《高考數(shù)學(xué)浙江理科一輪【第二章】函數(shù)與基本初等函數(shù)I【下】 第二章 2.3》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高考數(shù)學(xué)浙江理科一輪【第二章】函數(shù)與基本初等函數(shù)I【下】 第二章 2.3（14頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 精品資料 2.3　函數(shù)的奇偶性與周期性 1．函數(shù)的奇偶性 奇偶性 定義 圖象特點 偶函數(shù) 如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個x，都有f(－x)＝f(x)，那么函數(shù)f(x)是偶函數(shù) 關(guān)于y軸對稱 奇函數(shù) 如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函數(shù)f(x)是奇函數(shù) 關(guān)于原點對稱 2．周期性 (1)周期函數(shù)：對于函數(shù)y＝f(x)，如果存在一個非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就稱函數(shù)y＝f(x)為周期函數(shù)，稱T為這個函數(shù)的周期．

2、(2)最小正周期：如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期． 1． 判斷下面結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“”) (1)函數(shù)f(x)＝0，x∈(0，＋∞)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)． (　　) (2)若函數(shù)y＝f(x＋a)是偶函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)關(guān)于直線x＝a對稱． (　√　) (3)若函數(shù)y＝f(x＋b)是奇函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)關(guān)于點(b,0)中心對稱． (　√　) (4)若函數(shù)f(x)＝為奇函數(shù)，則a＝2. (　√　) (5)函數(shù)f(x)在定義域上滿足f(x＋a)＝－f(x)，則f(

3、x)是周期為2a(a>0)的周期函數(shù)．(　√　) (6)函數(shù)f(x)為R上的奇函數(shù)，且f(x＋2)＝f(x)，則f(2 014)＝0. (　√　) 2．(2013山東)已知函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，且當(dāng)x>0時，f(x)＝x2＋，則f(－1)等于 (　　) A．－2 B．0 C．1 D．2 答案　A 解析　f(－1)＝－f(1)＝－(1＋1)＝－2. 3． 已知f(x)＝ax2＋bx是定義在[a－1,2a]上的偶函數(shù)，那么a＋b的值是 (　　) A．－ B． C． D．－ 答案　B 解析　依題意b＝0，且2a＝－(a－1)， ∴

4、a＝，則a＋b＝. 4．已知f(x)在R上是奇函數(shù)，且滿足f(x＋4)＝f(x)，當(dāng)x∈(0,2)時，f(x)＝2x2，則f(2 015)等于 (　　) A．－2 B．2 C．－98 D．98 答案　A 解析　∵f(x＋4)＝f(x)， ∴f(x)是以4為周期的周期函數(shù)， ∴f(2 015)＝f(5034＋3)＝f(3)＝f(－1)． 又f(x)為奇函數(shù)， ∴f(－1)＝－f(1)＝－212＝－2，即f(2 015)＝－2. 5．設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，若當(dāng)x∈(0，＋∞)時，f(x)＝lg x，則滿足f(x)>0

5、的x的取值范圍是________． 答案　(－1,0)∪(1，＋∞) 解析　畫草圖，由f(x)為奇函數(shù)知：f(x)>0的x的取值范圍為 (－1,0)∪(1，＋∞). 題型一　判斷函數(shù)的奇偶性 例1　判斷下列函數(shù)的奇偶性： (1)f(x)＝＋； (2)f(x)＝(x＋1) ； (3)f(x)＝. 思維啟迪　確定函數(shù)的奇偶性時，必須先判定函數(shù)定義域是否關(guān)于原點對稱．若對稱，再驗證f(－x)＝f(x)或其等價形式f(－x)f(x)＝0是否成立． 解　(1)由，得x＝3. ∴f(x)的定義域為{－3,3}，關(guān)于原點對稱． 又f(3)＋f(－3)＝0，f(3)－f(－3)

6、＝0. 即f(x)＝f(－x)． ∴f(x)既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)． (2)由，得－1

7、 (1)f(x)＝； (2)f(x)＝. 解　(1)由，得定義域為(－1,0)∪(0,1)， f(x)＝＝－. ∵f(－x)＝－＝－＝－f(x)． ∴f(x)為奇函數(shù)． (2)f(x)的定義域為R，關(guān)于原點對稱， 當(dāng)x>0時，f(－x)＝－(－x)2－2＝－(x2＋2)＝－f(x)； 當(dāng)x<0時，f(－x)＝(－x)2＋2＝－(－x2－2)＝－f(x)； 當(dāng)x＝0時，f(0)＝0，也滿足f(－x)＝－f(x)． 故該函數(shù)為奇函數(shù)． 題型二　函數(shù)周期性的應(yīng)用 例2　(1)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x＋6)＝f(x)，當(dāng)－3≤x<－1時，f(x)＝－(x＋2)2；當(dāng)

