精品資料 4.3　平面向量的數(shù)量積 1． 平面向量的數(shù)量積 已知兩個(gè)非零向量a和b，它們的夾角為θ，則數(shù)量|a||b|cos θ叫做a和b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作ab＝|a||b|cos θ. 規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為_(kāi)_0__. 兩個(gè)非零向量a與b垂直的充要條件是ab＝0，兩個(gè)非零向量a與b平行的充要條件是ab＝|a||b|. 2． 平面向量數(shù)量積的幾何意義 數(shù)量積ab等于a的長(zhǎng)度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘積． 3． 平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì) (1)ea＝ae＝|a|cos θ； (2)非零向量a，b，a⊥b?ab＝0； (3)當(dāng)a與b同向時(shí)，ab＝|a||b|； 當(dāng)a與b反向時(shí)，ab＝－|a||b|，aa＝a2，|a|＝； (4)cos θ＝； (5)|ab|__≤__|a||b|. 4． 平面向量數(shù)量積滿(mǎn)足的運(yùn)算律 (1)ab＝ba(交換律)； (2)(λa)b＝λ(ab)＝a(λb)(λ為實(shí)數(shù))； (3)(a＋b)c＝ac＋bc. 5． 平面向量數(shù)量積有關(guān)性質(zhì)的坐標(biāo)表示 設(shè)向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則ab＝x1x2＋y1y2，由此得到 (1)若a＝(x，y)，則|a|2＝x2＋y2或|a|＝. (2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則A、B兩點(diǎn)間的距離|AB|＝||＝. (3)設(shè)兩個(gè)非零向量a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a⊥b?x1x2＋y1y2＝0. 1． 判斷下面結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“”) (1)向量在另一個(gè)向量方向上的投影為數(shù)量，而不是向量． (　√　) (2)兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算的運(yùn)算結(jié)果是向量．(　√　) (3)△ABC內(nèi)有一點(diǎn)O，滿(mǎn)足＋＋＝0，且＝，則△ABC一定是等腰三角形． (　√　) (4)在四邊形ABCD中，＝且＝0，則四邊形ABCD為矩形． (　　) (5)兩個(gè)向量的夾角的范圍是[0，]． (　　) (6)已知a＝(λ，2λ)，b＝(3λ，2)，如果a與b的夾角為銳角，則λ的取值范圍是λ<－或λ>0. (　　) 2． (2012陜西)設(shè)向量a＝(1，cos θ)與b＝(－1,2cos θ)垂直，則cos 2θ等于 (　　) A. B. C．0 D．－1 答案　C 解析　利用向量垂直及倍角公式求解． a＝(1，cos θ)，b＝(－1,2cos θ)． ∵a⊥b，∴ab＝－1＋2cos2θ＝0， ∴cos2θ＝，∴cos 2θ＝2cos2θ－1＝1－1＝0. 3． 已知向量a，b的夾角為60，且|a|＝2，|b|＝1，則向量a與向量a＋2b的夾角等于(　　) A．150 B．90 C．60 D．30 答案　D 解析　|a＋2b|2＝4＋4＋4ab＝8＋8cos 60＝12， ∴|a＋2b|＝2， a(a＋2b)＝|a||a＋2b|cos θ ＝22cos θ＝4cos θ， 又a(a＋2b)＝a2＋2ab＝4＋4cos 60＝6， ∴4cos θ＝6，cos θ＝，θ∈[0，180]∴θ＝30，故選D. 4． 在△ABC中，＝1，＝2，則AB邊的長(zhǎng)度為 (　　) A．1 B．3 C．5 D．9 答案　B 解析　表示在方向上的單位向量． 設(shè)△ABC各邊分別為a，b，c，則＝bcos A＝1， 同理，＝acos B＝2. 由余弦定理可得 解方程組得c＝3或0(舍)．故選B. 5． 