第二節(jié)直線(xiàn)的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式考點(diǎn)一兩直線(xiàn)的交點(diǎn)問(wèn)題 來(lái)源:例1(1)經(jīng)過(guò)直線(xiàn)l1：xy10與直線(xiàn)l2：xy30的交點(diǎn)P，且與直線(xiàn)l3：2xy20垂直的直線(xiàn)l的方程是_(2)(2014錦州模擬)當(dāng)0<k<0.5時(shí)，直線(xiàn)l1：kxyk1與直線(xiàn)l2：kyx2k的交點(diǎn)在第_象限自主解答(1)法一：由方程組解得即點(diǎn)P(2,1)，設(shè)直線(xiàn)l的方程為y1k(x2)，l3l，k，直線(xiàn)l的方程為y1(x2)，即x2y0.法二：直線(xiàn)l過(guò)直線(xiàn)l1和l2的交點(diǎn)，可設(shè)直線(xiàn)l的方程為xy1(xy3)0，即(1)x(1)y130.l與l3垂直，2(1)(1)0，解得.直線(xiàn)l的方程為xy0，即x2y0.(2)l1與l2的直線(xiàn)方程聯(lián)立得解方程得又0<k<0.5，所以x<0，y>0，故l1與l2的交點(diǎn)在第二象限答案(1)x2y0(2)二【互動(dòng)探究】若將本例(1)中條件“垂直”改為“平行”，試求l的方程 解：由方程組解得即點(diǎn)P(2,1).又ll3，即k=2,故直線(xiàn)l的方程為y-1=2(x-2),即2x-y+5=0【方法規(guī)律】經(jīng)過(guò)兩條直線(xiàn)交點(diǎn)的直線(xiàn)方程的設(shè)法經(jīng)過(guò)兩相交直線(xiàn)A1xB1yC10和A2xB2yC20的交點(diǎn)的直線(xiàn)系方程為A1xB1yC1(A2xB2yC2)0(這個(gè)直線(xiàn)系方程中不包括直線(xiàn)A2xB2yC20)或m(A1xB1yC1)n(A2xB2yC2)0.已知直線(xiàn)l1：2x3y80，l2：xy10，l3：xkyk0，分別求滿(mǎn)足下列條件的k的值：(1)l1，l2，l3相交于一點(diǎn)；(2)l1，l2，l3圍成三角形解：(1)直線(xiàn)l1，l2的方程聯(lián)立得解得即直線(xiàn)l1，l2的交點(diǎn)為P(1，2)又點(diǎn)P在直線(xiàn)l3上，所以12kk0，解得k.(2)由(1)知k.當(dāng)直線(xiàn)l3與l1，l2均相交時(shí)，有解得k且k1，綜上可得k，且k，且k1.考點(diǎn)二對(duì) 稱(chēng) 問(wèn) 題 例2已知直線(xiàn)l：2x3y10，點(diǎn)A(1，2)求：(1)點(diǎn)A關(guān)于直線(xiàn)l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A的坐標(biāo)；(2)直線(xiàn)m：3x2y60關(guān)于直線(xiàn)l的對(duì)稱(chēng)直線(xiàn)m的方程；(3)直線(xiàn)l關(guān)于點(diǎn)A(1，2)對(duì)稱(chēng)的直線(xiàn)l的方程自主解答(1)設(shè)A(x，y)，則由已知得解得A.(2)在直線(xiàn)m上任取一點(diǎn)，如M(2,0)，則M(2,0)關(guān)于直線(xiàn)l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M必在直線(xiàn)m上設(shè)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M(a，b)，則解得M.設(shè)直線(xiàn)m與直線(xiàn)l的交點(diǎn)為N，則由得N(4,3)又m經(jīng)過(guò)點(diǎn)N(4,3)，由兩點(diǎn)式得直線(xiàn)m的方程為9x46y1020.(3)法一：在l：2x3y10上任取兩點(diǎn)，如D(1,1)，E(4,3)，則D，E關(guān)于點(diǎn)A(1，2)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D、E均在直線(xiàn)l上，易得D(3，5)，E(6，7)，再由兩點(diǎn)式可得l的方程為2x3y90.法二：ll，設(shè)l的方程為2x3yC0(C1)點(diǎn)A(1，2)到兩直線(xiàn)l，l的距離相等，由點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式得，解得C9，l的方程為2x3y90.法三：設(shè)P(x，y)為l上任意一點(diǎn)，則P(x，y)關(guān)于點(diǎn)A(1，2)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為P(2x，4y)，點(diǎn)P在直線(xiàn)l上，2(2x)3(4y)10，來(lái)源:數(shù)理化網(wǎng)即2x3y90.【方法規(guī)律】(1)關(guān)于中心對(duì)稱(chēng)問(wèn)題的處理方法：若點(diǎn)M(x1，y1)及N(x，y)關(guān)于P(a，b)對(duì)稱(chēng)，則由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得直線(xiàn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)，其主要方法是：在已知直線(xiàn)上取兩點(diǎn)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出它們關(guān)于已知點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)坐標(biāo)，再由兩點(diǎn)式求出直線(xiàn)方程，或者求出一個(gè)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，再利用l1l2，由點(diǎn)斜式得到所求直線(xiàn)方程(2)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)問(wèn)題的處理方法：點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)若兩點(diǎn)P1(x1，y1)與P2(x2，y2)關(guān)于直線(xiàn)l：AxByC0對(duì)稱(chēng)，則線(xiàn)段P1P2的中點(diǎn)在l上，而且連接P1P2的直線(xiàn)垂直于l，由方程組可得到點(diǎn)P1關(guān)于l對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)P2的坐標(biāo)(x2，y2)(其中B0，x1x2)來(lái)源:直線(xiàn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)此類(lèi)問(wèn)題一般轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)來(lái)解決，有兩種情況：一是已知直線(xiàn)與對(duì)稱(chēng)軸相交；二是已知直線(xiàn)與對(duì)稱(chēng)軸平行.