高考數(shù)學(xué) 江蘇專用理科專題復(fù)習(xí):專題8 立體幾何與空間向量 第54練 Word版含解析
訓(xùn)練目標(biāo)會(huì)用空間向量解決立體幾何的證明、求空間角、求距離問(wèn)題訓(xùn)練題型(1)用空間向量證明平行與垂直;(2)用空間向量求空間角;(3)求長(zhǎng)度與距離解題策略(1)選擇適當(dāng)?shù)目臻g坐標(biāo)系;(2)求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo),用坐標(biāo)表示直線的方向向量及平面的法向量;(3)理解并記住用向量表示的空間角和距離的求解公式;(4)探索性問(wèn)題,可利用共線關(guān)系設(shè)變量,引入?yún)?shù),列方程求解.1.如圖,在直三棱柱ABCA1B1C1中,AC3,BC4,AB5,AA14.(1)設(shè),異面直線AC1與CD所成角的余弦值為,求實(shí)數(shù)的值;(2)若點(diǎn)D是AB的中點(diǎn),求二面角DCB1B的余弦值2(20xx·甘肅天水一模)如圖,在四棱錐SABCD中,底面ABCD為梯形,ADBC,AD平面SCD,ADDC2,BC1,SD2,SDC120°.(1)求SC與平面SAB所成角的正弦值;(2)求平面SAD與平面SAB所成的銳二面角的余弦值3(20xx·南昌月考)如圖,在三棱柱ABCA1B1C1中,B1BB1AABBC,B1BC90°,D為AC的中點(diǎn),ABB1D.(1)求證:平面ABB1A1平面ABC;(2)在線段CC1(不含端點(diǎn))上,是否存在點(diǎn)E,使得二面角EB1DB的余弦值為?若存在,求出的值;若不存在,說(shuō)明理由4(20xx·太原質(zhì)檢)如圖所示,該幾何體是由一個(gè)直三棱柱ADEBCF和一個(gè)正四棱錐PABCD組合而成的,ADAF,AEAD2.(1)證明:平面PAD平面ABFE;(2)求正四棱錐PABCD的高h(yuǎn),使得二面角CAFP的余弦值是.答案精析立體幾何問(wèn)題1解(1)由AC3,BC4,AB5得ACB90°,以C為原點(diǎn),CA,CB,CC1所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Cxyz.則A(3,0,0),C1(0,0,4),B(0,4,0),設(shè)D(x,y,z),則由,得(33,4,0),又(3,0,4),由題意知|cos,|,解得或.(2)由題意得D(,2,0),(,2,0),(0,4,4),設(shè)平面CDB1的法向量為n1,因?yàn)?amp;#183;n10,·n10,所以可取n1(4,3,3);同理,平面CBB1的一個(gè)法向量為n2(1,0,0),并且n1,n2與二面角DCB1B相等或互補(bǔ),所以二面角DCB1B的余弦值為|cosn1,n2|.2解如圖,在平面SCD中,過(guò)點(diǎn)D作DC的垂線交SC于E,以D為原點(diǎn),DA,DC,DE所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz.則有D(0,0,0),S(0,1,),A(2,0,0),C(0,2,0),B(1,2,0)(1)設(shè)平面SAB的法向量為n(x,y,z),(1,2,0),(2,1,),·n0,·n0,取y,得n(2,5)又(0,3,),設(shè)SC與平面SAB所成角為,則sin|cos,n|,故SC與平面SAB所成角的正弦值為.(2)設(shè)平面SAD的法向量為m(a,b,c),(2,0,0),(0,1,),則有即取b,得m(0,1)cosn,m,故平面SAD與平面SAB所成的銳二面角的余弦值是.3(1)證明取AB的中點(diǎn)O,連結(jié)OD,OB1.因?yàn)锽1BB1A,所以O(shè)B1AB.又ABB1D,OB1B1DB1,OB1平面B1OD,B1D平面B1OD,所以AB平面B1OD,因?yàn)镺D平面B1OD,所以ABOD.由已知條件知,BCBB1,又ODBC,所以O(shè)DBB1.因?yàn)锳BBB1B,AB平面ABB1A1,BB1平面ABB1A1,所以O(shè)D平面ABB1A1.因?yàn)镺D平面ABC,所以平面ABB1A1平面ABC.(2)解由(1)知OB,OD,OB1兩兩垂直,所以以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),的方向分別為x軸,y軸,z軸的正方向,|為單位長(zhǎng)度1,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Oxyz,連結(jié)B1C.由題設(shè)知,B1(0,0,),B(1,0,0),D(0,1,0),A(1,0,0),C(1,2,0),C1(0,2,),(0,1,),(1,0,),(1,0,),(1,2,),設(shè)(01),由(1,2,(1),設(shè)平面BB1D的法向量為m(x1,y1,z1),則得令z11,則x1y1,所以平面BB1D的法向量為m(,1)設(shè)平面B1DE的法向量為n(x2,y2,z2),則得令z21,則x2,y2,所以平面B1DE的一個(gè)法向量n(,1)設(shè)二面角EB1DB的大小為,則cos,解得.所以在線段CC1上存在點(diǎn)E,使得二面角EB1DB的余弦值為,此時(shí)(負(fù)值舍去)4(1)證明在直三棱柱ADEBCF中,AB平面ADE,AD平面ADE,所以ABAD.又ADAF,ABAFA,AB平面ABFE,AF平面ABFE,所以AD平面ABFE.因?yàn)锳D平面PAD,所以平面PAD平面ABFE.(2)解由(1)知AD平面ABFE,以A為原點(diǎn),AB,AE,AD所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz,則A(0,0,0),F(xiàn)(2,2,0),C(2,0,2),P(1,h,1),其中h為點(diǎn)P到平面ABCD的距離(2,2,0),(2,0,2),(1,h,1)設(shè)平面AFC的一個(gè)法向量為m(x1,y1,z1),則取x11,則y1z11,所以m(1,1,1)設(shè)平面AFP的一個(gè)法向量為n(x2,y2,z2),則取x21,則y21,z21h,所以n(1,1,1h)因?yàn)槎娼荂AFP的余弦值為,所以|cosm,n|,解得h1(負(fù)值舍去)