（新教材）北師大版精品數(shù)學(xué)資料(時(shí)間：100 分鐘，滿分：120 分)一、選擇題(本大題共 10 小題，每小題 4 分，共 40 分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1已知向量 a、b，且ABa2b，BC5a6b，CD7a2b，則一定共線的三點(diǎn)是()AA、B、DBA、B、CCB、C、DDA、C、D解析：選 A.BDBCCD2(a2b)2AB，B 為公共點(diǎn)，A、B、D 三點(diǎn)共線2化簡(jiǎn)PMPNMN所得的結(jié)果是()A.PMBNPC0DMN解析：選 C.PMPNMNNMMN0.3若向量MA， MB，MC的起點(diǎn) M 和終點(diǎn) A，B，C 互不重合且無(wú)三點(diǎn)共線，則能使向量MA， MB，MC成為空間一組基底的關(guān)系是()A.OM13OA13OB13OCB.MAMBMCC.OMOAOBOCD.MA2MBMC解析：選 C.對(duì)于選項(xiàng) A，由結(jié)論OMxOAyOBzOC(xyz1)M，A，B，C 四點(diǎn)共面知， MA， MB， MC共面； 對(duì)于 B， D 選項(xiàng)， 易知MA， MB， MC共面， 故只有選項(xiàng) C 中MA，MB，MC不共面4 平行六面體 ABCDA1B1C1D1中， 若AC1xAB2yBC3zC1C， 則 xyz 等于()A1B76C.56D23解析：選 B.在平行六面體中，AC1xAB2yBC3zC1CABBCCC1ABBCC1C.比較系數(shù)知 x1，y12，z13，xyz76.5已知兩個(gè)平面的一個(gè)法向量分別是 m(1，2，1)，n(1，1，0)，則這兩個(gè)平面所成的二面角的平面角的余弦值為()A36B36C36或36D33或33解析：選 C.cosm，nmn|m|n|16 236，由于兩平面所成角的二面角與m，n相等或互補(bǔ)故選 C.6已知 a(2，1，2)，b(2，2，1)，則以 a、b 為鄰邊的平行四邊形的面積為()A. 65B652C4D8解析：選 A.cosa，bab|a|b|43349，sina，b1492659，S|a|b|sina，b9659 65.7在正方體 ABCDA1B1C1D1中，棱長(zhǎng)為 a，M，N 分別為 A1B，AC 的中點(diǎn)，則 MN 與平面 B1BCC1的位置關(guān)系是()A相交B平行C垂直D不能確定解析：選 B.建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，C1D1(0，a，0)為平面 B1BCC1的一個(gè)法向量，M(a，12a，12a)，N(12a，12a，a)，MN(12a，0，12a)，由于C1D1MN0，且 MN平面 B1BCC1，MN平面 B1BCC1.8如圖，在ABC 中，ABBC4，ABC30，AD 是邊 BC 上的高，則ADAC的值等于()A0B94C4D94解析：選 C.在ABC 中，由余弦定理得，|AC|24242244cos 303216 3，|AC|2( 6 2)，cosCADcosAD， ACcos 15cos(4530)cos 45cos 30sin 45sin 306 24，又 AD12AB2，ADAC|AD|AC|cosAD， AC4( 6 2)6 244，故選 C.9在正方體 ABCDA1B1C1D1中，直線 BC1與平面 A1BD 所成的角的正弦值是()A.24B23C.63D32解析：選 C.以 D 為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為 1，則 D(0，0，0)，A1(1，0，1)，B(1，1，0)，C1(0，1，1)DA1(1，0，1)，DB(1，1，0)，BC1(1，0，1)設(shè) n(x，y，z)是平面 DA1B 的一個(gè)法向量，則DA1n0，DBn0，即xz0，xy0，xyz.