8、－1≤x<3時，f(x)＝x.則f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 015)等于 (　　) A．335 B．336 C．1 678 D．2 012 (2)已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，并且f(x＋2)＝－，當(dāng)2≤x≤3時，f(x)＝x，則f(105.5)＝________. 思維啟迪　(1)f(x)的周期性已知，可以通過一個周期內(nèi)函數(shù)值的變化情況求和．(2)通過題意先確定函數(shù)的周期性． 答案　(1)B　(2)2.5 解析　(1)利用函數(shù)的周期性和函數(shù)值的求法求解． ∵f(x＋6)＝f(x)，∴T＝6. ∵當(dāng)－3≤x<－1時，f(x)＝－(x＋2

9、)2； 當(dāng)－1≤x<3時，f(x)＝x， ∴f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝f(－3)＝－1，f(4)＝f(－2)＝0，f(5)＝f(－1)＝－1，f(6)＝f(0)＝0， ∴f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝1， ∴f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝f(7)＋f(8)＋…＋f(12)＝…＝f(2 005)＋f(2 006)＋…＋f(2 010)＝1， ∴f(1)＋f(2)＋…＋f(2 010)＝1＝335. 而f(2 011)＋f(2 012)＋f(2 013)＋f(2 014)＋f(2 015) ＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＝1＋2－1＋0－1＝1

10、. ∴f(1)＋f(2)＋…＋f(2 015)＝335＋1＝336. (2)由已知，可得f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2] ＝－＝－＝f(x)． 故函數(shù)的周期為4. ∴f(105.5)＝f(427－2.5)＝f(－2.5)＝f(2.5)． ∵2≤2.5≤3，由題意，得f(2.5)＝2.5. ∴f(105.5)＝2.5. 思維升華　(1)函數(shù)的周期性反映了函數(shù)在整個定義域上的性質(zhì)．對函數(shù)周期性的考查，主要涉及函數(shù)周期性的判斷，利用函數(shù)周期性求值． (2)求函數(shù)周期的方法 　(1)若f(x)是R上周期為5的奇函數(shù)，且滿足f(1)＝1，f(2)＝2，則f(3)－f(4)等于

11、 (　　) A．－1 B．1 C．－2 D．2 (2)設(shè)f(x)是周期為2的奇函數(shù)，當(dāng)0≤x≤1時，f(x)＝2x(1－x)，則f等于 (　　) A．－ B．－ C． D． 答案　(1)A　(2)A 解析　(1)由f(x)是R上周期為5的奇函數(shù)知 f(3)＝f(－2)＝－f(2)＝－2， f(4)＝f(－1)＝－f(1)＝－1， ∴f(3)－f(4)＝－1，故選A. (2)∵f(x)是周期為2的奇函數(shù)， ∴f＝f＝f＝－f ＝－2＝－. 題型三　函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用 例3　設(shè)f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函

12、數(shù)，f(x＋2)＝－f(x)，當(dāng)0≤x≤1時，f(x)＝x. (1)求f(π)的值； (2)當(dāng)－4≤x≤4時，求f(x)的圖象與x軸所圍成圖形的面積； (3)寫出(－∞，＋∞)內(nèi)函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間． 思維啟迪　可以先確定函數(shù)的周期性，求f(π)；然后根據(jù)函數(shù)圖象的對稱性、周期性畫出函數(shù)圖象，求圖形面積、寫單調(diào)區(qū)間． 解　(1)由f(x＋2)＝－f(x)得， f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)， 所以f(x)是以4為周期的周期函數(shù)， ∴f(π)＝f(－14＋π)＝f(π－4)＝－f(4－π) ＝－(4－π)＝π－4. (2)由f(x)是奇函數(shù)與f