已知a＝(2,3)，b＝(－4,7)，則a在b方向上的投影為_(kāi)_____． 答案　 解析　設(shè)a和b的夾角為θ，|a|cos θ＝|a| ＝＝＝. 題型一　平面向量數(shù)量積的運(yùn)算 例1　(1)在Rt△ABC中，∠C＝90，AC＝4，則等于 (　　) A．－16 B．－8 C．8 D．16 (2)(2012北京)已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)E是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的值為_(kāi)_______；的最大值為_(kāi)_______． 思維啟迪　(1)∠C＝90，可選取向量，為基底表示向量或者利用數(shù)量積的幾何意義； (2)建立坐標(biāo)系求向量的坐標(biāo)，也可利用數(shù)量積的幾何意義． 答案　(1)D　(2)1　1 解析　(1)方法一?。?－)(－) ＝－＋2＝16. 方法二　∵在方向上的投影是AC，∴＝||2＝16. (2)方法一　以射線(xiàn)AB，AD為x軸，y軸的正方向建立平面直角坐標(biāo)系， 設(shè) A(0,0)，B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)，設(shè) E(t,0)，t∈[0,1]，則＝(t，－1)，＝(0，－1)， 所以＝(t，－1)(0，－1)＝1. 因?yàn)椋?1,0)，所以＝(t，－1)(1,0)＝t≤1， 故的最大值為1. 方法二　由圖知，無(wú)論E點(diǎn)在哪個(gè)位置，在方向上的投影都是CB ＝1， ∴＝||1＝1， 當(dāng)E運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)，在方向上的投影最大即為DC＝1， ∴()max＝||1＝1. 思維升華　求兩個(gè)向量的數(shù)量積有三種方法：利用定義；利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算；利用數(shù)量積的幾何意義．本題從不同角度創(chuàng)造性地解題，充分利用了已知條件． 　已知點(diǎn)A，B，C滿(mǎn)足||＝3，||＝4，||＝5，則＋＋的值是________． 答案　－25 解析　方法一　如右圖，根據(jù)題意可得△ABC為直角三角形， 且B＝，cos A＝，cos C＝， ∴＋＋ ＝＋ ＝45cos(π－C)＋53cos(π－A) ＝－20cos C－15cos A ＝－20－15 ＝－25. 方法二　易知＋＋＝0， 將其兩邊平方可得 2＋2＋2＋2(＋＋)＝0， 故＋＋ ＝－(2＋2＋2)＝－25. 題型二　求向量的夾角與向量的模 例2　(1)(2012課標(biāo)全國(guó))已知向量a，b夾角為45，且|a|＝1，|2a－b|＝，則|b|＝________. (2)(2013山東)已知向量與的夾角為120，且||＝3，||＝2.若A＝λ＋，且⊥，則實(shí)數(shù)λ的值為_(kāi)_______． 思維啟迪　利用數(shù)量積的定義ab＝|a||b|cos θ. 答案　(1)3　(2) 解析　(1)利用平面向量的數(shù)量積概念、模的概念求解． ∵a，b的夾角為45，|a|＝1， ∴ab＝|a||b|cos 45＝|b|， |2a－b|2＝4－4|b|＋|b|2＝10，∴|b|＝3. (2)由⊥知＝0， 即＝(λ＋)(－) ＝(λ－1)－λA2＋2 ＝(λ－1)32－λ9＋4＝0，解得λ＝. 思維升華　(1)在數(shù)量積的基本運(yùn)算中，經(jīng)常用到數(shù)量積的定義、模、夾角等公式，尤其對(duì)|a|＝要引起足夠重視，它是求距離常用的公式． (2)要注意向量運(yùn)算律與實(shí)數(shù)運(yùn)算律的區(qū)別和聯(lián)系．在向量的運(yùn)算中，靈活運(yùn)用運(yùn)算律，達(dá)到簡(jiǎn)化運(yùn)算的目的． 　(1)已知向量a、b滿(mǎn)足|a|＝1，|b|＝4，且ab＝2，則a與b的夾角為(　　) A. B. C. D. (2)已知向量a＝(1，)，b＝(－1,0)，則|a＋2b|等于 (　　) A．1 B. C．2 D．4 答案　(1)C　(2)C 解析　(1)∵cos〈a，b〉＝＝，∴〈a，b〉＝. (2)|a＋2b|2＝a2＋4ab＋4b2＝4－41＋4＝4， ∴|a＋2b|＝2. 