2019-2020學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試試題 理(普通班，含解析)一、選擇題：本大題共12個小題,每小題5分,共60分在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1. 命題：“”的否定是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】因?yàn)?的否定是所以命題：“”的否定是,選C2. 已知空間向量，則等于（ ）A. B. 2 C. D. 1【答案】A【解析】 ,選A3. “”是“”的（ ）A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件C. 充分必要條件 D. 既不充分也不必要條件【答案】B【解析】且.所以“”是“”的必要不充分條件.故選B.4. 已知變量滿足約束條件則的最小值為（ ）A. 1 B. 2 C. -3 D. -4【答案】D【解析】根據(jù)題意畫出可行域，是一個封閉的三角形區(qū)域，目標(biāo)函數(shù)， 當(dāng)目標(biāo)函數(shù)過點(diǎn) 時有最小值，代入得到-4.故答案為：D。5. 在長方體中，是中點(diǎn)，則（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】 ,選C6. 函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，則（ ）A. B. C. -1 D. 0【答案】A【解析】由題 ，.故選A.7. 在等差數(shù)列中，已知，則該數(shù)列的前12項(xiàng)和等于（ ）A. 36 B. 54 C. 63 D. 73【答案】B【解析】 ,選B8. 設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，以為直徑的圓與直線相切，則該橢圓的離心率為（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由題以為直徑的圓的圓心為（0，0），半徑為c,所以 ，即 ，解得.故選C.點(diǎn)睛：橢圓的離心率是橢圓最重要的幾何性質(zhì)，求橢圓的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：求出a，c，代入公式；只需要根據(jù)一個條件得到關(guān)于a，b，c的齊次式，結(jié)合b2a2c2轉(zhuǎn)化為a，c的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以a或a2轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范圍)9. 已知，則的最小值為（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】 ,選B10. 已知過雙曲線右焦點(diǎn)，斜率為的直線與雙曲線在第一象限交于點(diǎn)，點(diǎn)為左焦點(diǎn)，且，則此雙曲線的離心率為（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由題意，過雙曲線右焦點(diǎn)的直線，代入雙曲線，可得，故選C.11. 函數(shù)在上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】 在上恒成立,所以 令所以當(dāng)時, ,即,選C12. 已知長方體，為線段上一點(diǎn)，且，則與平面所成的角的正弦值為（ ）A. B. C. D. 【答案】A.設(shè)平面一個法向量為 ，則由 因?yàn)?，所以與平面所成的角的正弦值為，選A點(diǎn)睛：利用法向量求解空間線面角的關(guān)鍵在于“四破”：第一，破“建系關(guān)”，構(gòu)建恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；第二，破“求坐標(biāo)關(guān)”，準(zhǔn)確求解相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)；第三，破“求法向量關(guān)”，求出平面的法向量；第四，破“應(yīng)用公式關(guān)”.二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）13. 雙曲線的一個焦點(diǎn)到它的一條漸近線的距離為_【答案】【解析】由題一個焦點(diǎn)（3，0）到一條漸近線 的距離 .14. 若拋物線與拋物線異于原點(diǎn)的交點(diǎn)到拋物線的焦點(diǎn)的距離為3，則拋物線的方程為_【答案】【解析】根據(jù)題意畫出圖像，由拋物線的定義，曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離和到準(zhǔn)線的距離相等，設(shè)A， 代入曲線，得到。故方程為故答案為：。點(diǎn)睛：本題主要考查了拋物線的簡單性質(zhì)解題的關(guān)鍵是利用了拋物線的定義。一般和拋物線有關(guān)的小題，很多時可以應(yīng)用結(jié)論來處理的；平時練習(xí)時應(yīng)多注意拋物線的結(jié)論的總結(jié)和應(yīng)用。尤其和焦半徑聯(lián)系的題目，一般都和定義有關(guān)，實(shí)現(xiàn)點(diǎn)點(diǎn)距和點(diǎn)線距的轉(zhuǎn)化。15. 已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，若對任意的，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_【答案】【解析】因?yàn)榈缺葦?shù)列的前項(xiàng)和為 ，所以 因?yàn)?，所?令所以當(dāng)時， 取最大值 ， 點(diǎn)睛：求解數(shù)列中的最大項(xiàng)或最小項(xiàng)的一般方法先研究數(shù)列的單調(diào)性，可以用或也可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題或利用數(shù)形結(jié)合求解.16. 如圖，在長方體中，點(diǎn)在棱上.若二面角的大小為，則_【答案】【解析】過點(diǎn)作于，連接，如圖所示則為直線與平面所成的角直線與平面所成的角為，故答案為三、解答題 （本大題共6小題，共70分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟） 17. 