6.2 平面向量的坐標(biāo)表不 隨堂演練鞏固 1 .已知向量 a=(1 , 0) , b=(0 , 1) , c=ka+b(ke R), d=a— b,如果 c // d,貝U k= 【答案】一1 【解析】因為 c=k(1,0)+(0,1)=( k,1), d=(1, —1), 由 c // d 知一k —1=0,故 k=— 1. 2 .若平面向量a,b滿足| a+b|=1, a+b平行于x軸，b=(2, —1),貝U a= . 【答案】(一1,1)或(一3,1) 【解析】 a+b=(1,0)或(一1,0),則 a=(1,0) —(2, —1)=( -1,1)或 a=( —1,0) —(2,— 1)=( -3,1). 3 .已知兩點P(3,4), Q(12,7),點R在直線PQ上，且| PR |= 1 | PQ |,則點R的坐 3 標(biāo)是 . 【答案】(6,5)或(0,3) 【解析】 PR = - PQ 時，即(Xr— 3, yR— 4)= - (9,3), R(6,5); 3 3 同理，當(dāng) PR = -1 PQ 時，R0,3). 3 .??點R的坐標(biāo)是(6 , 5)或(0,3). 4 .在平行四邊形 ABC用，AC與BD交于點 Q E是線段OD的中點，AE的延長線與 CD 交于點F,若 AC =a, BD =b,則 AF = .(用a和b表示) ― 2 1 【答案】2a+1b 【解析】如圖所示，由于E為BD的一個四等分點，且4AB殍△ DEF故處=型=3. FE ED ?? AF = 4 AE,而 AE= AO + OE = 1 AC + 1 BD=1 a +1 b. 3 2 4 2 4 AF =4 AE = 2a+1b. 3 3 3 課后作業(yè)夯基 1.已知向量a=(1 , 1) , b=(2 , x),若a+b與4b —2a平行，則實數(shù) x的值是 【答案】2 【解析】因為 a=(1 , 1) , b=(2 , x),所以 a+b=(3 , x+1), 4b —2a=(6, 4x-2),由 a+b與4b —2a平行, 2.設(shè) a=(sin x, 得 6(x+1) —3(4x—2)=0,解得 x=2. 【解析】 a=(sin x, —),b=(1 , 1 cosx),且 a // b, ,，1sin 2 3 xcos x —— 4 4 1=0, 3 即—sin2 x—1=0. 4 4 sin2 x=1. 又x為銳角， ji n 2x= — , x=—. 3 已知向量a=(1, 一 x ——),b=(x—1,1),則|a+b|的最小值是 x 【解析】＜ a+b=(x, 1、 2 1 ,,, -),???|a+b|= Jx2 +— 八2 (當(dāng)且僅當(dāng)x=1時取等號). 4.設(shè)a、b是不共線的兩個非零向量， 已知AB =2a+pb, BC =a+b, CD = a_2b.若 A、 R D三點共線，則p的值為 【答案】一1 【解析】本題考查兩向量共線的充要條件 BD = BC + CD =2a-b, AB =2a+pb, 由 A、R D三點共線 = AB = X BD= 2a+pb=2 入 a — 入b= ’2 九=2 = p= — 1. 巾二一九 -),b=( 1, 1 cosx),且 a // b,則銳角 x 為 5 . △ABC勺三內(nèi)角A B, C所對的邊的長分別為 a,b, c,設(shè)向量p=(a+c, b), q=(b-a, c—a), 若p// q,則角C的大小為. 【解析】由p// q,得(a+c)( c —a)=b(b —a),即b2+a2-c2=ab,利用余弦定理可得 cosC=—, 2 ji 因為C為三角形的內(nèi)角，從而C=g . 6 .與向量a=(12,5)平行的單位向量是 【答案】(12, -5)^(-12, -A) 13 13 13 13 【解析】土 —= (12;5) =(12,―). |a| ,122 52 13 13 7 .在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線 r的中心在原點，它的一個焦點坐標(biāo)為 （J5 ,0）, e『（2,1）、e2=（2, - 1）分別是兩條漸近線的方向向量 .