題型三　數(shù)量積的綜合應(yīng)用 例3　已知△ABC的角A、B、C所對(duì)的邊分別是a、b、c，設(shè)向量m＝(a，b)，n＝(sin B，sin A)，p＝(b－2，a－2)． (1)若m∥n，求證：△ABC為等腰三角形； (2)若m⊥p，邊長(zhǎng)c＝2，角C＝，求△ABC的面積． 思維啟迪　(1)由m∥n可得△ABC的邊角關(guān)系，再利用正弦定理邊角互化即可證得結(jié)論； (2)由m⊥p得a、b關(guān)系，再利用余弦定理得ab，代入面積公式． (1)證明　∵m∥n，∴asin A＝bsin B， 即a＝b，其中R是三角形ABC外接圓半徑， ∴a＝b. ∴ABC為等腰三角形． (2)解　由題意可知mp＝0，即a(b－2)＋b(a－2)＝0. ∴a＋b＝ab. 由余弦定理可知，4＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab， 即(ab)2－3ab－4＝0， ∴ab＝4(舍去ab＝－1)， ∴S＝absin C＝4sin ＝. 思維升華　以向量為載體考查三角形問(wèn)題時(shí)，要注意正弦定理、余弦定理、面積公式的應(yīng)用、邊與角之間的互化是判斷三角形形狀的常用方法． 　(2013江蘇)已知向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，0<β<α<π. (1)若|a－b|＝，求證：a⊥b； (2)設(shè)c＝(0,1)，若a＋b＝c，求α，β的值． (1)證明　由|a－b|＝，即(cos α－cos β)2＋(sin α－sin β)2＝2，整理得cos αcos β＋sin αsin β＝0， 即ab＝0，因此a⊥b. (2)解　由已知條件， 又0<β<α<π， cos β＝－cos α＝cos(π－α)，則β＝π－α， sin α＋sin(π－α)＝1， sin α＝，α＝或α＝， 當(dāng)α＝時(shí)，β＝(舍去) 當(dāng)α＝時(shí)，β＝. 三審圖形抓特點(diǎn) 典例：(4分)如圖所示，把兩塊斜邊長(zhǎng)相等的直角三角板拼在一起，若 ＝x＋y，則x＝________，y＝________. 圖形有一副三角板構(gòu)成 ↓(注意一副三角板的特點(diǎn)) 令|AB|＝1，|AC|＝1 ↓(一副三角板的兩斜邊等長(zhǎng)) |DE|＝|BC|＝ ↓(非等腰三角板的特點(diǎn)) |BD|＝|DE|sin 60＝＝ ↓(注意∠ABD＝45＋90＝135) 在上的投影即為x ↓x＝|AB|＋|BD|cos 45＝1＋＝1＋ ↓在上的投影即為y ↓y＝|BD|sin 45＝＝. 規(guī)范解答 解析　方法一　結(jié)合圖形特點(diǎn)，設(shè)向量，為單位向量，由＝x＋y知，x，y分別為在，上的投影．又|BC|＝|DE|＝， ∴||＝||sin 60＝. ∴在上的投影 x＝1＋cos 45＝1＋＝1＋， 在上的投影y＝sin 45＝. 方法二　∵＝x＋y，又＝＋， ∴＋＝x＋y，∴＝(x－1)＋y. 又⊥，∴＝(x－1)2. 設(shè)||＝1，則由題意||＝||＝. 又∠BED＝60，∴||＝.顯然與的夾角為45. ∴由＝(x－1)2， 得1cos 45＝(x－1)12.∴x＝＋1. 同理，在＝(x－1)＋y兩邊取數(shù)量積可得y＝. 答案　1＋　 溫馨提醒　突破本題的關(guān)鍵是，要抓住圖形的特點(diǎn)(圖形由一副三角板構(gòu)成)．根據(jù)圖形的特點(diǎn)，利用向量分解的幾何意義，求解方便快捷．方法二是原試題所給答案，較方法一略顯繁雜. 方法與技巧 1． 計(jì)算數(shù)量積的三種方法：定義、坐標(biāo)運(yùn)算、數(shù)量積的幾何意義，要靈活選用，和圖形有關(guān)的不要忽略數(shù)量積幾何意義的應(yīng)用． 2． 求向量模的常用方法：利用公式|a|2＝a2，將模的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積的運(yùn)算． 3． 利用向量垂直或平行的條件構(gòu)造方程或函數(shù)是求參數(shù)或最值問(wèn)題常用的方法與技巧． 失誤與防范 1． (1)0與實(shí)數(shù)0的區(qū)別：0a＝0≠0，a＋(－a)＝0≠0，a0＝0≠0；(2)0的方向是任意的，并非沒(méi)有方向，0與任何向量平行，我們只定義了非零向量的垂直關(guān)系． 