13、(x＋2)＝－f(x)， 得：f[(x－1)＋2]＝－f(x－1)＝f[－(x－1)]， 即f(1＋x)＝f(1－x)． 故知函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱． 又當(dāng)0≤x≤1時，f(x)＝x，且f(x)的圖象關(guān)于原點成中心對稱，則f(x)的圖象如圖所示． 當(dāng)－4≤x≤4時，f(x)的圖象與x軸圍成的圖形面積為S， 則S＝4S△OAB＝4＝4. (3)函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[4k－1,4k＋1] (k∈Z)， 單調(diào)遞減區(qū)間為[4k＋1,4k＋3] (k∈Z)． 思維升華　關(guān)于奇偶性、單調(diào)性、周期性的綜合性問題，關(guān)鍵是利用奇偶性和周期性將未知區(qū)間上的問題轉(zhuǎn)化為

14、已知區(qū)間上的問題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想． 　(1)已知偶函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，＋∞)上單調(diào)遞增，則滿足f(2x－1)

15、有f(2x－1)

16、已知函數(shù)f(x)＝則滿足不等式f(1－x2)>f(2x)的x的取值范圍是_____． 易錯分析　(1)解題中忽視函數(shù)f(x)的定義域，直接通過計算f(0)＝0得k＝1. (2)本題易出現(xiàn)以下錯誤 由f(1－x2)>f(2x)得1－x2>2x，忽視了1－x2>0導(dǎo)致解答失誤． 規(guī)范解答 解析　(1)∵f(－x)＝＝， ∴f(－x)＋f(x)＝ ＝. 由f(－x)＋f(x)＝0可得k2＝1，∴k＝1. (2)畫出f(x)＝的圖象， 由圖象可知，若f(1－x2)>f(2x)， 則 即 得x∈(－1，－1)． 答案　(1)1　(2)(－1，－1) 溫馨提醒　(1)已知函數(shù)

17、的奇偶性，利用特殊值確定參數(shù)，要注意函數(shù)的定義域． (2)解決分段函數(shù)的單調(diào)性問題時，應(yīng)高度關(guān)注： ①抓住對變量所在區(qū)間的討論． ②保證各段上同增(減)時，要注意左、右段端點值間的大小關(guān)系． ③弄清最終結(jié)果取并還是交． 方法與技巧 1．正確理解奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義，必須把握好兩個問題： (1)定義域在數(shù)軸上關(guān)于原點對稱是函數(shù)f(x)為奇函數(shù)或偶函數(shù)的必要非充分條件； (2)f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)是定義域上的恒等式． 2．奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，反之也成立．利用這一性質(zhì)可簡化一些函數(shù)圖象的畫法，也可以利用它去判斷函數(shù)的奇偶性

18、． 3．若對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任一個自變量的值x都有f(x＋a)＝－f(x)或f(x＋a)＝或f(x＋a)＝－(a是常數(shù)且a≠0)，則f(x)是一個周期為2a的周期函數(shù)． 失誤與防范 1．判斷函數(shù)的奇偶性，首先應(yīng)該判斷函數(shù)定義域是否關(guān)于原點對稱．定義域關(guān)于原點對稱是函數(shù)具有奇偶性的一個必要條件． 2．判斷函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，必須對定義域內(nèi)的每一個x，均有f(－x)＝－f(x)，而不能說存在x0使f(－x0)＝－f(x0)．對于偶函數(shù)的判斷以此類推． 3．分段函數(shù)奇偶性判定時，要以整體的觀點進(jìn)行判斷，不可以利用函數(shù)在定義域某一區(qū)間上不是奇偶函數(shù)而否定函數(shù)在整個定義域上的奇偶性．

19、  A組　專項基礎(chǔ)訓(xùn)練 (時間：40分鐘) 一、選擇題 1．(2013廣東)定義域為R的四個函數(shù)y＝x3，y＝2x，y＝x2＋1，y＝2sin x中，奇函數(shù)的個數(shù)是 (　　) A．4 B．3 C．2 D．1 答案　C 解析　由奇函數(shù)的定義可知y＝x3，y＝2sin x為奇函數(shù)． 2． 設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≤0時，f(x)＝2x2－x，則f(1)等于 (　　) A．－3 B．－1 C．1 D．3 答案　A 解析　∵f(x)是奇函數(shù)，當(dāng)x≤0時，f(x)＝2x2－x， ∴f(1)＝－f(－

20、1)＝－[2(－1)2－(－1)]＝－3. 3．定義在R上的偶函數(shù)f(x)，對任意x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，有<0，則(　　) A．f(3)2>1， ∴f(3)

