第八節(jié)圓錐曲線的綜合問(wèn)題 考點(diǎn)一圓錐曲線中的最值(或取值范圍)問(wèn)題 例1(2013新課標(biāo)全國(guó)卷)平面直角坐標(biāo)系xOy中，過(guò)橢圓M：1 (a>b>0)右焦點(diǎn)的直線xy0交M于A，B兩點(diǎn)，P為AB的中點(diǎn)，且OP的斜率為.(1)求M的方程；(2)C，D為M上的兩點(diǎn)，若四邊形ACBD的對(duì)角線CDAB，求四邊形ACBD面積的最大值自主解答(1)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，則1，1，1，由此可得1.因?yàn)閤1x22x0，y1y22y0，所以a22b2.又由題意知，M的右焦點(diǎn)為(，0)，故a2b23.因此a26，b23.所以M的方程為1.(2)由解得或因此|AB|.由題意可設(shè)直線CD的方程為yxn，設(shè)C(x3，y3)，D(x4，y4)由得3x24nx2n260.于是x3,4.來(lái)源:因?yàn)橹本€CD的斜率為1，所以|CD|x4x3|.由已知，四邊形ACBD的面積S|CD|AB|.當(dāng)n0時(shí)，S取得最大值，最大值為.所以四邊形ACBD面積的最大值為.【互動(dòng)探究】若本例的條件不變，則四邊形ACBD的面積有最小值嗎？若有，求出其值；若沒(méi)有，說(shuō)明理由解：由(2)可知3x24nx2n260，又yxn與橢圓1相交，(4n)243(2n26)8(9n2)>0，即3<n<3,0n2<9，而SACBD，0<SACBD，即SACBD沒(méi)有最小值 【方法規(guī)律】來(lái)源:1解決圓錐曲線中的取值范圍問(wèn)題的五方面考慮(1)利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)或判別式構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍；(2)利用已知參數(shù)的范圍，求新參數(shù)的范圍，解這類(lèi)問(wèn)題的核心是建立兩個(gè)參數(shù)之間的等量關(guān)系；(3)利用隱含的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；(4)利用已知的不等關(guān)系構(gòu)造不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；(5)利用求函數(shù)的值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù)，求其值域，從而確定參數(shù)的取值范圍2圓錐曲線中常見(jiàn)最值問(wèn)題及解題方法(1)兩類(lèi)最值問(wèn)題：涉及距離、面積的最值以及與之相關(guān)的一些問(wèn)題；求直線或圓錐曲線中幾何元素的最值以及這些元素存在最值時(shí)確定與之有關(guān)的一些問(wèn)題(2)兩種常見(jiàn)解法：幾何法，若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來(lái)解決；代數(shù)法，若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可先建立起目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值，最值常用基本不等式法、配方法等求解.已知?jiǎng)訄AC過(guò)點(diǎn)A(1,0)，且與直線l0：x1相切(1)求動(dòng)圓圓心C的軌跡D的方程；(2)設(shè)圓心C的軌跡在x4的部分為曲線E，過(guò)點(diǎn)P(0,2)的直線l與曲線E交于A，B兩個(gè)不同的點(diǎn)，且 (>1)，試求的取值范圍解：(1)設(shè)動(dòng)圓圓心C的坐標(biāo)為(x，y)，圓心C到直線l0的距離為d，由題意可知|CA|d，故由拋物線的定義可知?jiǎng)訄A圓心C的軌跡D的方程為y24x.(2)易知曲線E的方程為y24x(x4)，顯然當(dāng)直線l的斜率為零或不存在時(shí)不符合題意，故可設(shè)直線l的方程為ykx2(k0)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由 (>1)知x1x2，且0<x2<4,0<x14.由消去y得k2x24(k1)x40，(*)則方程(*)在0,4內(nèi)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，記f(x)k2x24(k1)x4，則從而可得k.