專題三專題三導數(shù)及其應(yīng)用導數(shù)及其應(yīng)用一、題之源：課本基礎(chǔ)知識一、題之源：課本基礎(chǔ)知識1導數(shù)的概念(1)函數(shù)yf(x)在xx0處的導數(shù)稱函數(shù)yf(x)在xx0處的瞬時變化率limx0f（x0 x）f（x0）xlimx0yx為函數(shù)yf(x)在x x0處 的 導 數(shù) ， 記 作f(x0)或y|x x0， 即f(x0) limx0yxlimx0f（x0 x）f（x0）x.(2)導數(shù)的幾何意義函數(shù)f(x)在點x0處的導數(shù)f(x0)的幾何意義是在曲線yf(x)上點P(x0， y0)處的切線的斜率(瞬時速度就是位移函數(shù)s(t)對時間t的導數(shù))相應(yīng)地，切線方程為yy0f(x0)(xx0)(3)函數(shù)f(x)的導函數(shù)稱函數(shù)f(x)limx0f（xx）f（x）x為f(x)的導函數(shù)2基本初等函數(shù)的導數(shù)公式原函數(shù)導函數(shù)f(x)c(c為常數(shù))f(x)0f(x)xn(nQ Q*)f(x)nxn1(nQ Q*)f(x)sinxf(x)cosxf(x)cosxf(x)sin_xf(x)axf(x)axlnaf(x)exf(x)exf(x)logaxf(x)1xlnaf(x)lnxf(x)1x3.導數(shù)的運算法則(1)f(x)g(x)f(x)g(x)；(2)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；(3)f（x）g（x） f（x）g（x）f（x）g（x）g（x）2(g(x)0)4復合函數(shù)的導數(shù)復合函數(shù)yf(g(x)的導數(shù)和函數(shù)yf(u)，ug(x)的導數(shù)間的關(guān)系為yxyuux，即y對x的導數(shù)等于y對u的導數(shù)與u對x的導數(shù)的乘積5.函數(shù)的單調(diào)性在(a，b)內(nèi)可導函數(shù)f(x)，f(x)在(a，b)任意子區(qū)間內(nèi)都不恒等于 0.f(x)0f(x)在(a，b)上為增函數(shù)f(x)0f(x)在(a，b)上為減函數(shù)6函數(shù)的極值函數(shù)yf(x)在點xa的函數(shù)值f(a)比它在點xa附近其他點的函數(shù)值都小，f(a)0；而且在點xa附近的左側(cè)f(x)0， 右側(cè)f(x)0， 則點a叫做函數(shù)yf(x)的極小值點，f(a)叫做函數(shù)yf(x)的極小值函數(shù)yf(x)在點xb的函數(shù)值f(b)比它在點xb附近其他點的函數(shù)值都大，f(b)0；而且在點xb附近的左側(cè)f(x)0， 右側(cè)f(x)0， 則點b叫做函數(shù)yf(x)的極大值點，f(b)叫做函數(shù)yf(x)的極大值極大值點、極小值點統(tǒng)稱為極值點，極大值、極小值統(tǒng)稱為極值7函數(shù)的最值(1)在閉區(qū)間a，b上連續(xù)的函數(shù)f(x)在a，b上必有最大值與最小值(2)若函數(shù)f(x)在a，b上單調(diào)遞增，則f(a)為函數(shù)的最小值，f(b)為函數(shù)的最大值；若函數(shù)f(x)在a，b上單調(diào)遞減，則f(a)為函數(shù)的最大值，f(b)為函數(shù)的最小值8定積分的概念在錯誤錯誤!f(x)dx中，a，b分別叫做積分下限與積分上限，區(qū)間a，b叫做積分區(qū)間，f(x)叫做被積函數(shù)，x叫做積分變量，f(x)dx叫做被積式8定積分的性質(zhì)(1)錯誤錯誤!kf(x)dxk錯誤錯誤!f(x)dx(k為常數(shù))；(2)錯誤錯誤!f1(x)f2(x)dx錯誤錯誤!f1(x)dx錯誤錯誤!f2(x)dx；(3)錯誤錯誤!f(x)dx錯誤錯誤!f(x)dx錯誤錯誤!f(x)dx(其中ac0(或0(或f(b)的形式(2)對形如f(x)g(x)的不等式，構(gòu)造函數(shù)F(x)f(x)g(x)(3)對于(或可化為)f(x1，x2)A的不等式，可選x1(或x2)為主元，構(gòu)造函數(shù)f(x，x2)(或f(x1，x)16.