第六章 彎曲內(nèi)力一、教學(xué)目標(biāo)和教學(xué)內(nèi)容1、教學(xué)目標(biāo)掌握彎曲變形與平面彎曲等基本概念；熟練掌握用截面法求彎曲內(nèi)力；熟練列出剪力方程和彎矩方程并繪制剪力圖和彎矩圖；利用載荷集度、剪力和彎矩間的微分關(guān)系繪制剪力圖和彎矩圖；掌握疊加法繪制剪力圖和彎矩圖。2、教學(xué)內(nèi)容平面彎曲等基本概念；截面法及簡便方法求彎曲內(nèi)力；剪力方程和彎矩方程、繪制剪力圖和彎矩圖；用載荷集度、剪力和彎矩間的微分關(guān)系繪制剪力圖和彎矩圖；疊加法繪制剪力圖和彎矩圖。二、重點(diǎn)難點(diǎn)1、平面彎曲的概念；2、剪力和彎矩，剪力和彎矩的正負(fù)符號規(guī)則；3、剪力圖和彎矩圖；4、剪力、彎矩和載荷集度的微分、積分關(guān)系；5、疊加法繪制剪力圖和彎矩圖。三、教學(xué)方式 采用啟發(fā)式教學(xué)，通過提問，引導(dǎo)學(xué)生思考，讓學(xué)生回答問題。四、建議學(xué)時 7學(xué)時五、實(shí)施學(xué)時六、講課提綱1、平面彎曲的概念及梁的種類平面彎曲的概念簡單回顧軸向拉、壓： 圖6-1受力：作用在橫截面上，作用線與桿軸線重合。變形；沿軸線方向的伸長或縮短。剪切： 圖6-2 受力：作用在桿的兩側(cè)面上，作用線軸線。變形：兩相鄰截面（力作用部位，二力之間）發(fā)生相對錯動。扭轉(zhuǎn)： 圖6-3受力：T作用在垂直于桿軸的平面內(nèi)（橫截面內(nèi)）。變形：相鄰截面發(fā)生相對轉(zhuǎn)動。彎曲：討論桿的彎曲暫時限制在如下的范圍；桿的橫截面至少有一根對稱軸（一個對稱面）圖6-4載荷作用在對稱平面內(nèi)在此前提下，可討論桿件彎曲的受力特點(diǎn)：所有外力都作用在通過桿件軸線的縱向?qū)ΨQ平面內(nèi)：圖6-5變形特點(diǎn)：桿件軸線在載荷作用平面內(nèi)彎成一條曲線。受力、變形具有上述特點(diǎn)的彎曲稱為平面彎曲。何謂梁？凡是以彎曲為主要變形的桿件，通常稱為梁。梁的種類：簡支梁圖6-6懸臂梁圖6-7外伸梁圖6-8多跨靜定梁圖6-9超靜定梁圖6-102、梁的內(nèi)力及其求法梁的內(nèi)力剪力與彎矩確定約束反力圖6-11內(nèi)力分析用截面法沿m-m截面截開（任取一段）圖6-12按平衡的概念標(biāo)上,M。-與橫截面相切剪力M內(nèi)力偶矩彎矩內(nèi)力值的確定用靜力平衡條件： 得 得 （O- 截面形心）剪力、彎矩的正、負(fù)號規(guī)定：剪力：當(dāng)截面上的FQ使該截面鄰近微段有做順時針轉(zhuǎn)動趨勢時為正，反之為負(fù)。圖6-13彎矩：當(dāng)截面上的彎矩使該截面的鄰近微段下部受拉，上部受壓為正（即凹向上時為正），反之為負(fù)。圖6-14求指定截面上的剪力和彎矩圖6-15求圖示梁截面 A、C的內(nèi)力：解：求反力： ，校核： (無誤)求指定截面上的內(nèi)力：截面A左（不截到）： （使該段有逆時針轉(zhuǎn)動的趨勢）圖6-16 （上拉下壓）截面A右（截到）： 圖6-17 截面C左（不截到M1）： 圖6-18 截面C右（截到M1）： 圖6-19 小結(jié)基本規(guī)律求指定截面上的內(nèi)力時，既可取梁的左段為脫離體，也可取右段為脫離體，兩者計算結(jié)果一致（方向、轉(zhuǎn)向相反）。一般取外力比較簡單的一段進(jìn)行分析。在解題時，一般在需要內(nèi)力的截面上把內(nèi)力（FQ、M）假設(shè)為正號。最后計算結(jié)果是正，則表示假設(shè)的內(nèi)力方向（轉(zhuǎn)向）是正確的，解得的FQ、M即為正的剪力和彎矩。若計算結(jié)果為負(fù)，則表示該截面上的剪力和彎矩均是負(fù)的，其方向（轉(zhuǎn)向）應(yīng)與所假設(shè)的相反（但不必再把脫離體圖上假設(shè)的內(nèi)力方向改過來）。梁內(nèi)任一截面上的剪力FQ的大小，等于這截面左邊（或右邊）所有與截面平行的各外力的代數(shù)和。