由根與系數(shù)的關(guān)系可知x1x2，x1x2.又x1x2，所以42，而k，所以<0，故可得1<2，從而可得4<，解得<1或1<9，又>1，所以的取值范圍是(1,9考點(diǎn)二定 點(diǎn) 問(wèn) 題 例2(2013陜西高考)已知?jiǎng)訄A過(guò)定點(diǎn)A(4,0)，且在y軸上截得弦MN的長(zhǎng)為8.(1)求動(dòng)圓圓心的軌跡C的方程；(2)已知點(diǎn)B(1,0)，設(shè)不垂直于x軸的直線l與軌跡C交于不同的兩點(diǎn)P，Q，若x軸是PBQ的角平分線，證明直線l過(guò)定點(diǎn)自主解答(1)如圖，設(shè)動(dòng)圓圓心O1(x，y)，由題意，|O1A|O1M|，當(dāng)O1不在y軸上時(shí)，過(guò)O1作O1HMN交MN于H，則H是MN的中點(diǎn)，|O1M|，又|O1A|，化簡(jiǎn)得y28x(x0)又當(dāng)O1在y軸上時(shí)，O1與O重合，點(diǎn)O1的坐標(biāo)(0,0)也滿(mǎn)足方程y28x，動(dòng)圓圓心的軌跡C的方程為y28x.(2)證明：由題意，設(shè)直線l的方程為ykxb(k0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，將ykxb代入y28x中，得k2x2(2bk8)xb20，其中32kb64>0.由根與系數(shù)的關(guān)系得，x1x2，x1x2，因?yàn)閤軸是PBQ的角平分線，所以，即y1(x21)y2(x11)0，(kx1b)(x21)(kx2b)(x11)0，2kx1x2(kb)(x1x2)2b0，將代入，得2kb2(kb)(82bk)2k2b0，kb，此時(shí)>0，直線l的方程為yk(x1)，直線l過(guò)定點(diǎn)(1,0)【方法規(guī)律】圓錐曲線中定點(diǎn)問(wèn)題的兩種解法(1)引進(jìn)參數(shù)法：引進(jìn)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)或動(dòng)線中系數(shù)為參數(shù)表示變化量，再研究變化的量與參數(shù)何時(shí)沒(méi)有關(guān)系，找到定點(diǎn)(2)特殊到一般法：根據(jù)動(dòng)點(diǎn)或動(dòng)線的特殊情況探索出定點(diǎn)，再證明該定點(diǎn)與變量無(wú)關(guān)橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，該橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)P且離心率為.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線l：ykxm與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)(A，B不是左，右頂點(diǎn))，且以AB為直徑的圓過(guò)橢圓C的右頂點(diǎn)，求證：直線l過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)解：(1)設(shè)橢圓方程為1(a>b>0)，由e，得a2c，a2b2c2，b23c2，則橢圓方程變?yōu)?.又橢圓過(guò)點(diǎn)P，將其代入求得c21，故a24，b23，即橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2)證明：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，聯(lián)立得(34k2)x28mkx4(m23)0，則又y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2mk(x1x2)m2.橢圓的右頂點(diǎn)為A2(2,0)，AA2BA2，(x12)(x22)y1y20，y1y2x1x22(x1x2)40.40.7m216mk4k20.解得m12k，m2，由得34k2m2>0.當(dāng)m12k時(shí)，l的方程為yk(x2)，直線過(guò)定點(diǎn)(2,0)，與已知矛盾當(dāng)m2時(shí)，l的方程為yk，直線過(guò)定點(diǎn).直線l過(guò)定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為.