21、 B．偶函數(shù) C．既奇又偶函數(shù) D．非奇非偶函數(shù) 答案　A 解析　因為2x＝，x?2＝， 所以f(x)＝＝＝， 該函數(shù)的定義域是[－2,0)∪(0,2]， 且滿足f(－x)＝－f(x)． 故函數(shù)f(x)是奇函數(shù)． 5． 已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)和偶函數(shù)g(x)滿足f(x)＋g(x)＝ax－a－x＋2(a>0，且a≠1)．若g(2)＝a，則f(2)等于 (　　) A．2 B． C． D．a(chǎn)2 答案　B 解析　∵f(x)為奇函數(shù)，g(x)為偶函數(shù)， ∴f(－2)＝－f(2)，g(－2)＝g(2)＝a

22、， ∵f(2)＋g(2)＝a2－a－2＋2， ① ∴f(－2)＋g(－2)＝g(2)－f(2)＝a－2－a2＋2， ② 由①、②聯(lián)立，g(2)＝a＝2，f(2)＝a2－a－2＝. 二、填空題 6．函數(shù)f(x)在R上為奇函數(shù)，且x>0時，f(x)＝＋1，則當(dāng)x<0時，f(x)＝________. 答案?。? 解析　∵f(x)為奇函數(shù)，x>0時，f(x)＝＋1， ∴當(dāng)x<0時，－x>0， f(x)＝－f(－x)＝－(＋1)， 即x<0時，f(x)＝－(＋1)＝－－1. 7．若函數(shù)f(x)＝x2－|x＋a|為偶函數(shù)，則實數(shù)a＝_____

23、___. 答案　0 解析　∵函數(shù)f(x)＝x2－|x＋a|為偶函數(shù)，∴f(－x)＝f(x)，即(－x)2－|－x＋a|＝x2－|x＋a|，∴|－x＋a|＝|x＋a|，∴a＝0. 8． 已知函數(shù)f(x)滿足：f(1)＝，4f(x)f(y)＝f(x＋y)＋f(x－y)(x，y∈R)，則f(2 015)＝________. 答案　 解析　方法一　令x＝1，y＝0時，4f(1)f(0)＝f(1)＋f(1)， 解得f(0)＝， 令x＝1，y＝1時，4f(1)f(1)＝f(2)＋f(0)， 解得f(2)＝－， 令x＝2，y＝1時，4f(2)f(1)＝f(3)＋f(1)， 解得f(3)＝

24、－， 依次求得f(4)＝－，f(5)＝，f(6)＝，f(7)＝， f(8)＝－，f(9)＝－，… 可知f(x)是以6為周期的函數(shù)， ∴f(2 015)＝f(3356＋5)＝f(5)＝. 方法二　∵f(1)＝，4f(x)f(y)＝f(x＋y)＋f(x－y)， ∴構(gòu)造符合題意的函數(shù)f(x)＝cos x， ∴f(2 015)＝cos＝. 三、解答題 9．已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且它的圖象關(guān)于直線x＝1對稱． (1)求證：f(x)是周期為4的周期函數(shù)； (2)若f(x)＝ (0

25、圖象關(guān)于直線x＝1對稱， 有f(x＋1)＝f(1－x)，即有f(－x)＝f(x＋2)． 又函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)， 故有f(－x)＝－f(x)．故f(x＋2)＝－f(x)． 從而f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)， 即f(x)是周期為4的周期函數(shù)． (2)解　由函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，有f(0)＝0. x∈[－1,0)時，－x∈(0,1]，f(x)＝－f(－x)＝－. 故x∈[－1,0]時，f(x)＝－. x∈[－5，－4]時，x＋4∈[－1,0]， f(x)＝f(x＋4)＝－. 從而，x∈[－5，－4]時，函數(shù)f(x)＝－. 10．已知函數(shù)f(

26、x)＝是奇函數(shù)． (1)求實數(shù)m的值； (2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[－1，a－2]上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍． 解　(1)設(shè)x<0，則－x>0， 所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x. 又f(x)為奇函數(shù)，所以f(－x)＝－f(x)， 于是x<0時，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx， 所以m＝2. (2)由(1)知f(x)在[－1,1]上是增函數(shù)， 要使f(x)在[－1，a－2]上單調(diào)遞增． 結(jié)合f(x)的圖象知 所以1

27、(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且g(x)＝f(x－1)，則f(2 013)＋f(2 015)的值為 (　　) A．－1 B．1 C．0 D．無法計算 答案　C 解析　由題意，得g(－x)＝f(－x－1)， 又∵f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，g(x)是定義在R上的奇函數(shù)，∴g(－x)＝－g(x)，f(－x)＝f(x)， ∴f(x－1)＝－f(x＋1)， ∴f(x)＝－f(x＋2)，∴f(x)＝f(x＋4)， ∴f(x)的周期為4， ∴f(2 013)＝f(1)，f(2 015)＝f(3)＝f(－1)， 又∵f(1)＝f(－1)＝g(0)