直線(xiàn)y2x是ABC的一個(gè)內(nèi)角平分線(xiàn)所在的直線(xiàn)，若點(diǎn)A(4,2)，B(3,1)，求點(diǎn)C的坐標(biāo)解：把A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入y2x，知A，B不在直線(xiàn)y2x上，因此y2x為ACB的平分線(xiàn)，設(shè)點(diǎn)A(4,2)關(guān)于y2x的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為A(a，b)，則kAA，線(xiàn)段AA的中點(diǎn)坐標(biāo)為，解得A(4，2)y2x是ACB平分線(xiàn)所在直線(xiàn)的方程，A在直線(xiàn)BC上，直線(xiàn)BC的方程為，即3xy100.由解得即C(2,4)高頻考點(diǎn)考點(diǎn)三 距離公式的應(yīng)用1距離公式包括兩點(diǎn)間的距離、點(diǎn)到直線(xiàn)的距離和兩平行線(xiàn)間的距離這三種距離在高考中經(jīng)常體現(xiàn)，試題難度不大，多為容易題或中檔題，以選擇、填空的形式呈現(xiàn)，有時(shí)也會(huì)在解答題中有所體現(xiàn)2高考中對(duì)距離公式的考查主要有以下幾個(gè)命題角度：(1)求距離；(2)已知距離求參數(shù)值；(3)求距離的最值例3(1)(2014安康模擬)點(diǎn)P到點(diǎn)A(1,0)和直線(xiàn)x1的距離相等，且P到直線(xiàn)yx的距離等于，這樣的點(diǎn)P共有()A1個(gè) B2個(gè) C3個(gè) D4個(gè)(2)(2014啟東模擬)l1，l2是分別經(jīng)過(guò)A(1,1)，B(0，1)兩點(diǎn)的兩條平行直線(xiàn)，當(dāng)l1，l2間的距離最大時(shí)，直線(xiàn)l1的方程是_自主解答(1)設(shè)點(diǎn)P(x，y)，由題意知|x1|，且，所以即或解得或解得因此，這樣的點(diǎn)P共有3個(gè)(2)當(dāng)兩條平行直線(xiàn)與A、B兩點(diǎn)連線(xiàn)垂直時(shí)，兩條平行直線(xiàn)的距離最大又kAB2，所以?xún)蓷l平行直線(xiàn)的斜率為k，所以直線(xiàn)l1的方程是y1(x1)，即x2y30.答案(1)C(2)x2y30與距離有關(guān)問(wèn)題的常見(jiàn)類(lèi)型及解題策略來(lái)源:(1)求距離利用兩點(diǎn)間的距離公式，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式，兩平行線(xiàn)的距離公式直接求解，也可利用“化歸”法將兩條平行線(xiàn)間的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線(xiàn)的距離(2)已知距離求參數(shù)值可利用距離公式，得出含參數(shù)的方程，解方程即可求解(3)求距離的最值可利用距離公式得出距離關(guān)于某個(gè)點(diǎn)的函數(shù)，利用函數(shù)知識(shí)求最值1在OAB中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A(1，cos )，B(sin ，1)，則OAB的面積的取值范圍是()A(0,1 B. C. D.解析：選DOA的方程為ycos x，且|OA|，而B(niǎo)到OA的距離d，所以S O A B|OA|d(1sin cos )sin 2，又1sin 21，sin 2.來(lái)源:2已知直線(xiàn)l1：mx8yn0與l2：2xmy10互相平行，且l1，l2之間的距離為，求直線(xiàn)l1的方程解：因?yàn)閘1與l2平行，所以.解得m4.當(dāng)m4時(shí)，l1：4x8yn0，l2：2x4y10，兩平行線(xiàn)間的距離d，解得n18或n22.此時(shí)l1的方程為4x8y180或4x8y220，即2x4y90或2x4y110.當(dāng)m4時(shí)，l1：4x8yn0，l2：2x4y10，兩平行線(xiàn)間的距離d，解得n22或n18.此時(shí)l1的方程為4x8y220或4x8y180，即2x4y110或2x4y90.綜上可知l1的方程為2x4y90或2x4y110或2x4y110或2x4y90.課堂歸納通法領(lǐng)悟1條規(guī)律與已知直線(xiàn)垂直及平行的直線(xiàn)系的設(shè)法與直線(xiàn)AxByC0(A2B20)垂直和平行的直線(xiàn)方程可設(shè)為：(1)垂直：BxAym0；(2)平行：AxByn0.1種思想轉(zhuǎn)化思想在對(duì)稱(chēng)問(wèn)題中的應(yīng)用一般地，對(duì)稱(chēng)問(wèn)題包括點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)，點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)，直線(xiàn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)，直線(xiàn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)等情況，上述各種對(duì)稱(chēng)問(wèn)題最終化歸為點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)問(wèn)題來(lái)解決2個(gè)注意點(diǎn)判斷直線(xiàn)位置關(guān)系及運(yùn)用兩平行直線(xiàn)間的距離公式的注意點(diǎn)(1)在判斷兩條直線(xiàn)的位置關(guān)系時(shí)，首先應(yīng)分析直線(xiàn)的斜率是否存在若兩條直線(xiàn)都有斜率，可根據(jù)判定定理判斷，若直線(xiàn)無(wú)斜率時(shí)，要單獨(dú)考慮；(2)運(yùn)用兩平行直線(xiàn)間的距離公式d的前提是將兩方程中的x，y的系數(shù)化為對(duì)應(yīng)相等