2． ab＝0不能推出a＝0或b＝0，因?yàn)閍b＝0時(shí)，有可能a⊥b. 3． ab＝ac(a≠0)不能推出b＝c，即消去律不成立．  A組　專(zhuān)項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練 (時(shí)間：40分鐘) 一、選擇題 1． 已知向量a＝(1,2)，b＝(x，－4)，若a∥b，則ab等于 (　　) A．－10 B．－6 C．0 D．6 答案　A 解析　由a∥b得2x＝－4，x＝－2，故ab＝(1,2)(－2，－4)＝－10. 2． (2012重慶)設(shè)x，y∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)，且a⊥c，b∥c，則|a＋b|等于 (　　) A. B. C．2 D．10 答案　B 解析　∵a＝(x,1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)， 由a⊥c得ac＝0，即2x－4＝0，∴x＝2. 由b∥c，得1(－4)－2y＝0，∴y＝－2. ∴a＝(2,1)，b＝(1，－2)． ∴a＋b＝(3，－1)，∴|a＋b|＝＝. 3． 已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)．若向量c滿(mǎn)足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，則c等于(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　設(shè)c＝(x，y)，則c＋a＝(x＋1，y＋2)， 又(c＋a)∥b，∴2(y＋2)＋3(x＋1)＝0. ① 又c⊥(a＋b)，∴(x，y)(3，－1)＝3x－y＝0. ② 聯(lián)立①②解得x＝－，y＝－. 4． 向量與向量a＝(－3,4)的夾角為π，||＝10，若點(diǎn)A的坐標(biāo)是(1,2)，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為 (　　) A．(－7,8) B．(9，－4) C．(－5,10) D．(7，－6) 答案　D 解析　∵與a＝(－3,4)反向， ∴可設(shè)＝(3λ，－4λ)，λ>0. 又||＝10，∴λ＝2，∴＝(6，－8)， 又A(1,2)，∴B點(diǎn)坐標(biāo)為(7，－6)． 5． (2012天津)在△ABC中，∠A＝90，AB＝1，AC＝2.設(shè)點(diǎn)P，Q滿(mǎn)足＝λ，＝(1－λ)，λ∈R.若＝－2，則λ等于 (　　) A. B. C. D．2 答案　B 解析?。剑?1－λ)－， ＝－＝λ－， ＝(λ－1)2－λ2＝4(λ－1)－λ＝3λ－4＝－2，即λ＝. 二、填空題 6． (2012安徽)設(shè)向量a＝(1,2m)，b＝(m＋1,1)，c＝(2，m)．若(a＋c)⊥b，則|a|＝________. 答案　 解析　a＋c＝(1,2m)＋(2，m)＝(3,3m)．∵(a＋c)⊥b， ∴(a＋c)b＝(3,3m)(m＋1,1)＝6m＋3＝0， ∴m＝－.∴a＝(1，－1)，∴|a|＝. 7． (2013課標(biāo)全國(guó)Ⅱ)已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，E為CD的中點(diǎn)，則＝________. 答案　2 解析　由題意知：＝(＋)(－) ＝(＋)(－) ＝2－－2＝4－0－2＝2. 8． 已知a＝(2，－1)，b＝(λ，3)，若a與b的夾角為鈍角，則λ的取值范圍是____________． 答案　(－∞，－6)∪ 解析　由ab<0，即2λ－3<0，解得λ<，由a∥b得： 6＝－λ，即λ＝－6.因此λ<，且λ≠－6. 三、解答題 9． 已知向量a＝(4,5cos α)，b＝(3，－4tan α)，α∈(0，)，a⊥b，求： (1)|a＋b|； (2)cos(α＋)的值． 解　(1)因?yàn)閍⊥b，所以ab＝43＋5cos α(－4tan α)＝0， 解得sin α＝. 又因?yàn)棣痢?0，)， 所以cos α＝，tan α＝＝， 所以a＋b＝(7,1)， 因此|a＋b|＝＝5. (2)cos(α＋)＝cos αcos －sin αsin ＝－＝. 