命題：“方程有兩個正根”，命題：“方程無實(shí)根”，這兩個命題有且只有一個成立，試求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】或【解析】試題分析：先根據(jù)二次方程實(shí)根分布得命題為真時實(shí)數(shù)的取值范圍，再根據(jù)判別式小于零得命題為真時實(shí)數(shù)的取值范圍，最后根據(jù)兩個命題有且只有一個成立，分兩種情況討論，分別求解，再求并集試題解析：命題為真時：解得，命題為真時：，解得，當(dāng)真假時：故有，當(dāng)假真時：故有，實(shí)數(shù)的取值范圍為：或.18. 的三個內(nèi)角所對的對邊分別為，且.（1）求；（2）若，求的大小.【答案】(1) (2) 【解析】試題分析：（1）由及正弦定理，得，又中，可得.（2）由結(jié)合（1）中的，及可得，所以，由余弦定理可求得.試題解析：（1），由正弦定理，得，又中，.（2）時，又，又，.19. 如圖，直三棱柱中，點(diǎn)是中點(diǎn)，點(diǎn)在上，且.（1）求與平面所成角的正弦值；（2）求二面角的余弦值.【答案】(1) (2) 【解析】試題分析：（1）建立空間坐標(biāo)系，求得面的法向量和直線的方向向量，利用向量夾角的求法可得到正弦值；（2）建立空間坐標(biāo)系，求得兩個面的法向量，利用向量夾角的求法可得到余弦值.解析：由直三棱柱中，知兩兩互相垂直，以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，中點(diǎn).(1)，設(shè)平面的一個法向量，則，取，則，直線與平面所成角的正弦值為.(2)，設(shè)平面的一個法向量為，則，取，則，結(jié)合圖形知，二面角的余弦值為.點(diǎn)睛：這個題目考查了空間中的直線和平面的位置關(guān)系，平面和平面的夾角。求線面角，一是可以利用等體積計(jì)算出直線的端點(diǎn)到面的距離，除以線段長度就是線面角的正弦值；還可以建系，用空間向量的方法求直線的方向向量和面的法向量，再求線面角即可。面面角一般是定義法，做出二面角，或者三垂線法做出二面角，利用幾何關(guān)系求出二面角，二是建系求兩個面的法向量。20. 已知是拋物線上兩點(diǎn)，且與兩點(diǎn)橫坐標(biāo)之和為3.（1）求直線的斜率；（2）若直線，直線與拋物線相切于點(diǎn)，且，求方程.【答案】(1) 直線的斜率為 (2) 【解析】試題分析：（1）根據(jù)已知條件，設(shè)直線AB的解析式為y=kx+t，聯(lián)立直線和拋物線的解析式，利用A與B的橫坐標(biāo)之和為3，結(jié)合一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系求出k的值；（2）設(shè)出過點(diǎn)M的切線方程，由切線與曲線只有一個交點(diǎn)，確定點(diǎn)M的坐標(biāo)；再利用AMBM可得kAMkBM=-1，將相應(yīng)的值代入，再結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行計(jì)算，求出b即可得到答案.試題解析：（1）設(shè)方程為，則由，得，時，設(shè)，則，又，即直線的斜率為.（2），可設(shè)方程為，得，是切線，又，又，或，又，方程為.21. 如圖，橢圓的左、右焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，若，與軸垂直，且.（1）求橢圓方程；（2）過點(diǎn)且不垂直于坐標(biāo)軸的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，已知點(diǎn)，當(dāng)時，求滿足的直線的斜率的取值范圍.【答案】(1) (2) 【解析】試題分析：（1）由兩條直線平行可得，由點(diǎn)在曲線上可得其縱坐標(biāo)為，由兩者相等可得，結(jié)合，解出方程組即可；（2）設(shè)直線的方程為：，與橢圓方程聯(lián)立利用根與系數(shù)的關(guān)系得到和，線段的垂直平分線方程為，求出與軸的交，由交點(diǎn)橫坐標(biāo)列出不等式，解出即可得出結(jié)果.試題解析：(1)設(shè)，由軸，知，又由得，又，橢圓方程為.(2)設(shè)，直線的方程為：，聯(lián)立，得，設(shè)線段的垂直平分線方程為：.令，得，由題意知，為線段的垂直平分線與軸的交點(diǎn)，所以，且，所以.點(diǎn)睛：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題；利用待定系數(shù)法求橢圓的方程，根據(jù)題意列出兩個關(guān)于的方程組結(jié)合即可，直線與橢圓相交時正確運(yùn)用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系是解題最常用的方法.22. 已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求函數(shù)在區(qū)間上的值域.（2）對于任意，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1) (2) 【解析】試題分析：（1）先求導(dǎo)數(shù)，再求導(dǎo)數(shù)，得從而確定，再根據(jù)單調(diào)性得值域（2）先整理不等式得，轉(zhuǎn)化為函數(shù)在區(qū)間為增函數(shù)，再轉(zhuǎn)化為對應(yīng)函數(shù)導(dǎo)數(shù)恒非負(fù)，分離變量得最小值，最后利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性，得最值，即得實(shí)數(shù)的取值范圍.試題解析：（1）當(dāng)時，令，有，當(dāng)時，當(dāng)時，得，解得：，故當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，可得，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，故函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?（2）由，有，故可化為，整理為：，即函數(shù)在區(qū)間為增函數(shù)， ，故當(dāng)時，即，當(dāng)時，；當(dāng)時，整理為：，令，有 ，當(dāng)，有，當(dāng)時，由，有 ，可得，由上知時，函數(shù)單調(diào)遞減，故，故有：，可得.點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立或存在型問題，首先要構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，進(jìn)而得出相應(yīng)的含參不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；也可分離變量，構(gòu)造函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.