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1、 精品資料 4.4　平面向量的應用 1． 向量在平面幾何中的應用 平面向量在平面幾何中的應用主要是用向量的線性運算及數(shù)量積解決平面幾何中的平行、垂直、平移、全等、相似、長度、夾角等問題． (1)證明線段平行或點共線問題，包括相似問題，常用共線向量定理：a∥b?a＝λb(b≠0)?x1y2－x2y1＝0. (2)證明垂直問題，常用數(shù)量積的運算性質(zhì) a⊥b?ab＝0?x1x2＋y1y2＝0. (3)求夾角問題，利用夾角公式 cos θ＝＝ (θ為a與b的夾角)． 2． 平面向量在物理中的應用 (1)由于物理學中的力、

2、速度、位移都是矢量，它們的分解與合成與向量的加法和減法相似，可以用向量的知識來解決． (2)物理學中的功是一個標量，這是力F與位移s的數(shù)量積．即W＝Fs＝|F||s|cos θ (θ為F與s的夾角)． 3． 平面向量與其他數(shù)學知識的交匯 平面向量作為一個運算工具，經(jīng)常與函數(shù)、不等式、三角函數(shù)、數(shù)列、解析幾何等知識結合，當平面向量給出的形式中含有未知數(shù)時，由向量平行或垂直的充要條件可以得到關于該未知數(shù)的關系式．在此基礎上，可以求解有關函數(shù)、不等式、三角函數(shù)、數(shù)列的綜合問題． 此類問題的解題思路是轉(zhuǎn)化為代數(shù)運算，其轉(zhuǎn)化途徑主要有兩種：一是利用平面向量平行或垂直的充要條件；二是利用向量數(shù)量積

3、的公式和性質(zhì)． 1． 判斷下面結論是否正確(請在括號中打“√”或“”) (1)若∥，則A，B，C三點共線． (　√　) (2)解析幾何中的坐標、直線平行、垂直、長度等問題都可以用向量解決． (　√　) (3)實現(xiàn)平面向量與三角函數(shù)、平面向量與解析幾何之間的轉(zhuǎn)化的主要手段是向量的坐標 運算． (　√　) (4)在△ABC中，若<0，則△ABC為鈍角三角形． (　　) (5)作用于同一點的兩個力F1和F2的夾角為，且|F1|＝3，|F2|＝5，則F1＋F2的大小為. (　√　) (6)已知平面直

4、角坐標系內(nèi)有三個定點A(－2，－1)，B(0,10)，C(8,0)，若動點P滿足：＝＋t(＋)，t∈R，則點P的軌跡方程是x－y＋1＝0. (　√　) 2． (2013福建)在四邊形ABCD中，＝(1,2)，＝(－4,2)，則該四邊形的面積為(　　) A. B．2 C．5 D．10 答案　C 解析　因為＝0， ∴AC⊥BD. ∴四邊形ABCD的面積S＝|||| ＝2＝5. 3． 已知a，b，c為△ABC的三個內(nèi)角A，B，C的對邊，向量m＝(，－1)，n＝(cos A，sin A)．若m⊥n，且acos B＋bcos A＝csin C，則角A，B的大小分別

5、為 (　　) A.， B.， C.， D.， 答案　C 解析　由m⊥n得mn＝0，即cos A－sin A＝0， 即2cos＝0， ∵

6、0)． 5． 河水的流速為2 m/s，一艘小船想以垂直于河岸方向10 m/s的速度駛向?qū)Π叮瑒t小船的靜水速度大小為________． 答案　2 m/s 解析　如圖所示小船在靜水中的速度為 ＝2 m/s. 題型一　平面向量在平面幾何中的應用 例1　如圖所示，四邊形ABCD是正方形，P是對角線DB上的一點(不包 括端點)，E，F(xiàn)分別在邊BC，DC上，且四邊形PFCE是矩形，試用 向量法證明：PA＝EF. 思維啟迪　正方形中有垂直關系，因此考慮建立平面直角坐標系，求 出所求線段對應的向量，根據(jù)向量知識證明． 證明　建立如圖所示的平面直角坐標系，設正方形的邊長為1，DP ＝

