第6章 數(shù)列第1節(jié) 等差數(shù)列與等比數(shù)列題型70 等差、等比數(shù)列的通項及基本量的求解1. (20xx安徽文7）設為等差數(shù)列的前項和，則（ ）.A. B. C. D. 1.分析 借助等差數(shù)列前項和公式及通項公式的性質，計算數(shù)列的公差，進而得到的值.解析 由等差數(shù)列性質及前項和公式，得，所以.又，所以公差，所以.故選A.2. （20xx遼寧文14）已知等比數(shù)列是遞增數(shù)列，是的前項和.若是方 程的兩個根，則 .2. 解析：因為，是方程的兩個根，且數(shù)列是遞增的等比數(shù)列，所 以，所以.3. （20xx四川文16）在等比數(shù)列中，且為和的等差中項，求數(shù)列的首項、公比及前項和.3分析 由已知列出兩個含和的方程并求解，再借助等比數(shù)列求和公式得解析 設該數(shù)列的公比為由已知，得所以解得（舍去）故首項，公比.所以數(shù)列的前項和.4. （20xx山東文20）設等差數(shù)列的前項和為，且，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項和4.分析 （1）由于已知是等差數(shù)列，因此可考慮用基本量表示已知等式，進而求出的通項公式.（2）先求出，進而求出的通項公式，再用錯位相減法求的前項和.解析 （1）設等差數(shù)列的前項為，公差為.由，得解得因此.（2）由已知，當時，；當時，.所以.由（1）知，所以.所以.兩式相減，得，所以.5.（20xx浙江19）在公差為的等差數(shù)列中，已知，且成等比數(shù)列. （1）求，；（2）若，求 5.分析 （1）用把表示出來，利用成等比數(shù)列列方程即可解出， 進而根據(jù)等差數(shù)列的通項公式寫出.（2）根據(jù)（1）及確定數(shù)列的通項公式，確定 的符號，以去掉絕對值符號，這需要對的取值范圍進行分類討論.解析（1）由題意得，由，為公差為的等差數(shù)列得，解得或.所以或.（2）設數(shù)列的前項和為.因為，由（1）得，所以當時，；當時，.綜上所述，6.（20xx重慶文2）在等差數(shù)列中，則（ ）. 7.（20xx江蘇7）在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，則的值是 8.（20xx新課標文17）（本小題滿分12分）已知是遞增的等差數(shù)列，是方程的根.（1）求的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和.9. （20xx山東文19）（本小題滿分12分）在等差數(shù)列中，已知公差，是與的等比中項.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設，記，求.10.（20xx福建文17）（本小題滿分12分）在等比數(shù)列中，.（1）求；（2）設，求數(shù)列的前項和.11.（20xx浙江文19）已知等差數(shù)列的公差，設的前項和為，.（1）求及；（2）求的值，使得.12.（20xx北京文5）執(zhí)行如果所示的程序框圖，輸出的值為（ ）.A.3 B. 4 C.5 D.612.解析 解法一:執(zhí)行程序框圖，輸出.故選B.解法二：由算法圖知是一個以3為首項，為公比的等比數(shù)列，即，解得.13.（20xx全國文7）已知是公差為1的等差數(shù)列，為的前項和，若，則（ ）.A. B. C. D.13.解析 解法一：由，知，解得.所以.故選B.解法二：由，即，可得.又公差，所以，即，解得.則.故選B.14.（20xx全國1文13）在數(shù)列中，為的前n項和.若，則 .14.解析 由，得，即數(shù)列是公比為的等比數(shù)列.，得.15.（20xx全國文9）已知等比數(shù)列滿足，則（ ）.A. B. C. D.15.解析 由等比數(shù)列的性質得，即，則 .所以有，所以.故 .故選C.16.（20xx陜西文13）中位數(shù)為的一組數(shù)構成等差數(shù)列，其末項為，則該數(shù)列的首項為_.16.解析 若這組數(shù)有個，則，又，所以；若這組數(shù)有個，則，又，所以.17.（20xx江蘇8）已知是等差數(shù)列，是其前項和.若，則的值是 .17.20解析 設公差為，則由題意可得，解得，則.18.（20xx全國甲文17）等差數(shù)列中，.（1）求的通項公式；（2）設，求數(shù)列的前項和，其中表示不超過的最大整數(shù)，如，.18.解析 （1），解得，所以（）.（2）.19.（20xx江蘇9）等比數(shù)列的各項均為實數(shù)，其前項的和為，已知，則 19.解析 解法一：由題意等比數(shù)列公比不為，由，因此，得又，得，所以故填 解法二（由分段和關系）：由題意，所以，即下同解法一20.