利用導數(shù)研究方程根的方法研究方程根的情況，可以通過導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值、變化趨勢等，根據(jù)題目要求，畫出函數(shù)圖象的走勢規(guī)律，標明函數(shù)極(最)值的位置，通過數(shù)形結(jié)合的思想去分析問題，可以使問題的求解有一個清晰、直觀的整體展現(xiàn)17.利用微積分基本定理求定積分，其步驟如下：求被積函數(shù) f(x)的一個原函數(shù) F(x)；計算 F(b)F(a)(2)利用定積分的幾何意義求定積分：當曲邊梯形面積易求時，可通過求曲邊梯形的面積求定積分如：定積分錯誤錯誤!1x2dx的幾何意義是求單位圓面積的14，所以錯誤錯誤!1x2dx4.18.用定積分求平面圖形面積的四個步驟：(1)畫出草圖，在直角坐標系中畫出曲線或直線的大致圖象；(2)借助圖形確定出被積函數(shù)，求出交點坐標，確定積分的上、下限；(3)把曲邊梯形的面積表示成若干個定積分的和；(4)計算定積分，寫出答案三、題之變：課本典例改編三、題之變：課本典例改編1.原題（選修原題（選修 2-22-2 第十一頁習題第十一頁習題 1.1B1.1B 組第一題組第一題）改編改編在高臺跳水中，t s 時運動員相對水面的高度(單位：m）是105 . 69 . 4)(2ttth則 t=2 s 時的速度是_.【答案】13.1(/ )m s.【 解 析 】5 . 68 . 9)(tth由 導 數(shù) 的 概 念 知 ： t=2s時 的 速 度 為)/( 1 .135 . 628 . 9)2(smh2. 原 題 （ 選 修原 題 （ 選 修2-22-2第 十 九 頁 習 題第 十 九 頁 習 題1.2B1.2B組 第 一 題組 第 一 題 ） 改 編改 編 記21sin23sin,23cos,21coscBA，則 A,B,C 的大小關(guān)系是（）AABCBACBCBACD.CBA【答案】B.3.3.原題原題（選修選修 2-22-2 第二十九頁練習第一題第二十九頁練習第一題）改編改編如圖是導函數(shù)/( )yfx的圖象，那么函數(shù)( )yf x在下面哪個區(qū)間是減函數(shù)（）A.13( ,)x xB.24(,)x xC.46(,)x xD.56( ,)x x【答案】B.【解析】函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間就是其導函數(shù)小于零的區(qū)間，故選 B.4.4.原題（選修原題（選修 2-22-2 第三十二頁習題第三十二頁習題 1.3B1.3B 組第組第 1 1 題（題（4 4） ）改編改編 1 1設(shè)02x，記sinlnsin ,sin ,xax bx ce試比較 a,b,c 的大小關(guān)系為（）AabcBbacCcbaDbca【答案】A.【解析】1.先證明不等式lnxxxe(x0);設(shè)( )ln,0f xxx x, 因為1( )1,fxx所以，當01x時，1( )10,fxx ( )f x單調(diào)遞增，( )ln(1)10f xxxf ；當1x 時1( )10,fxx ( )f x單調(diào)遞減，( )ln(1)10f xxxf ；當 x=1 時，顯然ln11，因此ln xx;2.設(shè)( ),0 xg xxe x,( )1xg xe 當0( )0 xg x時( )(0,+g x在）單調(diào)遞減( )(0)0g xg,即xxe;綜上：有l(wèi)nxxxe，x0 成立;02x,0sin1x,sinlnsinsinxxxe,故選 A.