7、λ(0<λ<)， 則A(0,1)，P(λ，λ)， E(1，λ)，F(xiàn)(λ，0)， ∴＝(－λ，1－λ)，＝(λ－1，－λ)， ∴||＝ ＝， ||＝ ＝， ∴||＝||，即PA＝EF. 思維升華　用向量方法解決平面幾何問題可分三步： (1)建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題； (2)通過向量運算，研究幾何元素之間的關系，如距離、夾角等問題； (3)把運算結果“翻譯”成幾何關系． 　(1)平面上O，A，B三點不共線，設＝a，＝b，則△OAB的面積等于 (　　) A. B. C. D. (2)在△ABC中，已知向量

8、與滿足＝0且＝，則△ABC為 (　　) A．等邊三角形 B．直角三角形 C．等腰非等邊三角形 D．三邊均不相等的三角形 答案　(1)C　(2)A 解析　(1)∵cos∠BOA＝， 則sin∠BOA＝ ， ∴S△OAB＝|a||b| ＝. (2)因為非零向量與滿足＝0，所以∠BAC的平分線垂直于BC，所以AB＝AC. 又cos∠BAC＝＝，所以∠BAC＝. 所以△ABC為等邊三角形． 題型二　平面向量在三角函數(shù)中的應用 例2　已知在銳角△ABC中，兩向量p＝(2－2sin A，cos A＋sin A)，q＝(sin A－cos A,1＋sin

9、A)，且p與q是共線向量． (1)求A的大??； (2)求函數(shù)y＝2sin2B＋cos取最大值時，B的大小． 思維啟迪　向量與三角函數(shù)的結合往往是簡單的組合．如本題中的條件通過向量給出，根據(jù)向量的平行得到一個等式．因此這種題目較為簡單． 解　(1)∵p∥q， ∴(2－2sin A)(1＋sin A)－(cos A＋sin A)(sin A－cos A)＝0， ∴sin2A＝，sin A＝， ∵△ABC為銳角三角形，∴A＝60. (2)y＝2sin2B＋cos ＝2sin2B＋cos ＝2sin2B＋cos(2B－60) ＝1－cos 2B＋cos(2B－60) ＝1－co

10、s 2B＋cos 2Bcos 60＋sin 2Bsin 60 ＝1－cos 2B＋sin 2B＝1＋sin(2B－30)， 當2B－30＝90，即B＝60時，函數(shù)取最大值2. 思維升華　解決平面向量與三角函數(shù)的交匯問題的關鍵，準確利用向量的坐標運算化簡已知條件，將其轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)中的有關問題解決． 　△ABC的三個內(nèi)角A，B，C所對的邊長分別是a，b，c，設向量m＝(a＋b，sin C)，n＝(a＋c，sin B－sin A)，若m∥n，則角B的大小為________． 答案　 解析　∵m∥n，∴(a＋b)(sin B－sin A)－sin C(a＋c)＝0，又∵＝＝， 則化簡得

11、a2＋c2－b2＝－ac， ∴cos B＝＝－，∵0

12、上，其方程為＋＝1. (2)∵＝＋，＝＋， 又＋＝0. ∴＝2－2 ＝x2＋(y－1)2－1 ＝16(1－)＋(y－1)2－1 ＝－y2－2y＋16 ＝－(y＋3)2＋19. ∵－2≤y≤2. ∴當y＝－3時，的最大值為19， 當y＝2時，的最小值為12－4. 綜上：的最大值為19； 的最小值為12－4. 思維升華　平面向量與平面解析幾何交匯的題目，涉及向量數(shù)量積的基本運算，數(shù)量積的求解以及軌跡、直線和圓、直線和橢圓中最值等問題，解決此類問題應從向量的坐標運算入手，這也是解決解析幾何問題的基本方法——坐標法． 　已知點P(0，－3)，點A在x軸上，點Q在y軸的正半軸