（20xx全國1文17）記為等比數(shù)列的前項和.已知，.（1）求的通項公式；（2）求，并判斷，是否成等差數(shù)列.20.解析 （1）由題意設等比數(shù)列的首項為，公比為，則，從而，即，整理得，因此，所以，數(shù)列的通項公式為（2）由（1）知，因此所以，成等差數(shù)列21.（20xx全國2文17）已知等差數(shù)列的前項和為，等比數(shù)列的前項和為，.（1）若，求的通項公式；（2）若，求.21.解析 (1)設的公差為，的公比為.由等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式可得，解得，故的通項公式為.(2)由(1)及已知得，解得或.所以或. 22.（20xx北京文15）已知等差數(shù)列和等比數(shù)列滿足，（1）求的通項公式；（2）求和：22解析 （1）設的公差為， ，所以，所以.（2） 設的公比為，=，所以，所以是以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以.題型71 等差、等比數(shù)列的求和問題的拓展1.（20xx廣東文11） 設數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，則 1.分析 由首項和公比寫出等比數(shù)列的前項，然后代入代數(shù)式求值.也可以構造新數(shù)列，利用其前項和公式求解.解析 方法一：.方法二：因為，數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，故所求代數(shù)式的值為.2.（20xx安徽理13） 已知在數(shù)列中，則數(shù)列的前9項和等于 .2.解析 由題意可得，又，所以是以為首項，為公差的等差數(shù)列，所以.又滿足上式，所以，所以.所以.題型72 等差、等比數(shù)列的性質及其應用1. （20xx遼寧文4 ）下面是關于公差的等差數(shù)列的四個命題：數(shù)列是遞增數(shù)列； 數(shù)列是遞增數(shù)列；數(shù)列是遞增數(shù)列；數(shù)列是遞增數(shù)列；其中的真命題為A. B. C. D. 1.分析 根據(jù)等差數(shù)列的性質判定.解析 因為，所以，所以是真命題因為，但是的符號不知道，所以是假命題.同理是假命題由，所以是真命題故選D.2. （20xx江西文12）某住宅小區(qū)計劃植樹不少于棵，若第一天植棵，以后每天植樹 的棵樹是前一天的倍，則需要的最少天數(shù)（）等于 .2.解析 每天植樹的棵數(shù)構成以為首項，為公比的等比數(shù)列，其前項和.由，得.由于，則，即.3. （20xx江蘇14） 在正項等比數(shù)列中，則滿足 的最大正整數(shù)的值為 .3. 分析 首先由已知條件求出的公比與首項，然后根據(jù)求和公式和通項公式將不等式的 兩邊求出，用表示，得到關于的不等式，然后對不等式進行轉化，求得的取值范圍并 進行估算和驗證，從而得到的最大值.解析 設的公比為，則由已知可得解得于是，.由可得，整理得.由可得，即，解得，即，可以驗證當時滿足，時不滿足，故的最大值為12.4.(20xx重慶文12） 若成等差數(shù)列，則 .4.分析 利用等差數(shù)列的有關知識先求出公差再運算求解.解析 由題意得該等差數(shù)列的公差，所以.5. (20xx陜西文17）設表示數(shù)列的前項和.（1）若是等差數(shù)列，推導的計算公式；（2）若，且對所有正整數(shù)，有.判斷是否為等比數(shù)列，并證明你的結論.5.分析 利用等差數(shù)列的性質倒序相加求和；等比數(shù)列的證明通過定義進行.解析 （1）方法一：設的公差為，則.又，所以，所以方法二：設的公差為，則又,所以，所以.（2）是等比數(shù)列.證明如下：因為，所以因為，所以當時，有.因此，是首項為且公比為的等比數(shù)列6.（20xx遼寧文9）設等差數(shù)列的公差為，若數(shù)列為遞減數(shù)列，則（ ）A B C D 7.（20xx陜西文8）原命題為“若，則為遞減數(shù)列”，關于其逆命題，否命題，逆否命題真假性的判斷依次如下，正確的是（ ）.A.真，假，真 B.假，假，真 C.真，真，假 D.假，假，假8. （20xx廣東文13）等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，且，則 _.9.（20xx江西文13）在等差數(shù)列中，公差為，前項和為，當且僅當時取得最大值，則的取值范圍是 .10.（20xx陜西文16）（本小題滿分12分）的內角所對的邊分別為.（1）若成等差數(shù)列，求證：；（2）若成等比數(shù)列，且，求的值. 11.（20xx廣東文13）若三個正數(shù)，成等比數(shù)列，其中，則 11.解析 因為三個正數(shù)，成等比數(shù)列，所以.