精編北師大版數(shù)學(xué)資料 A基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1如圖，設(shè)A、B兩點(diǎn)在河的兩岸，一測量者在A所在的同側(cè)河岸邊選定一點(diǎn)C，測出AC的距離為50 m，ACB45，CAB105后，就可以計(jì)算出A、B兩點(diǎn)間的距離為()A50 mB50 mC25 m D m解析：選A.由正弦定理得.又CBA1804510530，故AB50 (m)2.如圖，測量河對岸的塔的高度AB時(shí)，可以選與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)觀測點(diǎn)C與D，測得BCD15，BDC30，CD30米，并在C測得塔頂A的仰角為60，則塔AB的高度為()A15米 B15米C15(1)米 D15米解析：選D.在BCD中，由正弦定理得BC15(米)在RtABC中，ABBCtan 6015(米)故選D.3某艦艇在A處測得遇險(xiǎn)漁船在北偏東45方向且距離為10海里的C處，此時(shí)得知，該漁船沿北偏東105方向，以每小時(shí)9海里的速度向一小島靠近，艦艇時(shí)速為21海里，則艦艇與漁船相遇的最短時(shí)間為()A20分鐘 B40分鐘C60分鐘 D80分鐘解析：選B.如圖，設(shè)它們在D處相遇，用時(shí)為t小時(shí)，則AD21t，CD9t，ACD120，由余弦定理，得cos 120，解得t(負(fù)值舍去)，小時(shí)40分種，即艦艇與漁船相遇的最短時(shí)間為40分鐘4渡輪以15 km/h的速度沿與水流方向成120角的方向行駛，水流速度為4 km/h，則渡輪實(shí)際航行的速度約為(精確到0.1 km/h)()A14.5 km/h B15.6 km/hC13.5 km/h D11.3 km/h解析：選C.由物理學(xué)知識，畫出示意圖，AB15，AD4，BAD120.在ABCD中，D60，在ADC中，由余弦定理得AC13.5.5已知兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離相等，燈塔A在觀察站C的北偏東40，燈塔B在觀察站C的南偏東60，則燈塔A在燈塔B的()A北偏東40 B北偏西10C南偏東10 D南偏西10解析：選B.如圖所示，ECA40，F(xiàn)CB60，ACB180406080，因?yàn)锳CBC，所以AABC50，所以ABG180CBHCBA1801205010.故選B.6如圖所示為一角槽，已知ABAD，ABBE，并測量得AC3 mm，BC2 mm，AB mm，則ACB_解析：在ABC中，由余弦定理得cosACB.因?yàn)锳CB(0，)，所以ACB.答案：7一個(gè)大型噴水池的中央有一個(gè)強(qiáng)力噴水柱，為了測量噴水柱噴出的水柱的高度，某人在噴水柱正西方向的點(diǎn)A測得水柱頂端的仰角為45，沿點(diǎn)A向北偏東30前進(jìn)100 m到達(dá)點(diǎn)B，在B點(diǎn)測得水柱頂端的仰角為30，則水柱的高度是_ m.解析：設(shè)水柱的高度是h m，水柱底端為C，則在ABC中，A60，ACh，AB100，BC h，根據(jù)余弦定理，得(h)2h210022h100cos 60，即h250h5 0000，即(h50)(h100)0，解得h50，故水柱的高度是50 m.答案：508一蜘蛛沿東北方向爬行x cm捕捉到一只小蟲，然后向右轉(zhuǎn)105，爬行10 cm捕捉到另一只小蟲，這時(shí)它向右轉(zhuǎn)135爬行回它的出發(fā)點(diǎn)，那么x_解析：如圖所示，設(shè)蜘蛛原來在O點(diǎn)，先爬行到A點(diǎn)，再爬行到B點(diǎn)，易知在AOB中，AB10 cm，OAB75，ABO45，則AOB60，由正弦定理知：x.答案：9如圖，某軍艦艇位于島嶼A的正西方C處，且與島嶼A相距120海里經(jīng)過偵察發(fā)現(xiàn)，國際海盜船以100海里/小時(shí)的速度從島嶼A出發(fā)沿北偏東30方向逃竄，同時(shí)，該軍艦艇從C處出發(fā)沿北偏東90的方向勻速追趕國際海盜船，恰好用2小時(shí)追上(1)求該軍艦艇的速度(2)求sin 的值解：(1)依題意知，CAB120，AB1002200，AC120，ACB，在ABC中， 由余弦定理，得BC2AB2AC22ABACcosCAB200212022200120cos 12078 400，解得BC280.