2.15.一個多面體的直觀圖和三視圖如圖所示,其中M,N分別是AB,AC的中點,G是DF上的一動點.來源:(1)求該多面體的體積與表面積;(2)求證:GNAC;(3)當FG=GD時,在棱AD上確定一點P,使得GP平面FMC,并給出證明.(1)解:由題中三視圖可知該多面體為直三棱柱,ADDF,DF=AD=DC=a,該多面體的體積為a3,表面積為a2×2+a2+a2+a2=(3+)a2.(2)證明:連接DB,由四邊形ABCD為正方形,且N為AC的中點知B,N,D三點共線,且ACDN.來源:GDAD,GDCD,ADCD=D,GD平面ABCD.AC平面ABCD,GDAC.又DNGD=D,AC平面GDN,GNAC.(3)解:點P與點A重合時,GP平面FMC.證明:取FC的中點H,連接GH,GA,MH.G是DF的中點,GH􀰿CD.又M是AB的中點,AM􀰿CD.GH􀰿AM,四邊形GHMA是平行四邊形.GAMH.MH平面FMC,GA平面FMC,GA平面FMC,即當點P與點A重合時,GP平面FMC.四、選做題1.過四面體一個頂點的三條棱的中點可以確定一個平面,這樣的平面有4個,用這樣的四個平面截去4個小棱錐后,剩下的幾何體的表面積與原四面體的表面積之比為()A.12B.32C.43D.13答案:A解析:如圖所示,設四面體四個面的面積分別為S1,S2,S3,S4,則依題意截去四個小棱錐后,得到的四個截面的面積分別為S1,S2,S3,S4,原四面體各個面上剩余部分的面積為S1,S2,S3,S4,則剩下的幾何體的表面積為2×,其與原四面體的表面積之比為,故應選A.2.如圖,已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長為2 cm,高為5 cm,則一質點自點A出發(fā),沿著三棱柱的側面繞行兩周到達點A1的最短路線的長為cm. 答案:13來源:3.如圖,在三棱錐P-ABC中,PA底面ABC,D是PC的中點.已知BAC=,AB=2,AC=2,PA=2.求:來源:(1)三棱錐P-ABC的體積;(2)異面直線BC與AD所成的角的余弦值.解:(1)SABC=×2×2=2,三棱錐P-ABC的體積為V=SABC×PA=×2×2=.(2)取PB的中點E,連接DE,AE,則EDBC,所以ADE(或其補角)是異面直線BC與AD所成的角.在ADE中,DE=2,AE=,AD=2,cosADE=,因此,異面直線BC與AD所成的角的余弦值是.