精品資料 第8講 函數(shù)與方程 一、選擇題 1．“a<－2”是“函數(shù)f(x)＝ax＋3在區(qū)間[－1,2]上存在零點(diǎn)x0”的(　　) A．充分不必要條件　　　　　 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 解析 當(dāng)a<－2時，函數(shù)f(x)＝ax＋3在區(qū)間[－1,2]上單調(diào)遞減，此時f(－1)＝3－a>0，f(2)＝3＋2a<0，所以函數(shù)f(x)＝ax＋3在區(qū)間[－1,2]上存在零點(diǎn)x0；當(dāng)函數(shù)f(x)＝ax＋3在區(qū)間[－1,2]上存在零點(diǎn)x0時， 有f(－1)f(2)<0，即2a2－3a－9>0， 解得a>3或a<－. 答案 A 2．下列函數(shù)圖像與x軸均有公共點(diǎn)，其中能用二分法求零點(diǎn)的是(　　) 解析 能用二分法求零點(diǎn)的函數(shù)必須在含零點(diǎn)的區(qū)間(a，b)內(nèi)連續(xù)，并且有f(a)f(b)＜0.A、B、D中函數(shù)不符合． 答案 C 3．函數(shù)f(x)＝2x－－a的一個零點(diǎn)在區(qū)間(1,2)內(nèi)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 (　　)． A．(1,3) B．(1,2) C．(0,3) D．(0,2) 解析　由條件可知f(1)f(2)<0，即(2－2－a)(4－1－a)<0，即a(a－3)<0，解之得0<a<3. 答案　C 4．已知f(x)是R上最小正周期為2的周期函數(shù)，且當(dāng)0≤x<2時，f(x)＝x3－x，則函數(shù)y＝f(x)的圖象在區(qū)間[0,6]上與x軸的交點(diǎn)的個數(shù)為 (　　)． A．6 B．7 C．8 D．9 解析　當(dāng)0≤x<2時，令f(x)＝x3－x＝0，得x＝0或x＝1. 根據(jù)周期函數(shù)的性質(zhì)，由f(x)的最小正周期為2，可知y＝f(x)在[0,6)上有6個零點(diǎn)， 又f(6)＝f(32)＝f(0)＝0， ∴f(x)在[0,6]上與x軸的交點(diǎn)個數(shù)為7. 答案　B 5．函數(shù)f(x)＝－cos x在[0，＋∞)內(nèi) (　　)． A．沒有零點(diǎn) B．有且僅有一個零點(diǎn) C．有且僅有兩個零點(diǎn) D．有無窮多個零點(diǎn) 解析　令f(x)＝0，得＝cos x，在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出兩個函數(shù)y＝與y＝cos x的圖象如圖所示，由圖象知，兩個函數(shù)只有一個交點(diǎn)，從而方程＝cos x只有一個解． ∴函數(shù)f(x)只有一個零點(diǎn)． 答案　B 6．已知函數(shù)f(x)＝xex－ax－1，則關(guān)于f(x)零點(diǎn)敘述正確的是(　　)． A．當(dāng)a＝0時，函數(shù)f(x)有兩個零點(diǎn) B．函數(shù)f(x)必有一個零點(diǎn)是正數(shù) C．當(dāng)a＜0時，函數(shù)f(x)有兩個零點(diǎn) D．當(dāng)a＞0時，函數(shù)f(x)只有一個零點(diǎn) 解析　f(x)＝0?ex＝a＋ 在同一坐標(biāo)系中作出y＝ex與y＝的圖象， 可觀察出A、C、D選項錯誤，選項B正確． 答案　B 二、填空題 7．用二分法研究函數(shù)f(x)＝x3＋3x－1的零點(diǎn)時，第一次經(jīng)計算f(0)<0，f(0.5)>0可得其中一個零點(diǎn)x0∈______，第二次應(yīng)計算________． 解析 ∵f(x)＝x3＋3x－1是R上的連續(xù)函數(shù)，且f(0)<0，f(0.5)>0，則f(x)在x∈(0,0.5)上存在零點(diǎn)，且第二次驗(yàn)證時需驗(yàn)證f(0.25)的符號． 答案 (0,0.5)　f(0.25) 8．函數(shù)f(x)＝則函數(shù)y＝f[f(x)]＋1的所有零點(diǎn)所構(gòu)成的集合為________． 解析　本題即求方程f[f(x)]＝－1的所有根的集合，先解方程f(t)＝－1，即或得t＝－2或t＝.再解方程f(x)＝－2和f(x)＝. 即或和或 得x＝－3或x＝和x＝－或x＝. 答案　 9．已知函數(shù)f(x)＝ex－2x＋a有零點(diǎn)，則a的取值范圍是________． 解析　由原函數(shù)有零點(diǎn)，可將問題轉(zhuǎn)化為方程ex－2x＋a＝0有解問題，即方程a＝2x－ex有解．令函數(shù)g(x)＝2x－ex，則g′(x)＝2－ex，令g′(x)＝0，得x＝ln 2，所以g(x)在(－∞，ln 2)上是增函數(shù)，在(ln 2，＋∞)上是減函數(shù)，所以g(x)的最大值為：g(ln 2)＝2ln 2－2.因此，a的取值范圍就是函數(shù)g(x)的值域，所以，a∈(－∞，2ln 2－2]． 答案　(－∞，2ln 2－2] 10．