10．已知△ABC的內(nèi)角為A、B、C，其對(duì)邊分別為a、b、c，B為銳角，向量m＝(2sin B，－)，n＝(cos 2B,2cos2－1)，且m∥n. (1)求角B的大小； (2)如果b＝2，求S△ABC的最大值． 解　(1)m∥n?2sin B(2cos2－1)＋cos 2B＝0 ?sin 2B＋cos 2B＝0?2sin(2B＋)＝0(B為銳角) ?2B＝?B＝. (2)cos B＝?ac＝a2＋c2－4≥2ac－4?ac≤4. S△ABC＝acsin B≤4＝. B組　專(zhuān)項(xiàng)能力提升 (時(shí)間：30分鐘) 1． △ABC的外接圓圓心為O，半徑為2，＋＋＝0，且||＝||，則在方向上的投影為 (　　) A．1 B．2 C． D．3 答案　C 解析　如圖，設(shè)D為BC的中點(diǎn)，由＋＋＝0， 得＝2， ∴A、O、D共線(xiàn)且||＝2||， 又O為△ABC的外心， ∴AO為BC的中垂線(xiàn)， ∴||＝||＝||＝2，||＝1， ∴||＝，∴在方向上的投影為. 2． (2013湖南)已知a，b是單位向量，ab＝0，若向量c滿(mǎn)足|c－a－b|＝1，則|c|的取值范圍是 (　　) A．[－1，＋1] B．[－1，＋2] C．[1，＋1] D．[1，＋2] 答案　A 解析　∵ab＝0，且a，b是單位向量，∴|a|＝|b|＝1. 又∵|c－a－b|2＝c2－2c(a＋b)＋2ab＋a2＋b2＝1， ∴2c(a＋b)＝c2＋1. ∵|a|＝|b|＝1且ab＝0，∴|a＋b|＝， ∴c2＋1＝2|c|cos θ(θ是c與a＋b的夾角)． 又－1≤cos θ≤1，∴0<c2＋1≤2|c|， ∴c2－2|c|＋1≤0， ∴－1≤|c|≤＋1. 3． 如圖所示，在平面四邊形ABCD中，若AC＝3，BD＝2，則(＋)( ＋)＝________. 答案　5 解析　由于＝＋，＝＋， 所以＋＝＋＋＋ ＝－. (＋)(＋)＝(－)(＋) ＝||2－||2＝9－4＝5. 4． 已知向量p＝(2sin x，cos x)，q＝(－sin x,2sin x)，函數(shù)f(x)＝pq. (1)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間； (2)在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對(duì)邊，且f(C)＝1，c＝1，ab＝2，且a>b，求a，b的值． 解　(1)f(x)＝－2sin2x＋2sin xcos x ＝－1＋cos 2x＋2sin xcos x ＝sin 2x＋cos 2x－1＝2sin(2x＋)－1. 由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z， 得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z， ∴f(x)的單調(diào)增區(qū)間是(k∈Z)． (2)∵f(C)＝2sin(2C＋)－1＝1， ∴sin(2C＋)＝1， ∵C是三角形的內(nèi)角，∴2C＋＝，即C＝. ∴cos C＝＝，即a2＋b2＝7. 將ab＝2代入可得a2＋＝7，解得a2＝3或4. ∴a＝或2，∴b＝2或. ∵a>b，∴a＝2，b＝. 5． 在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知向量a＝(－1,2)，又點(diǎn)A(8,0)，B(n，t)， C(ksin θ，t)(0≤θ≤)． (1)若⊥a，且||＝||，求向量； (2)若向量與向量a共線(xiàn)，當(dāng)k>4，且tsin θ取最大值4時(shí)，求. 解　(1)由題設(shè)知＝(n－8，t)， ∵⊥a，∴8－n＋2t＝0. 又∵||＝||， ∴564＝(n－8)2＋t2＝5t2，得t＝8. 當(dāng)t＝8時(shí)，n＝24；t＝－8時(shí)，n＝－8， ∴＝(24,8)，或＝(－8，－8)． (2)由題設(shè)知＝(ksin θ－8，t)， ∵與a共線(xiàn)，∴t＝－2ksin θ＋16， tsin θ＝(－2ksin θ＋16)sin θ＝－2k(sin θ－)2＋. ∵k>4，∴1>>0， ∴當(dāng)sin θ＝時(shí)，tsin θ取得最大值. 由＝4，得k＝8， 此時(shí)θ＝，＝(4,8)． ∴＝(8,0)(4,8)＝32.