令 x1，得 n(1，1，1)設(shè)直線 BC1與平面 A1BD 所成的角為，則 sin|cosn， BC1|nBC1|n|BC1|23 2|63.10四棱錐 PABCD 中，四邊形 ABCD 為正方形，PA平面 ABCD，PAAB2，E，F(xiàn) 分別為 PB，PD 的中點(diǎn)，則 P 到直線 EF 的距離為()A1B22C.32D62解析：選 D.建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則 A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，設(shè) AC 與 BD 的交點(diǎn)為 O，|PB|PD|，POBD，又 O(1，1，0)，P 點(diǎn)到 BD 的距離為|PO| （10）2（10）2（02）2 6，又 EF 綊12BD，P 到 EF 的距離為62.二、填空題(本大題共 5 小題，每小題 5 分，共 25 分，把答案填在題中橫線上)11已知向量 a(0，1，1)，b(4，1，0)，|ab| 29，且0，則_解析：ab(0，1，1)(4，1，0)(4，1，)，由已知得|ab|42（1）22 29，且0，解得3.答案：312若 A(x，5x，2x1)，B(1，x2，2x)，當(dāng)|AB|取最小值時(shí)，x 的值等于_解析：AB(1x，2x3，3x3)，所以|AB| （1x）2（2x3）2（3x3）2 14x232x1914（x87）257，當(dāng) x87時(shí)，|AB|取得最小值答案：8713已知 a(3，2，3)，b(1，x1，1)，且 a 與 b 的夾角為鈍角，則 x 的取值范圍是_解析：ab32(x1)32x4，由題意知 cosa，b(1，0)，即12x422 x22x30，解之得 x2 且 x53.答案：(2，53)(53，)14在三棱柱 ABCA1B1C1中，各側(cè)面均為正方形，側(cè)面 AA1C1C 的對(duì)角線相交于點(diǎn) M，則 BM 與平面 AA1C1C 所成角的大小是_解析：法一：取 AC 的中點(diǎn) D，連接 BD，MD，由于 BD平面 AA1C1C，故BMD 即為所求直線與平面所成角，設(shè)三棱柱棱長(zhǎng)為 a，其中 BD32a，DMa2，故 tanBMDBDDM 3，解得BMD60.法二：由題意知此三棱柱為各棱長(zhǎng)均相等的正三棱柱，設(shè)棱長(zhǎng)為 2，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則 B( 3，1，0)，M(0，1，1)，BM( 3，0，1)，取平面 ACC1A1的一個(gè)法向量 n(1，0，0)，cosBM，n 32132，設(shè) BM 與平面 ACC1A1所成的角為，則 sin32，60.答案：6015.如圖所示，在棱長(zhǎng)為 1 的正方體 ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn) 分別為棱 AA1，BB1的中點(diǎn)，G 為棱 A1B1上的一點(diǎn)，且 A1G(01)，則點(diǎn) G 到平面 D1EF 的距離為_(kāi)解析：A1B1平面 D1EF，G 到平面 D1EF 之距等于 A1點(diǎn)到平面 D1EF 之距，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則 A1(1，0，1)，D1(0，0，1)，F(xiàn)(1，1，12)，E(1，0，12)，設(shè)平面 D1EF 的法向量為 n(x，y，z)，由nEF0nED10，易求得平面 D1EF 的一個(gè)法向量 n(1，0，2)，A1E(0，0，12)，d|A1En|n|55.