第三節(jié)二元一次不等式(組)與簡單的線性規(guī)劃問題考綱傳真(教師用書獨(dú)具)1.會(huì)從實(shí)際情境中抽象出二元一次不等式組.2.了解二元一次不等式的幾何意義，能用平面區(qū)域表示二元一次不等式組.3.會(huì)從實(shí)際情境中抽象出一些簡單的二元線性規(guī)劃問題，并能加以解決(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第97頁)基礎(chǔ)知識(shí)填充1二元一次不等式表示的平面區(qū)域一般地，直線l：axbyc0把直角坐標(biāo)平面分成了三個(gè)部分：(1)直線l上的點(diǎn)(x，y)的坐標(biāo)滿足axbyc0；(2)直線l一側(cè)的平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)(x，y)的坐標(biāo)滿足axbyc0；(3)直線l另一側(cè)的平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)(x，y)的坐標(biāo)滿足axbyc0.所以，只需在直線l的某一側(cè)的平面區(qū)域內(nèi)，任取一特殊點(diǎn)(x0，y0)，從ax0by0c值的正負(fù)，即可判斷不等式表示的平面區(qū)域2線性規(guī)劃相關(guān)概念名稱意義結(jié)束條件由變量x，y組成的一次不等式組線性約束條件由x，y的一次不等式(或方程)組成的等式組目標(biāo)函數(shù)欲求最大值或最小值的函數(shù)線性目標(biāo)函數(shù)關(guān)于x，y的一次解析式可行解在線性規(guī)劃問題中，滿足約束條件的解(x，y)可行域由所有可行解組成的集合最優(yōu)解使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解，通常在可行域的頂點(diǎn)處取得二元線性規(guī)劃問題如果兩個(gè)變量滿足一組一次不等式，求這兩個(gè)變量的一次函數(shù)的最大值或最小值問題叫作二元線性規(guī)劃問題3.重要結(jié)論畫二元一次不等式表示的平面區(qū)域的直線定界，特殊點(diǎn)定域：(1)直線定界：不等式中無等號(hào)時(shí)直線畫成虛線，有等號(hào)時(shí)直線畫成實(shí)線；(2)特殊點(diǎn)定域：若直線不過原點(diǎn)，特殊點(diǎn)常選原點(diǎn)；若直線過原點(diǎn)，則特殊點(diǎn)常選取(0,1)或(1,0)來驗(yàn)證知識(shí)拓展1.利用“同號(hào)上，異號(hào)下”判斷二元一次不等式表示的平面區(qū)域：對(duì)于AxByC0或AxByC0，則有(1)當(dāng)B(AxByC)0時(shí)，區(qū)域?yàn)橹本€AxByC0的上方；(2)當(dāng)B(AxByC)0時(shí)，區(qū)域?yàn)橹本€AxByC0的下方2最優(yōu)解和可行解的關(guān)系：最優(yōu)解必定是可行解，但可行解不一定是最優(yōu)解最優(yōu)解不一定唯一，有時(shí)唯一，有時(shí)有多個(gè)基本能力自測(cè)1(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)(1)不等式AxByC>0表示的平面區(qū)域一定在直線AxByC0的上方()(2)線性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解可能不唯一()(3)目標(biāo)函數(shù)zaxby(b0)中，z的幾何意義是直線axbyz0在y軸上的截距()(4)最優(yōu)解指的是使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解()答案(1)(2)(3)(4)2(教材改編)不等式組表示的平面區(qū)域是()Cx3y6<0表示直線x3y60左上方的平面區(qū)域，xy20表示直線xy20及其右下方的平面區(qū)域，故選C.3(20xx全國卷)設(shè)x，y滿足約束條件則zxy的最大值為()A0B1C2D3D根據(jù)題意作出可行域，如圖陰影部分所示，由zxy得yxz.作出直線yx，并平移該直線，當(dāng)直線yxz過點(diǎn)A時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取得最大值由圖知A(3,0)，故zmax303.故選D.4若點(diǎn)(m,1)在不等式2x3y50所表示的平面區(qū)域內(nèi)，則m的取值范圍是_(1，)點(diǎn)(m,1)在不等式2x3y50所表示的平面區(qū)域內(nèi)，2m350，即m1.5在平面直角坐標(biāo)系中，不等式組表示的平面區(qū)域的面積是_. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：79140199】1不等式組表示的區(qū)域如圖中的陰影部分所示，由x1，xy0得A(1，1)，由x1，xy40得B(1，3)，由xy0，xy40得C(2，2)，|AB|2，SABC211.