若考慮左段為脫離體時，在此段梁上所有向上的外力會使該截面上產(chǎn)生正號的剪力，而所有向下的外力會使該截面上產(chǎn)生負(fù)號的剪力。梁內(nèi)任一截面上的彎矩的大小，等于這截面左邊（或右邊）所有外力（包括力偶）對于這個截面形心的力矩的代數(shù)和。若考慮左段為脫離體時，在此段梁上所有向上的力使該截面上產(chǎn)生正號的彎矩，而所有向下的力會使該截面上產(chǎn)生負(fù)號的彎矩。 另外，若考慮左段梁為脫離體時，在此段梁上所有順時針轉(zhuǎn)向的外力偶會使該截面上產(chǎn)生正號的彎矩，而所有逆時針轉(zhuǎn)向的外力偶會使該截面上產(chǎn)生負(fù)號的彎矩。3、剪力圖和彎矩圖為了知道FQ、M沿梁軸線的變化規(guī)律，只知道指定截面上的FQ、M是不夠的，并能找到、的值及其所在截面，以便對梁進(jìn)行強(qiáng)度，剛度計算，我們必須作梁的剪力圖和彎矩圖。剪力方程和彎矩方程梁內(nèi)各截面上的FQ、M一般隨橫截面的位置不同而變化，橫截面位置若用沿梁軸線的坐標(biāo) x來表示，則梁內(nèi)各橫截面上的FQ、M都可以表示為坐標(biāo)x的函數(shù)，即 剪力方程 彎矩方程在建立 、時，坐標(biāo)原點(diǎn)一般設(shè)在梁的左端。剪力圖和彎矩圖根據(jù)、，我們可方便地將、沿梁軸線的變化情況形象地表現(xiàn)出來，其方法是橫坐標(biāo)x-橫截面位置縱坐標(biāo)或-按比例表示梁的內(nèi)力、畫在橫坐標(biāo)的上邊、畫在橫坐標(biāo)的下邊剪力圖、彎矩圖的特點(diǎn)：（舉例說明）例題6-1： 圖6-20解：求約束反力整體平衡，求出約束反力：； 注意；約束反力的校核分段列、注意：三定定坐標(biāo)原點(diǎn)及正向原點(diǎn)：一般設(shè)在梁的左端；正向：自左向右為正向。定方程區(qū)間即找出分段點(diǎn)；分段的原則：載荷有突變之處即為分段點(diǎn)。定內(nèi)力正負(fù)號截面上總設(shè)正號的剪力、彎矩。三定后即可建立、列、：AC段：（根據(jù) 圖b列方程） （0<x1<a） （0x1a） CB段：（圖c） （a<x2<l） （ax2l） 繪FQ、M圖據(jù)式、作FQ圖，如圖（d）所示。據(jù)式、作M 圖，如圖（e）所示。確定、 據(jù)FQ圖可見，當(dāng)a>b時，據(jù)M圖可見，c截面處有，若a=b=l/2,則特點(diǎn)之一： 在集中力作用處，F(xiàn)Q圖有突變（不連續(xù)），突變的絕對值等于該集中力的大??；圖有一轉(zhuǎn)折點(diǎn)，形成尖角。（M圖的切線斜率有突然變化）例題6-2圖6-21AC段： （0<x1a） （0x1<a） CB段： （ax2<l） （a<x2l） 若a>b,則集中力偶左側(cè)截面上有最大彎矩特點(diǎn)之二：在集中力偶作用下，彎矩圖發(fā)生突變（不連續(xù)），突變的絕對值等于該集中力偶矩的大?。坏袅D沒有突變。（FQ圖連續(xù)，并不改變斜率）。 例題6-3圖6-22 （0<x<l） （0xl） 由FQ、M圖可見： 支座處：FQ=0處：特點(diǎn)之三：從例題8-1（集中力）、例題8-2（集中力偶）、例題8-3（均布荷載）可以看到：在梁端的鉸支座上，剪力等于該支座的約束反力。如果在端點(diǎn)鉸支座上沒有集中力偶的作用，則鉸支座處的彎矩等于零。例題6-4圖6-23 （0x） （0x） 在固定端處：特點(diǎn)之四：在梁的外伸自由端點(diǎn)處，如果沒有集中力偶的作用，則端點(diǎn)處的彎矩等于零；如果沒有集中力的作用，則剪力等于零。特點(diǎn)之五：在固定端處，剪力和彎矩分別等于該支座處的支座反力和約束力偶矩。特點(diǎn)之六：最大剪力、最大彎矩及其位置。最大剪力發(fā)生位置：梁的支座處及集中力作用處有，例題6-3及6-4最大彎矩一般發(fā)生在下列部位；集中力作用的截面處 例題6-1集中力偶作用的截面處 例題6-2FQ=0處，M有極值 例題6-3懸臂梁的固定端處 例題6-4（外伸梁的支座處往往也有） 例題6-5圖6-24特點(diǎn)之七：在梁的中間鉸上如果沒有集中力偶作用，則中間鉸處彎矩必等于零，而剪力圖在此截面處不發(fā)生突變。