若直角坐標(biāo)平面內(nèi)兩點(diǎn)P，Q滿足條件：①P、Q都在函數(shù)f(x)的圖象上；②P、Q關(guān)于原點(diǎn)對稱，則稱點(diǎn)對(P、Q)是函數(shù)f(x)的一個“友好點(diǎn)對”(點(diǎn)對(P、Q)與點(diǎn)對(Q，P)看作同一個“友好點(diǎn)對”)．已知函數(shù)f(x)＝則f(x)的“友好點(diǎn)對”的個數(shù)是________． 解析　設(shè)P(x，y)、Q(－x，－y)(x>0)為函數(shù)f(x)的“友好點(diǎn)對”，則y＝，－y＝2(－x)2＋4(－x)＋1＝2x2－4x＋1，∴＋2x2－4x＋1＝0，在同一坐標(biāo)系中作函數(shù)y1＝、y2＝－2x2＋4x－1的圖象，y1、y2的圖象有兩個交點(diǎn)，所以f(x)有2個“友好點(diǎn)對”，故填2. 答案　2 三、解答題 11．設(shè)函數(shù)f(x)＝(x>0)． (1)作出函數(shù)f(x)的圖象； (2)當(dāng)0<a<b，且f(a)＝f(b)時，求＋的值； (3)若方程f(x)＝m有兩個不相等的正根，求m的取值范圍． 解　(1)如圖所示． (2)∵f(x)＝ ＝ 故f(x)在(0,1]上是減函數(shù)，而在(1，＋∞)上是增函數(shù)， 由0<a<b且f(a)＝f(b)， 得0<a<1<b，且－1＝1－，∴＋＝2. (3)由函數(shù)f(x)的圖象可知，當(dāng)0<m<1時，方程f(x)＝m有兩個不相等的正根． 12．已知函數(shù)f(x)＝4x＋m2x＋1有且僅有一個零點(diǎn)，求m的取值范圍，并求出該零點(diǎn)． 思路分析　由題意可知，方程4x＋m2x＋1＝0僅有一個實(shí)根，再利用換元法求解． 解析　∵f(x)＝4x＋m2x＋1有且僅有一個零點(diǎn)， 即方程(2x)2＋m2x＋1＝0僅有一個實(shí)根． 設(shè)2x＝t(t＞0)，則t2＋mt＋1＝0. 當(dāng)Δ＝0時，即m2－4＝0， ∴m＝－2時，t＝1；m＝2時，t＝－1(不合題意，舍去)， ∴2x＝1，x＝0符合題意． 當(dāng)Δ＞0時，即m＞2或m＜－2時， t2＋mt＋1＝0有兩正或兩負(fù)根， 即f(x)有兩個零點(diǎn)或沒有零點(diǎn)． ∴這種情況不符合題意． 綜上可知：m＝－2時，f(x)有唯一零點(diǎn)，該零點(diǎn)為x＝0. 13．已知二次函數(shù)f(x)＝x2－16x＋q＋3. (1)若函數(shù)在區(qū)間[－1,1]上存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)q的取值范圍； (2)是否存在常數(shù)t(t≥0)，當(dāng)x∈[t,10]時，f(x)的值域?yàn)閰^(qū)間D，且區(qū)間D的長度為12－t(視區(qū)間[a，b]的長度為b－a)． 解　(1)∵函數(shù)f(x)＝x2－16x＋q＋3的對稱軸是x＝8，∴f(x)在區(qū)間[－1,1]上是減函數(shù)． ∵函數(shù)在區(qū)間[－1,1]上存在零點(diǎn)，則必有即∴－20≤q≤12. (2)∵0≤t<10，f(x)在區(qū)間[0,8]上是減函數(shù)，在區(qū)間[8,10]上是增函數(shù)，且對稱軸是x＝8. ①當(dāng)0≤t≤6時，在區(qū)間[t,10]上，f(t)最大，f(8)最小， ∴f(t)－f(8)＝12－t，即t2－15t＋52＝0， 解得t＝，∴t＝； ②當(dāng)6<t≤8時，在區(qū)間[t,10]上，f(10)最大，f(8)最小， ∴f(10)－f(8)＝12－t，解得t＝8； ③當(dāng)8<t<10時，在區(qū)間[t,10]上，f(10)最大，f(t)最小， ∴f(10)－f(t)＝12－t，即t2－17t＋72＝0，解得t＝8,9， ∴t＝9. 綜上可知，存在常數(shù)t＝，8,9滿足條件. 14．已知函數(shù)f(x)＝－x2＋2ex＋m－1，g(x)＝x＋(x>0)． (1)若g(x)＝m有零點(diǎn)，求m的取值范圍； (2)確定m的取值范圍，使得g(x)－f(x)＝0有兩個相異實(shí)根． 解 (1)法一：∵g(x)＝x＋≥2＝2e， 等號成立的條件是x＝e， 故g(x)的值域是[2e，＋∞)， 因而只需m≥2e，則g(x)＝m就有零點(diǎn)． 法二：作出g(x)＝x＋(x>0)的大致圖象如圖： 可知若使g(x)＝m有零點(diǎn)， 則只需m≥2e. 法三：由g(x)＝m得 x2－mx＋e2＝0. 此方程有大于零的根， 故等價于， 故m≥2e. (2)若g(x)－f(x)＝0有兩個相異的實(shí)根，即g(x)與f(x) 的圖象有兩個不同的交點(diǎn)，作出g(x)＝x＋(x>0)的大致圖象． ∵f(x)＝－x2＋2ex＋m－1 ＝－(x－e)2＋m－1＋e2. 其圖象的對稱軸為x＝e，開口向下，最大值為m－1＋e2. 故當(dāng)m－1＋e2>2e， 即m>－e2＋2e＋1時， g(x)與f(x)有兩個交點(diǎn)， 即g(x)－f(x)＝0有兩個相異實(shí)根． ∴m的取值范圍是(－e2＋2e＋1，＋∞)