(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第98頁)二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域(1)(20xx北京西城區(qū)二模)在平面直角坐標(biāo)系中，不等式組表示的平面區(qū)域的面積是()A.B.C2D2(2)若滿足條件的整點(diǎn)(x，y)恰有9個(gè)，其中整點(diǎn)是指橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)，則整數(shù)a的值為()A3B2 C1D0(1)B(2)C(1)作出不等式組表示的平面區(qū)域是以點(diǎn)O(0,0)，B(2,0)和A(1，)為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域，如圖所示的陰影部分(含邊界)，由圖知該平面區(qū)域的面積為2，故選B.(2)不等式組所表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，當(dāng)a0時(shí)，平面區(qū)域內(nèi)只有4個(gè)整點(diǎn)(1,1)，(0,0)，(1,0)，(2,0)；當(dāng)a1時(shí)，正好增加(1，1)，(0，1)，(1，1)，(2，1)，(3，1)共5個(gè)整點(diǎn)，故選C.規(guī)律方法確定二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域的方法(1)“直線定界，特殊點(diǎn)定域”，即先作直線，再取特殊點(diǎn)并代入不等式.若滿足不等式，則不等式表示的平面區(qū)域?yàn)橹本€與特殊點(diǎn)同側(cè)的那一側(cè)區(qū)域；否則就對(duì)應(yīng)與特殊點(diǎn)異側(cè)的平面區(qū)域.不等式組表示的平面區(qū)域即為各不等式所表示的平面區(qū)域的公共部分.(2)當(dāng)不等式中不等號(hào)為或時(shí)，邊界為實(shí)線，不等號(hào)為或時(shí)，邊界應(yīng)畫為虛線，若直線不過原點(diǎn)，特殊點(diǎn)常取原點(diǎn).跟蹤訓(xùn)練若平面區(qū)域夾在兩條斜率為1的平行直線之間，則這兩條平行直線間的距離的最小值是()A.B.C.D.B根據(jù)約束條件作出可行域如圖中陰影部分，當(dāng)斜率為1的直線分別過A點(diǎn)和B點(diǎn)時(shí)滿足條件，聯(lián)立方程組求得A(1,2)，聯(lián)立方程組求得B(2,1)，可求得分別過A，B點(diǎn)且斜率為1的兩條直線方程為xy10和xy10，由兩平行線間的距離公式得距離為，故選B.線性規(guī)劃中的最值問題角度1求線性目標(biāo)函數(shù)的最值(20xx全國卷)設(shè)x，y滿足約束條件則z2xy的最小值是()A15B9C1D9A不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示將目標(biāo)函數(shù)z2xy化為y2xz，作出直線y2x并平移，當(dāng)直線y2xz經(jīng)過點(diǎn)A(6，3)時(shí)，z取最小值，且zmin2(6)315.故選A.角度2求非線性目標(biāo)函數(shù)的最值(20xx濟(jì)南一模)若變量x，y滿足約束條件則的最大值為()A1B3 C.D5C在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出題中的不等式組表示的平面區(qū)域是以(1,1)，(2,2)為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域(包含邊界)(圖略)，表示平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)與原點(diǎn)的連線的斜率，由題意得點(diǎn)與原點(diǎn)的連線斜率最大，即的最大值為，故選C.角度3線性規(guī)劃中的參數(shù)問題(20xx河南安陽一模)已知z2xy，其中實(shí)數(shù)x，y滿足且z的最大值是最小值的4倍，則a的值是() 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：79140200】A.B C4DB作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：由z2xy得y2xz，平移直線y2x，由圖可知當(dāng)直線y2xz經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，直線的縱截距最大，此時(shí)z最大，由解得即A(1,1)，zmax2113，當(dāng)直線y2xz經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)，直線的縱截距最小，此時(shí)z最小，由解得即B(a，a)，zmin2aa3a，z的最大值是最小值的4倍，343a，即a，故選B. 規(guī)律方法1.