專題升級訓練 等差數(shù)列、等比數(shù)列(時間:60分鐘滿分:100分)一、選擇題(本大題共6小題,每小題6分,共36分)1.已知數(shù)列an滿足a1=1,且,則a2 014=()A.2 012B.2 013C.2 014D.2 0152.已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列an中,a1a2a3=5,a7a8a9=10,則a4a5a6=()A.5B.4C.6D.73.(20xx·山東青島模擬,6)等比數(shù)列an的前n項和為Sn,且4a1,2a2,a3成等差數(shù)列.若a1=1,則S4=()A.7B.8C.15D.164.已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn,若=a1+a200,且A,B,C三點共線(該直線不過原點O),則S200=()A.100B.101C.200D.2015.在等差數(shù)列an中,an>0,且a1+a2+a10=30,則a5·a6的最大值等于()A.3B.6C.9D.366.設an,bn分別為等差數(shù)列與等比數(shù)列,且a1=b1=4,a4=b4=1,則以下結論正確的是()A.a2>b2B.a3<b3C.a5>b5D.a6>b6二、填空題(本大題共3小題,每小題6分,共18分)來源:7.定義“等積數(shù)列”:在一個數(shù)列中,如果每一項與它的后一項的積都為同一個常數(shù),那么這個數(shù)列叫做等積數(shù)列,這個常數(shù)叫做該數(shù)列的公積,已知數(shù)列an是等積數(shù)列,且a1=3,公積為15,那么a21=. 8.在數(shù)列an中,如果對任意nN*都有=k(k為常數(shù)),則稱數(shù)列an為等差比數(shù)列,k稱為公差比.現(xiàn)給出下列命題:等差比數(shù)列的公差比一定不為零;等差數(shù)列一定是等差比數(shù)列;若an=-3n+2,則數(shù)列an是等差比數(shù)列;若等比數(shù)列是等差比數(shù)列,則其公比等于公差比.其中正確命題的序號為. 9.已知a,b,c是遞減的等差數(shù)列,若將其中兩個數(shù)的位置互換,得到一個等比數(shù)列,則=. 三、解答題(本大題共3小題,共46分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)10.(本小題滿分15分)已知數(shù)列an為公差不為零的等差數(shù)列,a1=1,各項均為正數(shù)的等比數(shù)列bn的第1項、第3項、第5項分別是a1,a3,a21.(1)求數(shù)列an與bn的通項公式;(2)求數(shù)列anbn的前n項和.11.(本小題滿分15分)數(shù)列an是公差不為0的等差數(shù)列,其前n項和為Sn,且S9=135,a3,a4,a12成等比數(shù)列.(1)求an的通項公式.(2)是否存在正整數(shù)m,使仍為數(shù)列an中的一項?若存在,求出滿足要求的所有正整數(shù)m;若不存在,說明理由.12.(本小題滿分16分)等差數(shù)列an的前n項和為Sn,a1=1+,S3=9+3.(1)求數(shù)列an的通項an與前n項和Sn;(2)設bn=(nN*),求證:數(shù)列bn中任意不同的三項都不可能成為等比數(shù)列.#1.C解析:由,可得an=n,故a2 014=2 014.2.A解析:(a1a2a3)·(a7a8a9)=50,且an>0,a4a5a6=5.3.C解析:設數(shù)列an的公比為q,則由題意得4a2=4a1+a3,即4a1q=4a1+a1q2,即q2-4q+4=0,得q=2.S4=15.4.A解析:=a1+a200,且A,B,C三點共線,a1+a200=1,故根據(jù)等差數(shù)列的前n項和公式得S200=100.5.C解析:a1+a2+a10=30,得a5+a6=6,又an>0,a5·a6=9.來源:6.A解析:設等差數(shù)列an的公差為d,等比數(shù)列bn的公比為q,由a1=b1=4,a4=b4=1,得d=-1,q=,a2=3,b2=2;a3=2,b3=;a5=0,b5=;a6=-1,b6=.故選A.7.3解析:由題意知an·an+1=15,即a2=5,a3=3,a4=5,觀察可得:數(shù)列的奇數(shù)項都為3,偶數(shù)項都為5.故a21=3.8.解析:若k=0,an為常數(shù)列,分母無意義,正確;公差為零的等差數(shù)列不是等差比數(shù)列,錯誤;=3,滿足定義,正確;設an=a1qn-1(q0),則=q,正確.9.20解析:依題意得或者或者由得a=b=c,這與a,b,c是遞減的等差數(shù)列矛盾;由消去c整理得(a-b)(a+2b)=0.又a>b,因此有a=-2b,c=4b,故=20;由消去a整理得(c-b)(c+2b)=0.又b>c,因此有c=-2b,a=4b,故=20.10.解:(1)設數(shù)列an的公差為d(d0),數(shù)列bn的公比為q(q>0),由題意得=a1a21,(1+2d)2=1×(1+20d),4d2-16d=0.d0,d=4.an=4n-3.于是b1=1,b3=9,b5=81,bn的各項均為正數(shù),q=3.bn=3n-1.(2)anbn=(4n-3)3n-1,Sn=30+5×31+9×32+(4n-7)×3n-2+(4n-3)×3n-1,3Sn=31+5×32+9×33+(4n-7)×3n-1+(4n-3)×3n.兩式兩邊分別相減得-2Sn=1+4×3+4×32+4×33+4×3n-1-(4n-3)×3n=1+4(3+32+33+3n-1)-(4n-3)×3n=1+-(4n-3)×3n=(5-4n)×3n-5,Sn=.11.解:(1)設an的公差為d0,則S9=9a1+d=135.a1+4d=15.又a3,a4,a12成等比數(shù)列,=a3·a12,即(a1+3d)2=(a1+2d)(a1+11d),化簡,得13d+7a1=0.由,得d=7,a1=-13,an=a1+(n-1)d=7n-20.(2)由于am=am+1-d,am+2=am+1+d,=am+1+,設ak=am+1+,則來源:來源:7k-20=7(m+1)-20+,即k=m+1+,又k,m均為正整數(shù),來源:故7必能被7m-13整除,m=2,k=10,存在唯一的正整數(shù)m=2.12.解:(1)由已知得d=2.故an=2n-1+,Sn=n(n+).(2)由(1)得bn=n+.假設數(shù)列bn中存在三項bp,bq,br(p,q,r互不相等)成等比數(shù)列,則=bpbr,即(q+)2=(p+)(r+),(q2-pr)+(2q-p-r)=0.p,q,rN*,=pr,(p-r)2=0.p=r,這與pr矛盾.數(shù)列bn中任意不同的三項都不可能成等比數(shù)列.