高頻考點(diǎn)考點(diǎn)三 圓錐曲線中的定值問(wèn)題來(lái)源:1圓錐曲線中的定值問(wèn)題，是近幾年來(lái)高考命題的熱點(diǎn)，多以解答題的形式出現(xiàn)，試題難度較大，多為高檔題2高考中關(guān)于圓錐曲線中的定值問(wèn)題有以下幾個(gè)命題角度：(1)求代數(shù)式為定值；(2)求點(diǎn)到直線的距離為定值；(3)求某線段長(zhǎng)為定值例3(2013江西高考)橢圓C：1(a>b>0)的離心率e，ab3.(1)求橢圓C的方程；(2)如圖所示，A，B，D是橢圓C的頂點(diǎn)，P是橢圓C上除頂點(diǎn)外的任意一點(diǎn)，直線DP交x軸于點(diǎn)N，直線AD交BP于點(diǎn)M，設(shè)BP的斜率為k，MN的斜率為m.證明：2mk為定值自主解答(1)因?yàn)閑，所以ac，bc.代入ab3，得c，a2，b1.故橢圓C的方程為y21.(2)證明：法一：因?yàn)锽(2,0)，P不為橢圓頂點(diǎn)，則直線BP的方程為yk(x2)，把代入y21，解得P.直線AD的方程為：yx1.與聯(lián)立解得M.由D(0,1)，P，N(x,0)三點(diǎn)共線知，解得N.所以MN的斜率為m，則2mkk(定值)法二：設(shè)P(x0，y0)(x00，x02)，則k，直線AD的方程為：y(x2)，直線BP的方程為：y(x2)，直線DP的方程為：y1x，令y0，由于y01，可得N聯(lián)立解得M，因此MN的斜率為m來(lái)源:，所以2mk(定值)圓錐曲線中的定值問(wèn)題的常見(jiàn)類(lèi)型及解題策略(1)求代數(shù)式為定值依題意設(shè)條件，得出與代數(shù)式參數(shù)有關(guān)的等式，代入代數(shù)式、化簡(jiǎn)即可得出定值；(2)求點(diǎn)到直線的距離為定值利用點(diǎn)到直線的距離公式得出距離的解析式，再利用題設(shè)條件化簡(jiǎn)、變形求得；(3)求某線段長(zhǎng)度為定值利用長(zhǎng)度公式求得解析式，再依據(jù)條件對(duì)解析式進(jìn)行化簡(jiǎn)、變形即可求得如圖所示，已知點(diǎn)A(1，)是離心率為的橢圓C：1(a>b>0)上的一點(diǎn)，斜率為的直線BD交橢圓C于B、D兩點(diǎn)，且A、B、D三點(diǎn)不重合(1)求橢圓C的方程；(2)ABD的面積是否存在最大值？若存在，求出這個(gè)最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)求證：直線AB、AD斜率之和為定值來(lái)源:解：(1)由題意，可得e，1，a2b2c2，解得a2，b，c，所以橢圓C的方程為1.(2)設(shè)直線BD的方程為yxm，D(x1，y1)，B(x2，y2)，由得4x22mxm240，所以8m264>0，則2<m<2，x1x2m，x1x2.所以|BD|x1x2|.設(shè)d為點(diǎn)A到直線BD：yxm的距離，所以d.所以SABD|BD|d，當(dāng)且僅當(dāng)8m2m2，即m2時(shí)取等號(hào)因?yàn)?(2，2)，所以當(dāng)m2時(shí)，ABD的面積最大，最大值為.(3)證明：設(shè)直線AB、AD的斜率分別為kAB、kAD，則kADkAB2m，(*)將(2)中、式代入(*)式，整理得2m0，即kADkAB0.故直線AB、AD斜率之和為定值課堂歸納通法領(lǐng)悟2種方法求定值問(wèn)題常見(jiàn)的兩種方法(1)從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無(wú)關(guān)；(2)直接推理、計(jì)算，并在此過(guò)程中消去變量，從而得到定值4個(gè)重視求定值、最值等圓錐曲線綜合問(wèn)題要四重視(1)重視定義在解題中的作用；(2)重視平面幾何知識(shí)在解題中的作用；(3)重視根與系數(shù)的關(guān)系在解題中的作用；(4)重視曲線的幾何特征與方程的代數(shù)特征在解題中的作用5方面考慮求最值(或范圍)問(wèn)題需從以下五方面考慮見(jiàn)本節(jié)考點(diǎn)一方法規(guī)律(1)利用判別式來(lái)構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍；(2)利用已知參數(shù)的范圍，求新參數(shù)的范圍，解這類(lèi)問(wèn)題的核心是兩個(gè)參數(shù)之間建立等量關(guān)系；(3)利用隱含的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；(4)利用已知的不等關(guān)系構(gòu)造不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；(5)利用函數(shù)的值域的求法，確定參數(shù)的取值范圍s