所以該軍艦艇的速度為140海里/小時(shí)(2)在ABC中，由正弦定理，得，即sin .10.如圖，一人在C地看到建筑物A在正北方向，另一建筑物B在北偏西45方向，此人向北偏西75方向前進(jìn) km到達(dá)D處，看到A在他的北偏東45方向，B在北偏東75方向，試求這兩座建筑物之間的距離解：依題意得，CD km，ADBBCD30BDC，DBC120，ADC60，DAC45.在BDC中，由正弦定理得BC(km)在ADC中，由正弦定理得AC3(km)在ABC中，由余弦定理得AB2AC2BC22ACBCcosACB(3)2()223cos 4525.所以AB5(km)，即這兩座建筑物之間的距離為5 km.B能力提升11如圖，某山上原有一條筆直的山路BC，現(xiàn)在又新架設(shè)了一條索道AC，小李在山腳B處看索道AC，發(fā)現(xiàn)張角ABC120，從B處攀登400米后到達(dá)D處，再看索道AC，發(fā)現(xiàn)張角ADC150，從D處再攀登800米方到達(dá)C處，則索道AC的長為_米解析：在ABD中，BD400，ABD120，因?yàn)锳DB180ADC30，所以DAB30，所以ABBD400，AD400.在ADC中，DC800，ADC150，AC2AD2DC22ADDCcosADC(400)280022400800cos 150400213，所以AC400，故索道AC的長為400米答案：40012.如圖，在山底測得山頂仰角CAB45，沿傾斜角為30的斜坡走1 000 m至S點(diǎn)，又測得山頂仰角DSB75，則山高BC為_m.解析：如圖，SAB453015，又SBD15，所以ABS30.AS1 000，由正弦定理知，所以BS2 000sin 15.所以BDBSsin 752 000sin 15cos 151 000sin 30500，且DCST1 000sin 30500，從而BCDCDB1 000 m.答案：1 00013.某氣象儀器研究所按以下方案測試一種“彈射型”氣象觀測儀器的垂直彈射高度，如圖，在C處進(jìn)行該儀器的垂直彈射，觀測點(diǎn)A，B兩地相距100 m，BAC60，在A地聽到彈射聲音的時(shí)間比B地晚 sA地測得該儀器在C處時(shí)的俯角為15，A地測得該儀器在最高點(diǎn)H時(shí)的仰角為30，求該儀器的垂直彈射高度CH.(聲音在空氣中的傳播速度為340 m/s)解：由題意，設(shè)ACx m，則BCx340x40 (m)在ABC中，由余弦定理得BC2BA2CA22BACAcosBAC，即(x40)210 000x2100x，解得x420.在ACH中，AC420 m，CAH301545，CHA903060.由正弦定理得，所以CHAC140(m)故該儀器的垂直彈射高度CH為140 m.14(選做題)如圖，某人在塔的正東方向上的C處在與塔垂直的水平面內(nèi)沿南偏西60的方向以每小時(shí)6千米的速度步行了1分鐘以后，在點(diǎn)D處望見塔的底端B在東北方向上，已知沿途塔的仰角AEB，的最大值為60.(1)求該人沿南偏西60的方向走到仰角最大時(shí)，走了幾分鐘；(2)求塔的高AB.(結(jié)果保留根號，不求近似值)解：(1)依題意知，在DBC中，BCD30，DBC18045135，CD6 000100 (m)，BDC453015，由正弦定理得，所以BC50(1)(m)，在RtABE中，tan ，因?yàn)锳B為定長，所以當(dāng)BE的長最小時(shí)，取最大值60，這時(shí)BECD，當(dāng)BECD時(shí)，在RtBEC中，ECBCcosBCE50(1)25(3)(m)，設(shè)該人沿南偏西60的方向走到仰角最大時(shí)，走了t分鐘，則t6060(分鐘)(2)由(1)知當(dāng)取得最大值60時(shí)，BECD，在RtBEC中，BEBCsinBCD，所以ABBEtan 60BCsin BCDtan 6050(1)25(3)(m)，即所求塔高為25(3) m.