28、＝0， ∴f(2 013)＋f(2 015)＝0. 2． 設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x≥0時，f(x)＝x2.若對任意的x∈[a，a＋2]，不等式f(x＋a)≥f(x)恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是 (　　) A．a(chǎn)≤0 B．a(chǎn)≥ C．a(chǎn)≤ D．a(chǎn)≥0 答案　B 解析　f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x≥0時，f(x)＝x2， 則當(dāng)x<0時，f(x)＝－x2. 即f(x)＝ 即函數(shù)f(x)是R上的增函數(shù)(可通過圖象直觀呈現(xiàn))． 由此f(x＋a)≥f(x)在x∈[a，a＋2]上恒成立?x＋a≥x在x∈[a，a＋2]上恒成立． 則

29、x≤(＋1)a，從而a＋2≤(＋1)a，解得a≥. 3． 設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且對任意的x∈R恒有f(x＋1)＝f(x－1)，已知當(dāng)x∈[0,1]時，f(x)＝2x，則有 ①2是函數(shù)f(x)的周期； ②函數(shù)f(x)在(1,2)上是減函數(shù)，在(2,3)上是增函數(shù)； ③函數(shù)f(x)的最大值是1，最小值是0. 其中所有正確命題的序號是________． 答案　①② 解析　在f(x＋1)＝f(x－1)中，令x－1＝t，則有f(t＋2)＝f(t)， 因此2是函數(shù)f(x)的周期，故①正確； 當(dāng)x∈[0,1]時，f(x)＝2x是增函數(shù)， 則f(x)在[－1,0]上是減函數(shù)

30、， 根據(jù)函數(shù)的周期性知，函數(shù)f(x)在(1,2)上是減函數(shù)， 在(2,3)上是增函數(shù)，故②正確； 在區(qū)間[－1,1]上，f(x)的最大值為f(1)＝f(－1)＝2， f(x)的最小值為f(0)＝1，故③錯誤． 4． 函數(shù)f(x)的定義域為D＝{x|x≠0}，且滿足對于任意x1，x2∈D，有f(x1x2)＝f(x1)＋f(x2)． (1)求f(1)的值； (2)判斷f(x)的奇偶性并證明你的結(jié)論； (3)如果f(4)＝1，f(x－1)<2，且f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)，求x的取值范圍． 解　(1)∵對于任意x1，x2∈D， 有f(x1x2)＝f(x1)＋f(x2)，

31、∴令x1＝x2＝1，得f(1)＝2f(1)，∴f(1)＝0. (2)令x1＝x2＝－1，有f(1)＝f(－1)＋f(－1)， ∴f(－1)＝f(1)＝0. 令x1＝－1，x2＝x有f(－x)＝f(－1)＋f(x)， ∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)為偶函數(shù)． (3)依題設(shè)有f(44)＝f(4)＋f(4)＝2， 由(2)知，f(x)是偶函數(shù)， ∴f(x－1)<2?f(|x－1|)

32、＋∞)上滿足f(2－x)＝f(2＋x)，f(7－x)＝f(7＋x)，且在閉區(qū)間[0,7]上只有f(1)＝f(3)＝0. (1)試判斷函數(shù)y＝f(x)的奇偶性； (2)試求方程f(x)＝0在閉區(qū)間[－2 005,2 005]上的根的個數(shù)，并證明你的結(jié)論． 解　(1)∵f(1)＝0，且f(x)在[0,7]上只有f(1)＝f(3)＝0， 又∵f(2－x)＝f(2＋x)，令x＝－3，f(－1)＝f(5)≠0， ∴f(－1)≠f(1)，且f(－1)≠－f(1)． ∴f(x)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)． (2)f(10＋x)＝f[2＋8＋x]＝f[2－(8＋x)] ＝f(－6－x)＝f[7－(13＋x)]＝f[7＋13＋x] ＝f(20＋x)， ∴f(x)以10為周期． 又f(x)的圖象關(guān)于x＝7對稱知，f(x)＝0在(0,10)上有兩個根， 則f(x)＝0在(0,2 005]上有2012＝402個根； 在[－2 005,0]上有2002＝400個根； 因此f(x)＝0在閉區(qū)間上共有802個根．