求目標(biāo)函數(shù)最值的解題步驟(1)作圖畫出約束條件所確定的平面區(qū)域和目標(biāo)函數(shù)所表示的平行直線系中過原點(diǎn)的那一條直線；(2)平移將直線平行移動(dòng)，以確定最優(yōu)解的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置；最優(yōu)解一般在封閉圖形的邊界或頂點(diǎn)處取得.(3)求值解方程組求出對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)(即最優(yōu)解)，代入目標(biāo)函數(shù)，即可求出最值.2.常見的三類目標(biāo)函數(shù)(1)截距型：形如zaxby.求這類目標(biāo)函數(shù)的最值常將函數(shù)zaxby轉(zhuǎn)化為直線的斜截式：yx，通過求直線的截距的最值間接求出z的最值.(2)距離型：形如z(xa)2(yb)2.(3)斜率型：形如z.易錯(cuò)警示：注意轉(zhuǎn)化的等價(jià)性及幾何意義.跟蹤訓(xùn)練(1)(20xx全國卷)設(shè)x，y滿足約束條件則zxy的取值范圍是()A3,0B3,2C0,2D0,3(2)若變量x，y滿足則x2y2的最大值是()A4B9C10D12(3)(20xx石家莊質(zhì)檢(一)若x，y滿足，且z3xy的最大值為2，則實(shí)數(shù)m的值為()A.BC1D2(1)B(2)C(3)D(1)畫出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示由題意可知，當(dāng)直線yxz過點(diǎn)A(2,0)時(shí)，z取得最大值，即zmax202；當(dāng)直線yxz過點(diǎn)B(0,3)時(shí)，z取得最小值，即zmin033.所以zxy的取值范圍是3,2故選B.(2)作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示x2y2表示平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的平方，由得A(3，1)，由圖易得(x2y2)max|OA|232(1)210.故選C.(3)若z3xy的最大值為2，則此時(shí)目標(biāo)函數(shù)為y3x2，直線y3x2與3x2y20和xy1分別交于A(2,4)，B，mxy0經(jīng)過其中一點(diǎn)，所以m2或m，當(dāng)m時(shí)，經(jīng)檢驗(yàn)不符合題意，故m2，選D.線性規(guī)劃的實(shí)際應(yīng)用(20xx全國卷)某高科技企業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)品A和產(chǎn)品B需要甲、乙兩種新型材料，生產(chǎn)一件產(chǎn)品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5個(gè)工時(shí)；生產(chǎn)一件產(chǎn)品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3個(gè)工時(shí)生產(chǎn)一件產(chǎn)品A的利潤為2 100元，生產(chǎn)一件產(chǎn)品B的利潤為900元該企業(yè)現(xiàn)有甲材料150 kg，乙材料90 kg，則在不超過600個(gè)工時(shí)的條件下，生產(chǎn)產(chǎn)品A、產(chǎn)品B的利潤之和的最大值為_元216 000設(shè)生產(chǎn)產(chǎn)品A x件，產(chǎn)品B y件，則目標(biāo)函數(shù)z2 100x900y.作出可行域?yàn)閳D中的陰影部分(包括邊界)內(nèi)的整數(shù)點(diǎn)，圖中陰影四邊形的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為(60,100)，(0,200)，(0,0)，(90,0)當(dāng)直線z2 100x900y經(jīng)過點(diǎn)(60,100)時(shí)，z取得最大值，zmax2 10060900100216 000(元) 規(guī)律方法解線性規(guī)劃應(yīng)用題的步驟(1)設(shè)變量.(2)列約束條件.(3)建目標(biāo)函數(shù).(4)畫可行域.(5)求最優(yōu)解.(6)作答.跟蹤訓(xùn)練某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品均需用A，B兩種原料，已知生產(chǎn)1噸每種產(chǎn)品所需原料及每天原料的可用限額如表所示如果生產(chǎn)1噸甲、乙產(chǎn)品可獲利潤分別為3萬元、4萬元，則該企業(yè)每天可獲得最大利潤為()甲乙原料限額A(噸)3212B(噸)128A.12萬元B16萬元C17萬元D18萬元D設(shè)每天生產(chǎn)甲、乙產(chǎn)品分別為x噸、y噸，每天所獲利潤為z萬元，則有z3x4y，作出可行域如圖陰影部分所示，由圖形可知，當(dāng)直線z3x4y經(jīng)過點(diǎn)A(2,3)時(shí)，z取最大值，最大值為324318.