例題6-6再分析例題6-1；集中作用在/2處圖6-26再分析例題6-3：簡支梁承受均布載荷 圖6-27特點(diǎn)之八： 對稱結(jié)構(gòu)、對稱載荷，F(xiàn)Q圖反對稱，M圖對稱，據(jù)此特點(diǎn)，下面這道題即可方便作出 FQ、M圖（只要列出一半的剪力、彎矩方程即可作圖）圖6-25AC段： （0<x<l） （0x2） 根據(jù)特點(diǎn)之八，可畫出整個梁的FQ、M圖 例題6-7圖6-26特點(diǎn)之九：對稱結(jié)構(gòu)，反對稱載荷，F(xiàn)Q圖對稱，M圖反對稱。特點(diǎn)之十： 梁中正、負(fù)彎矩的分界點(diǎn)稱為反彎點(diǎn)，反彎點(diǎn)處 M=0，構(gòu)件設(shè)計中確定反彎點(diǎn)的位置具有實(shí)際意義。4、之間的微分和積分關(guān)系。留心例題6-1到例題6-4；特別是例題6-3、例題6-4，可以發(fā)現(xiàn)： ，。是否普遍存在著這樣的關(guān)系？、之間的微分關(guān)系。圖6-27取 dx一段討論，任設(shè)、均為正值。 式的物理意義：梁上任一橫截面上的剪力對x的一階導(dǎo)數(shù)，等于該截面處作用在梁上的分布荷載集度。式的幾何意義：任一橫截面上的分布荷載集度，就是剪力圖上相關(guān)點(diǎn)處的斜率。 略去高階微量 式的物理意義：梁上任一橫截面上的彎矩對x的一階導(dǎo)數(shù)，等于該截面上的剪力。式的幾何意義：任一橫截面處的剪力，就是彎矩圖上相關(guān)點(diǎn)處的斜率。對式的兩邊求導(dǎo)，則 式的物理意義：梁上任一橫截面上的彎矩對x的二階導(dǎo)數(shù)，等于同一截面處作用在梁上的分布荷載集度數(shù)學(xué)上：二階導(dǎo)數(shù)可用來判定曲線的凹向，因此：式的幾何意義：可以根據(jù) 對x的二階導(dǎo)數(shù)的正、負(fù)來定出圖的凹向。根據(jù)、之間的微分關(guān)系所得出的一些規(guī)律：若=0=0 ，即=常數(shù)圖為一水平直線；又=常數(shù)，即M圖的斜率為一常數(shù) M圖為一斜直線。并且 當(dāng)時，M圖為上升的斜直線（/）；當(dāng)時，M圖為下降的斜直線（）.若 （即分布荷載向下）=<0 圖為一下降的斜直線（）又 M圖下降。再 M圖為一凹向下的曲線（）若 （即分布荷載向上）=0 圖為一上升的斜直線（/）又 M圖上增。再 M圖為一凹向上的曲線（）若 （即懸臂梁、外伸梁在自由端作用集中力偶M,而梁上又無q、FP作用）則 M圖的斜率為零，M圖為一水平直線。若，M圖在該處的斜率為零時，則在此截面上M 為一極值。若 或 （即分段列內(nèi)力方程的分段點(diǎn)，變號）則M在該處必有極值。當(dāng)時， M有極大值；當(dāng)時， M有極小值。、之間的積分關(guān)系若梁上任有兩點(diǎn)：a和b，則幾何意義；任何兩截面（b，a）上的剪力之差，等于此兩截面間梁段上的荷載圖的面積；又幾何意義；任何兩截面上的彎矩之差，等于此兩截面間的剪力圖的面積。、之間的微分關(guān)系和積分關(guān)系的應(yīng)用作內(nèi)力圖既快又正確的三句話：抓住“關(guān)系”；注意突變；定點(diǎn)控制。利用、間的微分關(guān)系和積分關(guān)系作FQ、M圖例題6-8圖6-28例題6-9圖6-29例題6-10圖6-30例題6-11圖6-315、用疊加法繪制梁的剪力圖和彎矩圖疊加法的基本思想當(dāng)梁在外力作用下的變形微小時，梁上若干外力對某一截面引起的內(nèi)力等于各個力單獨(dú)作用下對該截面引起的內(nèi)力的代數(shù)和。疊加法同號圖形的疊加圖6-32異號圖形的疊加圖6-33疊加法的三句話：截面相對應(yīng)，同號只管加。異號重疊處，不用去管它；抓住控制面，一一相減加。圖形必須歸整，反彎點(diǎn)要對準(zhǔn)；控制截面須對應(yīng)，正負(fù)一定要分清。