任取雙曲線 r上的點 P,若 OP =ae1+be2（a、bCR）,則a、b滿足的一個等式是 . 【答案】4 ab=1 1 X2 【解析】由題意知，雙曲線兩條漸近線的斜率分別為 土」，可得雙曲線方程為—- 一 2 4 2 2 『=入,即"—L=1. 又???雙曲線的一個焦點坐標(biāo)為 （-、5 ,0）, .?.4入+入=5,解得入=1. 2 ??.雙曲線的方程為 ——y2=1. 4 而 OP =ae1+be2=(2 a, a)+(2 b, — b)=(2 a+2b, a— b), 又「 P在雙曲線上， (2a 2b)2 / 「、2 , ?- L——(a-b) =1. 4 整理得4ab=1. 8.已知向量 OA=( —3, — 1), OB= (2,3), OC =OA+OB ,則向量OC的坐標(biāo)是 ，將向量 OC按逆時針方向旋轉(zhuǎn) 90。得到向量 OD,如右圖所示，則向量 OD的坐標(biāo)是 7 【解析】 OC= OA+ OB =( —3, —1)+(2,3)= (—1,2) , OD=(— 9.給定兩個長度為1的平面向量OA和OB ,它們的夾角為120 .如圖所示, 2,-1). 點C在以 O為圓心的圓弧 AB上變動.若OC =xOA+yOB ,其中x, y C R則x+y的最大值是 【答案】2 【解析】設(shè)/ AOC” , OC oA = xoA OA, OC OB = xOA OB + yOB OB, 1 cos： = x -- y, 2 1 cos(120 -二)- =3 x y. ? -x+y=2 [cos a+cos(120 — a)] =cosa+V3sin a =2sin( a +—) < 2. 6 10.已知梯形ABC珅，| Ab |=2| DC | ,M N分別是DC AB的中點，若AB =e1, AD =e2, 用 a, e2表示 DC , BC , MN . 【解】「| AB |=2| DC |, DC = _ AB = 1 ei=— ei+0e2, 2 2 2 1 1 2 連結(jié)DN MN則而=CB , BC = AC - AB = AD + DC — AB = — ei+e2—ei=— — ei+e2. 2 MN =MD + DN =- ：DC+(-BC 尸- 11.已知 A(2 , 3) , B(5 , 4) , C(7 , 10) , AP = i i i — ei — e2+— ei=— ei — e2. AB +入AC.則當(dāng)入為何值時, (i)點p在第一、三象限的角平分線上； (2)點p到兩坐標(biāo)軸的距離相等？ 【解】(i)由已知 aB=(3, i), AC =(5 , 7), 則 AB + 入 AC =(3,i)+ 入(5,7)=(3+5 入,i+7 入). 設(shè) P(x, y),則 AP =(x —2, y —3), 「X -2 =3+5九，x=5 + 5九， x —3=i +7 九. J=4+7M ???點P在第一、三象限的角平分線上， 一一 一 1 x=y,即 5+5 入=4+7 入...入=—. (2)若點P到兩坐標(biāo)軸的距離相等， 則 |x|二| y|,即 |5+5 入 |=|4+7 入 |, 入=1或入=—3. 2 4 12.如圖，已知點 G是△ ABO勺重心. ⑴求 GA+GB + Go ； (2)若 PQii△ ABO勺重心 G,且OA=a, OB =b, OP =ma, OQ=nb,求證：—+ - =3. m n .4 【解】(1) GA + GB + GO =0. (2)顯然 OM = 1 ( a+b). 2 因為G是△ ABC勺重心，所以 OG = 2 OM = 1 ( a+b). 3 3 由P, G Q三點共線，有PG , Gq共線，所以，有且只有一個實數(shù) 入，使PG =九GQ . 而 PG =OG — OP = - ( a+b) — ma=( - — m) a+- b, 3 3 3 1 1 一 一 m = 一一, 3 3 GQ = OQ - OG =nb— — ( a+b)= — — a+( n— — ) b, 所以(1 — m) a+1 b=入［1 a+( n— 1) b］，又因為a,b不共線，所以 3 3 3 3 消去入，整理得3mn=m+n,故工+ 1 =3. m n