第六節(jié) 簡(jiǎn)單的三角恒等變換 強(qiáng)化訓(xùn)練 1.設(shè) f (tan x尸tan2 x,則 f (2)等于( ) 4 A.— 5 B.- C.- D, -1 8 答案：B 解析：「f (tan x)=tan2 2tanx 1 -tan2x ? .f(2)= 2 2 4 2 =- 1 -22 3 2 .若函數(shù) f (x)=sin 2x— - ( x C R),則 f (x)是 C 2 A.最小正周期為 B.最小正周期為 C.最小正周期為 D.最小正周期為 答案：D TT -的奇函數(shù) 2 兀的奇函數(shù) 2兀的偶函數(shù) 兀的偶函數(shù) 解析：原式=--cos" — - =— - cos2x： 2 2 2 2n 2冗 T=——=——=兀. 2 c …. 3 「/ n 、，， 3 .已知 sin a =— , a C (一,兀),tan( 兀 答案：— 24 3 解析：:sin a =g , a C (：,兀)， )=—,則 tan( 2 a -2 3 )= cos a =- 9，貝U tan 5 41 tan2 3 = 2tan : 1 Tan2 : tan( a -2 3 )= tan - - tan2 : 1 tan 二 tan2 : 1 (-3)(-勺 24 4 3 又 tan(兀-3 )= —,可得 tan 3 =——) 2 2 1 "2)= 4 1 ( 1)2 3 1-(-/ 4.函數(shù)y=sin x— - cosx( x R)的最大值為 2 答案:-I 2 解析：y=sin x- —cosx= ( 2而 sin x- cos x)= - sin( x- <j)) 2 2 5 5 2 其中tan e =1，即y的最大值為 2 2sin20 cos10 tan20 sin10 5.求值： . 米 1 cos80 + sin40 sin80 解：原式的分子 cos10cos20 sin20 sin10 =2sin20 + cos20 c . ” cos10 sin40 cos10 =2sin20 + = cos20 cos20 sin40 + sin80、2sin60 tos20口= cos20 cos20 sin40 sin80 sin80 原式的分母=1 +cos80 = 2cos40 cos80 _ cos40 :」cos40 cos80 sin80 =cos40 0+2cos60rcos20 口 sin80 =cos400 + cos20。= 2cos30cos10 =底) sin80 cos10 所以，原式=1. 見(jiàn)課后作業(yè) A 題組一 簡(jiǎn)單的三角恒等變換 1.若 sin a <0 且 tan a >0,貝U a 是 C J A.第一象限角 B. 第二象限角 C.第三象限角 D. 第四象限角 答案：C 解析:sin “<0,則”是第三、四象限角; tan a >0,則a是第一、三象限角； ??…是第三象限角. 2.已知 x C (-10),cos x=4，貝U tan2 x 等于1 ) 2 5 A. 24 B.- 24 24 7 答案:D 解析：xC (- 2,0),cos x= — ,sin 2 5 x=：,tan x=-3,tan2 2tanx 24 x= L- 一 1 -tan x 7 3.已知cos2 0 = ^2-,貝U sin4 3 +cos4 0的值為( 喘 答案：B B. 11 18 C. 7 — D.- 9 解析:sin4 +cos4 0 =(sin +cos2 0 ) 2-2sin 2 0 2 cos 0 =1-1 sin 22 0 2 =1— — (1-cos 2 22()=衛(wèi) 18 4.函數(shù)y=|sin x+cosx|的最小正周期是 ( A.二 4 答案：C B. C. 7t D.2 7t 解析：原式=| J2 sin( x+4)|= J2 |sin( x+ T=tt . 5.函數(shù)y= 一 ， 2c 1 一 tan 2x , 2 _ 1 tan 2x 的最小正周期是1 A.二 4 答案：B B. C. 7t D.2 7t 解析:y= , 2 _ 1 Tan 2x 1 tan22x =cos4x, T=^^ =— 4 2 6.若 cos 0=4 ,sin 0 5 <0,則tan1等于( A.1 4 答案：C B.3 C.- D. 解析：:cos 0 =4 ,sin 5 9<0， 3 sin 0 =- - ,tan sin f cosu 3兀 C (2 k 兀 + — ,2 k 兀 +2 兀), 3 Ji C ( k 兀 + — , k 兀 + 兀). tan 0 = 4 Q 2tan- 2_ ( 2 1 1 -tan - 2 即 tan ^=- 1 )什 cos2: 7.若 sin(二一亍) 4 +sin a B.- C. D. 答案：C 解析：??? cos2 工 sin( ： -4) 2 _ 2. cos 二 一sin 2 .一 二一 —sin - — — cos- 2 2 (cos - -sin - ) cos二" sin - _ cosa -sina) 口. 1 即 cos a +sin a =— 2 8.