改編改編 2 2證明：xxx1ln111，1x 【解析】 （1）構(gòu)造函數(shù)xxxf1ln)(，1111)(xxxxf) 1(x，當, 0 x 00 f，得下表01x0 x xf +0 xf單調(diào)遞增極大值0)0(f單調(diào)遞減, 1x總有, 0)0()( fxf, 01lnxx.1lnxx另解1111)(xxxxf) 1(x，當, 0 x 00 f，當01x， )(, 0 xfxf單調(diào)遞增，, 0)0()(, 01fxfx當0 x， )(, 0 xfxf單調(diào)遞減，, 0)0()(, 0fxfx當, 0 x 00 f綜合得：當1x時，, 0)(xf, 01lnxx.1lnxx（2）構(gòu)造函數(shù), 111) 1ln()(xxxg2211111)(xxxxxg，當, 0 x 00 g，當, 01x )(, 0 xgxg單調(diào)遞減；當, 0 x )(, 0 xgxg單調(diào)遞增；)(, 0 xgx 極小值=0)0()(mingxg，, 1x總有, 0)0()(gxg, 0111) 1ln(xx即：)1ln(111xx.綜上（1） （2）不等式xxx1ln111成立.5.5.原題（選修原題（選修 2-22-2 第三十七頁習題第三十七頁習題 1.4A1.4A 組第組第 1 1 題題）改編改編用長為 18 m 的鋼條圍成一個長方體形狀的框架，要求長方體的長與寬之比為 2：1，問該長方體的長、寬、高各為多少時，其體積最大？最大體積是_.【解析】設(shè)長方體的寬為xm，則長為 2xm，高230(m)35 . 441218xxxh.故長方體的體積為).230)(m69)35 . 4(2)(3322xxxxxxV從而2( )181818 (1).V xxxxx令0(X)V，解得x=0（舍去）或x=1，因此x=1.當 0 x1 時，(X)V0；當 1x32時，(X)V0，故在x=1 處V（x）取得極大值，并且這個極大值就是V（x）的最大值.從而最大體積V3（m3） ，此時長方體的長為 2 m，高為 1.5 m.答：當長方體的長為 2 m 時，寬為 1 m，高為 1.5 m 時，體積最大，最大體積為 3 m3.6.6.原題（選修原題（選修 2-22-2 第四十五頁練習第二題第四十五頁練習第二題）改編改編一輛汽車在筆直的公路上變速行駛，設(shè)汽車在時刻 t 的速度為 v(t)=-t2+4,（30 tt） （t 的單位：h, v 的單位：km/h）則這輛車行駛的最大位移是_km【解析】當汽車行駛位移最大時，v(t)=0.又 v(t)=-t2+4=0 且30 t,則 t=2316431-)4(203202max）（ttdtts，故填316.7.7.原題（選修原題（選修 2-22-2 第五十頁習題第五十頁習題 1.5A1.5A 組第四題組第四題）改編改編11 -21dxxex）（_【答案】22e2.8.8.原題（選修原題（選修 2-22-2 第五十三頁例第五十三頁例 2 2）改編改編曲線)x0sin（xy與直線 y=21圍成的封閉圖形的面積為（）A3B.3-2C.3-2D.3-3【答案】D.【解析】由21sin x與)x0（得566x或，所以曲線)x0sin（xy與直線y=21圍成的封閉圖形的面積3cos)665(21sins656656xxdx=333)6cos(65cos故選 D.9.9.原題原題（選修選修 2-22-2 第五十六頁例第五十六頁例 1 1）改編改編 1 1由曲線211yx ，22yxx所圍成圖形的面積為_.【答案】143.【解析】 聯(lián)立22112xyxxy得焦點坐標 （0,0） ， （1,1） ,112200(2 )(11)sxx dxxdx123210012(2 )()33xx dxxx 11121220000(11)111xdxxx dxx dx 而1201x dx表示單位圓221xy在第一象限內(nèi)的部分1201x dx=42113443s ,故填143.改編改編 2 2計算： （1）dxxxx20sincos2cos； （2）dxx2024改編改編 3 3求將拋物線xy 2和直線1x圍成的圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體的體積.【解析】利用定積分的定義解題，應(yīng)當畫出草圖.先求出拋物線xy 2和直線1x交點坐標（1，1） ， （1，-1）利用定積分的定義易得：dxyV201xdx0120122x改編改編 4 4在曲線02xxy上某一點 A 處作一切線使之與曲線以及x軸所圍的面積為121，試求： （1）切點 A 的坐標； （2）在切點 A 的切線方程.