13、上，點M滿足＝0，＝－，當點A在x軸上移動時，求動點M的軌跡方程． 解　設M(x，y)為所求軌跡上任一點， 設A(a,0)，Q(0，b)(b>0)， 則＝(a,3)， ＝(x－a，y)，＝(－x，b－y)， 由＝0，得a(x－a)＋3y＝0. ① 由＝－， 得(x－a，y)＝－(－x，b－y) ＝(x，(y－b))， ∴∴ 把a＝－代入①，得－(x＋)＋3y＝0， 整理得y＝x2(x≠0)． 題型四　平面向量在物理中的應用 例4　在長江南岸渡口處，江水以 km/h的速度向東流，渡船的速度為25 km/h.渡船要垂直地渡過長江，則航向為_______

14、_． 思維啟迪　題中涉及的三個速度(向量)：江水速度、渡船的速度、船實際過江的速度，三個速度的關系是本題的核心． 答案　北偏西30 解析　如圖所示，渡船速度為，水流速度為， 船實際垂直過江的速度為， 依題意知||＝，||＝25. ∵＝＋，∴＝＋2， ∵⊥，∴＝0， ∴25cos(∠BOD＋90)＋()2＝0， ∴cos(∠BOD＋90)＝－，∴sin∠BOD＝， ∴∠BOD＝30，∴航向為北偏西30. 思維升華　在使用向量解決物理問題時要注意： (1)認真分析物理問題，深刻把握物理量之間的相互關系； (2)通過抽象、概括，把物理問題轉(zhuǎn)化為與之相關的向量問題； (3)

15、利用向量知識解決這個向量問題，并獲得這個向量的解； (4)利用這個結果，對原物理現(xiàn)象作出合理解釋，即用向量知識圓滿解決物理問題． 　質(zhì)點受到平面上的三個力F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3(單位：牛頓)的作用而處于平衡狀態(tài)，已知F1，F(xiàn)2成60角，且F1，F(xiàn)2的大小分別為2和4，則F3的大小為________． 答案　2 解析　方法一　由已知條件F1＋F2＋F3＝0， 則F3＝－F1－F2，F(xiàn)＝F＋F＋2|F1||F2|cos 60＝28. 因此，|F3|＝2. 方法二　如圖，||2＝|F1|2＋ |F2|2－2|F1||F2|cos 60＝12， 則||2＋||2＝||2， 即∠OF1F2

16、為直角， |F3|＝2 ＝2. 高考中以向量為背景的創(chuàng)新題 典例：(1)(5分)對任意兩個非零的平面向量α和β，定義α°β＝.若兩個非零的平面向量a，b滿足a與b的夾角θ∈(，)，且a°b和b°a都在集合{|n∈Z}中，則a°b等于(　　) A. B. C．1 D. 思維啟迪　先根據(jù)定義表示出a°b和b°a，利用其屬于集合{|n∈Z}，將其表示成集合中元素的形式，兩式相乘即可表示出cos θ，然后利用θ∈(，)確定cos θ的取值范圍，結合集合中n∈Z的限制條件即可確定n的值，從而求出a°b的值． 解析　根據(jù)新定義，得a°b＝＝＝cos θ，b°a＝＝

17、＝cos θ. 又因為a°b和b°a都在集合{|n∈Z}中，設a°b＝，b°a＝(n1，n2∈Z)，那么(a°b)(b°a)＝cos2θ＝， 又θ∈(，)，所以0

18、(x)的解析式． 解析　設Q(c，d)，由新的運算可得 ＝m?＋n＝(2x，sin x)＋(，0) ＝(2x＋，sin x)， 由消去x得d＝sin(c－)， 所以y＝f(x)＝sin(x－)， 易知y＝f(x)的值域是. 答案　 溫馨提醒　解答創(chuàng)新型問題，首先需要分析新定義的特點，把新定義所敘述的問題的本質(zhì)弄清楚，然后應用到具體的解題過程之中，這是破解新定義信息題難點的關鍵所在． 方法與技巧 1． 向量的坐標運算將向量與代數(shù)有機結合起來，這就為向量和函數(shù)的結合提供了前提，運用向量的有關知識可以解決某些函數(shù)問題． 2． 以向量為載體求相關變量的取值范圍，是向量與函數(shù)、