答案：55三、解答題(本大題共 5 小題，共 55 分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟)16(本小題滿分 10 分)(2014德州高二檢測(cè))已知空間三點(diǎn) A(0，2，3)，B(2，1，6)，C(1，1，5)，若向量 a 分別與向量AB，AC垂直，且|a| 3，求向量 a 的坐標(biāo)解：AB(2，1，3)，AC(1，3，2)，設(shè) a(x，y，z)，由題意知aAB0aAC0 x2y2z23，即2xy3z0 x3y2z0 x2y2z23，解得x1y1z1或x1y1z1.a(1，1，1)或 a(1，1，1)17(本小題滿分 10 分)已知在空間四邊形 OABC 中，M，N 分別是對(duì)邊 OA，BC 的中點(diǎn)，點(diǎn) G 在 MN 上，且MG2GN，如圖所示，記OAa，OBb，OCc，試用向量 a，b，c 表示向量OG.解：ON12(bc)，OM12a，MN12b12c12a，MG2GN，MG23MN13b13c13a，OGOMMG12a13b13c13a16a13b13c.18(本小題滿分 10 分)在正方體 ABCDA1B1C1D1中，點(diǎn) E 是 AB 的中點(diǎn)，點(diǎn) F 是 AA1上靠近點(diǎn) A 的三等分點(diǎn)，在線段 DD1上是否存在一點(diǎn) G，使 CGEF？若存在，求出點(diǎn) G的位置，若不存在，說(shuō)明理由解： 存在 如圖所示， 建立空間直角坐標(biāo)系， 設(shè)正方體 ABCDA1B1C1D1的棱長(zhǎng)為 1，則 E(1，12，0)，F(xiàn)(1，0，13)，C(0，1，0)，假設(shè)在 DD1上存在一點(diǎn) G，使 CGEF，則CGEF，由于點(diǎn) G 在 z 軸上，設(shè) G(0，0，z)，EF(0，12，13)，CG(0，1，z)CGEF，CGEF，即(0，1，z)(0，12，13)，00，112，z13，解得2，z23.由于 z230，1，所以點(diǎn) G 在線段 DD1上，其坐標(biāo)為(0，0，23)，故在線段 DD1上存在一點(diǎn) G，使 CGEF，點(diǎn) G 是 DD1上靠近點(diǎn) D1的三等分點(diǎn)19(本小題滿分 12 分)如圖，在三棱錐 PABC 中，PC底面 ABC，且ACB90，ACBCCP2.(1)求二面角 BAPC 的余弦值；(2)求點(diǎn) C 到平面 PAB 的距離解：(1)如圖，以 C 為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系則 C(0，0，0)，A(0，2，0)，B(2，0，0)，P(0，0，2)易得面 PAC 的法向量為 n1(1，0，0)，PA(0，2，2)，PB(2，0，2)，n2(x，y，z)為平面 PAB 的法向量，n2PA0n2PB0，即2y2z02x2z0.可取 n2(1，1，1)cosn1，n2n1n2|n1|n2|1333.二面角 BAPC 的余弦值為33.(2)d|CAn2|n2|232 33，點(diǎn) C 到平面 PAB 的距離為2 33.20(本小題滿分 13 分)已知在幾何體 ABCED 中，ACB90，CE平面 ABC，平面 BCED 為梯形，且 ACCEBC4，DB1.(1)求異面直線 DE 與 AB 所成角的余弦值；(2)試探究在 DE 上是否存在點(diǎn) Q，使得 AQBQ，并說(shuō)明理由解：(1)由題知，CA，CB，CE 兩兩垂直，以 C 為原點(diǎn)，以 CA，CB，CE 所在直線分別為 x，y，z 軸建立空間直角坐標(biāo)系則 A(4，0，0)，B(0，4，0)，D(0，4，1)，E(0，0，4)，DE(0，4，3)，AB(4，4，0)，cosDE， AB2 25，異面直線 DE 與 AB 所成角的余弦值為2 25.(2)設(shè)滿足題設(shè)的點(diǎn) Q 存在，其坐標(biāo)為(0，m，n)，則AQ(4，m，n)，BQ(0，m4，n)，EQ(0，m，n4)，QD(0，4m，1n)AQBQ，m(m4)n20，點(diǎn) Q 在 ED 上，存在R(0)使得EQQD，(0，m，n4)(0，4m，1n)，m41，n41.由得41216（1）2，28160，解得4.m165，n85.滿足題設(shè)的點(diǎn) Q 存在，其坐標(biāo)為0，165，85 .