因為，所以.12.（20xx全國文5） 設是等差數(shù)列的前項和，若，則（ ）. A. B. C. D.12.解析 由已知，則，.又因為 .故選A.13.（20xx江蘇19）對于給定的正整數(shù)，若數(shù)列滿足對任意正整數(shù)總成立，則稱數(shù)列是“數(shù)列”（1）證明：等差數(shù)列是“數(shù)列”；（2）若數(shù)列既是“數(shù)列”，又是“數(shù)列”，證明：是等差數(shù)列13.解析 （1）因為是等差數(shù)列，設其公差為，則，從而當時，所以，因此等差數(shù)列是“數(shù)列”（2）由數(shù)列既是“數(shù)列”，又是“數(shù)列”，因此，當時， 當時， 由知， 將代入，得，其中，所以是等差數(shù)列，設其公差為在中，取，則，所以，在中，取，則，所以，從而數(shù)列是等差數(shù)列評注 這是數(shù)列新定義的問題，其實類似的問題此前我們也研究過，給出僅供參考（20xx南通基地密卷7第20題）設數(shù)列的各項均為正數(shù)，若對任意的，存在，使得成立，則稱數(shù)列為“型”數(shù)列（1）若數(shù)列是“型”數(shù)列，且，求；（2）若數(shù)列既是“型”數(shù)列，又是“型”數(shù)列，證明數(shù)列是等比數(shù)列解析 （1）由題意得，成等比數(shù)列，且公比，所以（2）由是“型”數(shù)列得成等比數(shù)列，設公比為， 由是“型”數(shù)列得成等比數(shù)列，設公比為；成等比數(shù)列，設公比為；成等比數(shù)列，設公比為； 則，所以，不妨令，則 所以，所以，綜上，從而是等比數(shù)列題型73 判斷或證明數(shù)列是等差、等比數(shù)列1.（20xx江蘇20）設數(shù)列的前項和為若對任意正整數(shù)，總存在正整數(shù)，使得，則稱是“數(shù)列”（1）若數(shù)列的前項和 ，求證：是“數(shù)列”；（2）設是等差數(shù)列，其首項，公差若 是“數(shù)列”，求的值；（3）求證：對任意的等差數(shù)列，總存在兩個“數(shù)列”和，使得成立2.（20xx廣東文19）設數(shù)列的前項和為，已知，且當時，（1）求的值；（2）求證：為等比數(shù)列；（3）求數(shù)列的通項公式2.解析 （1）當時，即，解得.（2）因為（），所以（），即（），亦即，則.當時，滿足上式.故數(shù)列是以為首項，公比為的等比數(shù)列.（3）由（2）可得，即，所以數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，所以，即，所以數(shù)列的通項公式是.3.（20xx湖南文19）設數(shù)列的前項和為，已知，且.（1）證明：；（2）求.3.解析（1）由條件，對任意，有，因而對任意，有，兩式相減，得，即，又，所以，故對一切，.（2）由（I）知，所以，于是數(shù)列是首項，公比為的等比數(shù)列，數(shù)列是首項，公比為的等比數(shù)列，所以，于是，從而，綜上所述，.4.（20xx湖南文21）函數(shù)，記為的從小到大的第個極值點.（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）若對一切恒成立，求的取值范圍.4.解析（1），令，由，得，即，若，即，則；若，即，則.因此，在區(qū)間與上，的符號總相反，于是當時，取得極值，所以，此時，易知，而是常數(shù)，故數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列.（2）對一切恒成立，即恒成立，亦即恒成立（因為）.設，則，令得，當時，所以在區(qū)間上單調遞減；當時，所以在區(qū)間上單調遞增；因為，且當時，所以，因此恒成立，當且僅當，解得，故實數(shù)的取值范圍是.5.（20xx浙江文8）如圖所示，點列分別在某銳角的兩邊上，且， (表示點與不重合) .若，為的面積，則（ ）.A .是等差數(shù)列 B.是等差數(shù)列 C.是等差數(shù)列 D.是等差數(shù)列5.A解析 設點到對面直線的距離為，則.由題目中條件可知的長度為定值，則.那么我們需要知道的關系式，過點作垂直得到初始距離，那么和兩個垂足構成了直角梯形，那，其中為兩條線的夾角，那么，由題目中條件知，則.所，其中為定值，所以為等差數(shù)列.故選A.6.（20xx全國1文17）記為等比數(shù)列的前項和.已知，.（1）求的通項公式；（2）求，并判斷，是否成等差數(shù)列.6.解析 （1）由題意設等比數(shù)列的首項為，公比為，則，從而，即，整理得，因此，所以，數(shù)列的通項公式為（2）由（1）知，因此所以，成等差數(shù)列歡迎訪問“高中試卷網(wǎng)”http:/sj.fjjy.org