19、不等式、三角函數(shù)等相結合的一類綜合問題．通過向量的坐標運算，將問題轉(zhuǎn)化為解不等式或求函數(shù)值域，是解決這類問題的一般方法． 3． 向量的兩個作用：①載體作用：關鍵是利用向量的意義、作用脫去“向量外衣”，轉(zhuǎn)化為我們熟悉的數(shù)學問題；②工具作用：利用向量可解決一些垂直、平行、夾角與距離問題． 失誤與防范 1． 注意向量夾角和三角形內(nèi)角的關系，兩者并不等價． 2． 注意向量共線和兩直線平行的關系；兩向量a，b夾角為銳角和ab>0不等價． A組　專項基礎訓練 (時間：40分鐘) 一、選擇題 1． 已知P是△ABC所在平面內(nèi)一點，若＝λ＋，其中λ∈R，則點P一定在(　　) A．△ABC

20、的內(nèi)部 B．AC邊所在直線上 C．AB邊所在直線上 D．BC邊所在直線上 答案　B 解析　由題意知：－＝λ， 即＋＝λ，∴＝λ，即與共線， ∴點P在AC邊所在直線上． 2． 在△ABC中，(＋)＝||2，則△ABC的形狀一定是 (　　) A．等邊三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 答案　C 解析　由(＋)＝||2， 得(＋－)＝0， 即(＋＋)＝0,2＝0， ∴⊥，∴A＝90. 又根據(jù)已知條件不能得到||＝||， 故△ABC一定是直角三角形． 3． 已知|a|＝2|b|，|b|≠0且關于x

21、的方程x2＋|a|x－ab＝0有兩相等實根，則向量a與b的夾角是 (　　) A．－ B．－ C. D. 答案　D 解析　由已知可得Δ＝|a|2＋4ab＝0， 即4|b|2＋42|b||b|cos θ＝0， ∴cos θ＝－，又∵0≤θ≤π，∴θ＝. 4． 已知點A(－2,0)、B(3,0)，動點P(x，y)滿足＝x2，則點P的軌跡是 (　　) A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線 答案　D 解析　＝(－2－x，－y)，＝(3－x，－y)， ∴＝(－2－x)(3－x)＋y2＝x2，∴y2＝x＋6. 5．

22、 若函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)在一個周期內(nèi)的圖象如圖所 示，M，N分別是這段圖象的最高點和最低點，且＝0(O為坐標 原點)，則A等于 (　　) A. B.π C.π D.π 答案　B 解析　由題意知M(，A)，N(π，－A)， 又＝π－A2＝0， ∴A＝π. 二、填空題 6． (2013天津)在平行四邊形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60，E為CD的中點．若＝1，則AB的長為________． 答案　 解析　在平行四邊形ABCD中，取AB的中點F，則＝， ∴＝＝－，又＝＋， ∴＝(＋)(－)

23、＝2－＋－2 ＝||2＋||||cos 60－||2 ＝1＋||－||2＝1. ∴||＝0，又||≠0，∴||＝. 7． 已知三個力f1＝(－2，－1)，f2＝(－3,2)，f3＝(4，－3)同時作用于某物體上一點，為使物體保持平衡，再加上一個力f4，則f4＝________. 答案　(1,2) 解析　由物理知識知：f1＋f2＋f3＋f4＝0， 故f4＝－(f1＋f2＋f3)＝(1,2)． 8． 已知在平面直角坐標系中，O(0,0)，M(1,1)，N(0,1)，Q(2,3)，動點P(x，y)滿足不等式0≤≤1,0≤≤1，則z＝的最大值為________． 答案　3 解析　＝

24、(x，y)，＝(1,1)，＝(0,1)， ∴＝x＋y，＝y(tǒng)， 即在條件下，求z＝2x＋3y的最大值，由線性規(guī)劃知識，當x＝0，y＝1時，zmax＝3. 三、解答題 9． 已知△ABC中，∠C是直角，CA＝CB，D是CB的中點，E是AB上一點，且AE＝2EB，求證：AD⊥CE. 證明　建立如圖所示的直角坐標系， 設A(a,0)，則B(0，a)，E(x，y)． ∵D是BC的中點，∴D(0，)． 又∵＝2，即(x－a，y)＝2(－x，a－y)， ∴解得x＝，y＝a. ∵＝(0，)－(a,0)＝(－a，)， ＝＝(，a)， ∴＝－a＋a ＝－a2＋a2＝0. ∴⊥，即AD⊥