設(shè) a € (— 4 sin( a + 3 )= 答案:56 65 3n ), 3 e(0, ),cos( a - 二)= 5 f 4 -,sin( 5 + 3)= 9，則 13 解析：a C(2, 4 又 cos( a --)= sin( a --)= 3n ——),《 4 3] -J 5 4, 3 5 e(0, e(0, 3n 一+3 C( 4 3n 一,兀),sin( 4 —+ 3 )= 4 13 cos( 3n —+ 3 )=- 4 12 13 sin( + +3 )=sin …-4)+( =-cos [(-4)+( =-cos( 3n ——+ 3 ) 1 4 3n -j) ? cos( - +3 )+sin( a - -^) ? sin( 3x(2)+ 13 4 5 56 _ x 一 =一， 5 13 65 即 sin( a 、56 + 3 )= — . 65 9. (2011 安徽 高考，文 15 改編)設(shè) f (x)= asin2 x+bcos2x,其中 a, bCRabw。 f(x)< I f ( -)|對(duì)一切x€ R恒成立，則: 6 ①" 111)=0, 12 |f( — )l<l f(")l , 10 5 ③f (x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù), ④f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是】kx+- ](k € Z),以上結(jié)論正確的是 寫(xiě)出 所有正確結(jié)論的編號(hào)). 答案:①③ :f (x)=asin2 x+bcos2x= Va2 +b2 sin(2 x+([)) < yja + b2 兀 I f ( —)l=l 6 H H -J3 1 ，升一 asin —+bcos — |=| —a+— b| >0,由息 f (x)< | f( -)| 對(duì)一切 xCR恒成立, 6 貝U x/a2 +b2 < | 1 a+ - b|對(duì)一切x C R恒成立，即 2 a2+b2< — a2+- b2+— ab 恒成立, 4 4 2 a2+3b2< 2 有 ab 恒成立.而 a2+3b2>2 <3 ab,所以 a2+3b2=2 V3 ab,此時(shí) a= J5 b,所以 f (x)= 73 bsin2 x+bcos2x=2bsin(2 x+ —). 6 ①f ( )=2 bsin( + —)=0,故①正確； 12 6 6 , 7n 7n n 47n 13n、 ②|f(——)|=|2 bsin( ——+-)|=|2 bsin( ——)|=|2 b|sin( ——.)， 10 5 6 30 30 兀 兀 17冗 13克 | f ( —)|=|2 bsin( 一 + - )|=|2 bsin( )|=|2 b|sin( ), 5 5 6 30 30 所以|f(必)1=1 f( -)1，②錯(cuò)誤； 10 5 ③f(-x)wf(x),所以③正確; ④由題知 f(x)= ^3 bsin2 x+bcos2x=2bsin(2 x+ —),當(dāng) b>0時(shí)，由 2|<兀 ——<2x+—<2k7t+—, 6 2 6 2 知k % - - Wx1k兀+ —,所以④不正確. 3 6 6k +1 6k_ 1 r~ Ji 10 .化簡(jiǎn) f(x)=cos( n+2x)+cos( -2x)+2 V3 sin( 一+2x)( xC R kC Z),并求函 3 3 3 數(shù)f (x)的值域和最小正周期I 解：f(x)=cos(2 ku + —+2x)+cos(2 k 兀-3-2x)+2 喬 sin( — +2x) =2cos( _+2x)+2 ... 3 sin( _+2x) =4cos2x. 函數(shù)f(x)的值域?yàn)椋?4,4 ］； 函數(shù)f(x)的周期T=—= Tt . co 11 .已知函數(shù) f(x)=sin( x+— )+sin( x-2)+acosx+b(a, b C R,且均為常數(shù)). (1)求函數(shù)f(x)的最小正周期| (2)若f(x)在區(qū)間［-1,0］上單調(diào)遞增，且恰好能夠取到f(x)的最小值2,試求a,b的值| 3T TC 解:(1) f(x)=sin( x+ —)+sin( x- -)+ acosx+b 冗 =2sin xcos —+acosx+b =3 sin x+acosx+b =Ja2 +3sin( x+ 0 )+b. a 、3 (其中0由下面的兩式所確te :sin 9 = ,cos 0 = ) a2 3 a2 3 所以函數(shù)f(x)的最小正周期為 2兀| (2)由⑴ 可知f(x)的最小值為-Ja2 +3+b, 所以-a2 3 +b-2. 另外，由f(x)在區(qū)間［-三,0］上單調(diào)遞增，可知f(x)在區(qū)間［-2,0］上的最小值為f(--). 所以 f (— -)=- -/a2 3 +b-Z. 3 解之得，a=-1, b=4.