高中數(shù)學北師大版選修21課時作業(yè):第2章 習題課2 Word版含解析
2019版數(shù)學精品資料(北師大版)習題課(2)一、選擇題1若A(1,2,3),B(2,5,6)在直線l上,則直線l的一個方向向量為()A(1,2,3) B(2,5,6)C(1,7,3) D(1,7,3)解析:(1,7,3),又與平行的非零向量都可作為l的方向向量,(1,7,3)可作為l的方向向量答案:C2已知(2,2,1),(4,5,3),則平面ABC的一個單位法向量為()A(,) B(,)C(,) D(,)解析:設平面ABC的法向量為n(x,y,z),則有取x1,則y2,z2.所以n(1,2,2)因為|n|3,所以平面ABC的一個單位法向量可以是(,)答案:B3已知平面內(nèi)有一個點A(2,1,2),的一個法向量為n(3,1,2),則下列點P中,在平面內(nèi)的是()A(1,1,1) B(1,3,)C(1,3,) D(1,3,)解析:n為的一個法向量,n·0,把P點依次代入滿足上式即可答案:B4如圖所示,在正方體ABCDA1B1C1D1中,M,N,P分別是棱CC1,BC,A1B1上的點,若B1MN90°,則PMN的大小是()A等于90° B小于90°C大于90° D不確定解析:A1B1平面BCC1B1,A1B1MN,·()···0,MPMN,即PMN90°.答案:A52014·遼寧大連一模長方體ABCDA1B1C1D1中,ABAA12,AD1,E為CC1的中點,則異面直線BC1與AE所成角的余弦值為()A BC D解析:建立坐標系如圖,則A(1,0,0),E(0,2,1),B(1,2,0),C1(0,2,2)(1,0,2),(1,2,1),cos,.所以異面直線BC1與AE所成角的余弦值為.答案:B6如右圖所示 ,已知點P為菱形ABCD外一點,且PA面ABCD,PAADAC,點F為PC中點,則二面角CBFD的正切值為()A BC D解析:如右圖所示,連接BD,ACBDO,連接OF.以O為原點,OB、OC、OF所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標系Oxyz.設PAADAC1,則BD.所以B,F(xiàn),C,D.結(jié)合圖形可知,且為面BOF的一個法向量,由,可求得面BCF的一個法向量n(1,)所以cosn,sinn,所以tann,.答案:D二、填空題7若A(0,2,),B(1,1,),C(2,1,)是平面內(nèi)的三點,設平面的法向量a(x,y,z),則xyz_.解析:(1,3,),(2,1,),由得解得則xyzyy(y)23(4)答案:23(4)8在正方體ABCDA1B1C1D1中,直線BC1與平面A1BD所成角的余弦值是_解析:建立如右圖所示的空間直角坐標系,設棱長為1,則B(1,1,0),C1(0,1,1),A1(1,0,1),D(0,0,0),(1,0,1),(1,0,1),(1,1,0),設平面A1BD的一個法向量為n(1,x,y),設平面A1BD與BC1所成的角為,n,n,所以n·0,n·0,所以解得所以n(1,1,1),則cos,n,所以sin,所以cos.答案:9平面的法向量為(1,0,1),平面的法向量為(0,1,1),則平面與平面所成二面角的大小為_解析:設n1(1,0,1),n2(0,1,1),則cosn1,n2 ,n1,n2.因平面與平面所成的角與n1,n2相等或互補,所以與所成的角為或.答案:或三、解答題10在四棱錐PABCD中,四邊形ABCD是正方形,棱PD垂直于底面ABCD,PDDC,E是PC的中點,EFPB于點F.(1)證明:PA平面EDB;(2)證明:PB平面EFD.證明:如右圖所示建立空間直角坐標系,D是坐標原點,設DCa.(1)連接AC,AC交BD于G,連接EG,依題意得D(0,0,0),A(a,0,0),P(0,0,a),E(0,)因為四邊形ABCD是正方形,所以G是此正方形的中心,故點G的坐標為(,0),所以(,0,),又(a,0,a),所以2,這表明PAEG.而EG平面EDB,且PA平面EDB,所以PA平面EDB.(2)依題意得B(a,a,0),(a,a,a),(0,),所以·00,所以PBDE.由已知EFPB,且EFDEE,所以PB平面EFD.11在如圖所示的幾何體中,四邊形ABCD是等腰梯形,ABCD,DAB60°,F(xiàn)C平面ABCD,AEBD,CBCDCF.(1)求證:BD平面AED;(2)求二面角FBDC的余弦值解:(1)因為四邊形ABCD是等腰梯形,ABCD,DAB60°,所以ADCBCD120°.又CBCD,所以CDB30°,因此ADB90°,ADBD,又AEBD,且AEADA,AE,AD平面AED.所以BD平面AED.(2)連接AC,由(1)知ADBD,所以ACBC.又FC平面ABCD,因此CA,CB,CF兩兩垂直,以C為坐標原點,分別以CA,CB,CF所在的直線為x軸,y軸,z軸,建立如圖所示的空間直角坐標系,不妨設CB1,則C(0,0,0),B(0,1,0),D(,0),F(xiàn)(0,0,1),因此(,0),(0,1,1)設平面BDF的一個法向量為m(x,y,z),則m·0,m·0,所以xyz,取z1,則m(,1,1)由于(0,0,1)是平面BDC的一個法向量,則cosm,所以二面角FBDC的余弦值為.12 2013·浙江高考如圖,在四面體ABCD中,AD平面BCD,BCCD,AD2,BD2.M是AD的中點,P是BM的中點,點Q在線段AC上,且AQ3QC.(1)證明:PQ平面BCD;(2)若二面角CBMD的大小為60°,求BDC的大小解:(1)如圖,取BD的中點O,以O為原點,OD,OP所在射線為y,z軸的正半軸,建立空間直角坐標系Oxyz.由題意知A(0,2),B(0,0),D(0,0)設點C的坐標為(x0,y0,0),因為3,所以Q(x0,y0,)因為M為AD的中點,故M(0,1)又P為BM的中點,故P(0,0,),所以(x0,y0,0)又平面BCD的一個法向量為u(0,0,1),故·u0.又PQ平面BCD,所以PQ平面BCD.(2)設m(x,y,z)為平面BMC的一個法向量由(x0,y0,1),(0,2,1),知取y1,得m(,1,2)又平面BDM的一個法向量為n(1,0,0),于是|cosm,n|,即23.又BCCD,所以·0,故(x0,y0,0)·(x0,y0,0)0,即xy2.聯(lián)立,解得(舍去)或所以tanBDC.又BDC是銳角,所以BDC60°.