25、CE. 10．已知A，B，C三點的坐標分別為A(3,0)，B(0,3)，C(cos α，sin α)，其α∈(，)． (1)若||＝||，求角α的值． (2)若＝－1，求tan(α＋)的值． 解　(1)∵＝(cos α－3，sin α)， ＝(cos α，sin α－3)， ∴||＝ ＝， ||＝. 由||＝||得sin α＝cos α， 又α∈(，)，∴α＝π. (2)由＝－1， 得(cos α－3)cos α＋sin α(sin α－3)＝－1， ∴sin α＋cos α＝，∴sin(α＋)＝>0. 由于<α<， ∴<α＋<π，∴cos(α＋)＝－. 故ta

26、n(α＋)＝－. B組　專項能力提升 (時間：30分鐘) 1． (2013浙江)設△ABC，P0是邊AB上一定點，滿足P0B＝AB，且對于邊AB上任一點P，恒有≥，則 (　　) A．∠ABC＝90 B．∠BAC＝90 C．AB＝AC D．AC＝BC 答案　D 解析　設BC中點為M， 則＝2－2 ＝2－2， 同理＝2－2， ∵≥恒成立， ∴||≥||恒成立． 即P0M⊥AB， 取AB的中點N，又P0B＝AB， 則CN⊥AB，∴AC＝BC.故選D. 2． 已知在△ABC中，＝a，＝b，ab<0，S△ABC＝，|a|＝3，|

27、b|＝5，則∠BAC＝________. 答案　150 解析　∵<0，∴∠BAC為鈍角， 又S△ABC＝|a||b|sin∠BAC＝. ∴sin∠BAC＝，∴∠BAC＝150. 3． 已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的動點，則|＋3|的最小值為________． 答案　5 解析　方法一　以D為原點，分別以DA、DC所在直線為x、y軸建立 如圖所示的平面直角坐標系，設DC＝a，DP＝x. ∴D(0,0)，A(2,0)，C(0，a)，B(1，a)，P(0，x)， ＝(2，－x)，＝(1，a－x)， ∴＋3＝(5,3a－4x)

28、， |＋3|2＝25＋(3a－4x)2≥25， ∴|＋3|的最小值為5. 方法二　設＝x(0

29、OC＝. 又因為∠AOB＝，所以與的夾角為. (2)＝(cos α－2，sin α)，＝(cos α，sin α－2)． 因為⊥，所以＝0， 所以cos α＋sin α＝， ① 所以(cos α＋sin α)2＝，所以2sin αcos α＝－. 又因為α∈(0，π)，所以α∈(，π)． 因為(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝，cos α－sin α<0， 所以cos α－sin α＝－. ② 由①②得cos α＝，sin α＝， 所以tan α＝－. 5． 如圖所示，已知點F(1,0)，直線l：x

30、＝－1，P為平面上的一動點， 過P作直線l的垂線，垂足為點Q，且＝. (1)求動點P的軌跡C的方程； (2)過點F的直線交軌跡C于A、B兩點，交直線l于點M.已知 ＝λ1，＝λ2，求λ1＋λ2的值． 解　(1)設點P(x，y)，則Q(－1，y)， 由＝，得 (x＋1,0)(2，－y)＝(x－1，y)(－2，y)，化簡得P的軌跡C的方程為y2＝4x. (2)設直線AB的方程為x＝my＋1(m≠0)． 設A(x1，y1)，B(x2，y2)，又M(－1，－)， 聯(lián)立方程消去x，得 y2－4my－4＝0，Δ＝(－4m)2＋16>0， 故 由＝λ1，＝λ2，得 y1＋＝－λ1y1，y2＋＝－λ2y2，整理，得 λ1＝－1－，λ2＝－1－， 所以λ1＋λ2＝－2－(＋)＝－2－ ＝－2－＝0.