第六節(jié)雙 曲 線(xiàn) 全盤(pán)鞏固1已知雙曲線(xiàn)C：1的焦距為10，點(diǎn)P(2,1)在C的漸近線(xiàn)上，則C的方程為()來(lái)源:A.1 B.1C.1 D.1解析：選A因?yàn)殡p曲線(xiàn)的焦距為10，所以c5.又因?yàn)镻(2,1)在漸近線(xiàn)上，且漸近線(xiàn)方程為yx，所以1，即a2b.又因?yàn)閏2a2b25b225，所以b25，a220.即雙曲線(xiàn)方程為1.2(2013·福建高考)雙曲線(xiàn)x2y21的頂點(diǎn)到其漸近線(xiàn)的距離等于()A. B. C1 D.解析：選B雙曲線(xiàn)x2y21的頂點(diǎn)為(1,0)，(1,0)，漸近線(xiàn)方程為xy0和xy0，由對(duì)稱(chēng)性不妨求點(diǎn)(1,0)到直線(xiàn)xy0的距離，其距離為.3已知雙曲線(xiàn)1的右焦點(diǎn)為(3,0)，則該雙曲線(xiàn)的離心率等于()A. B. C. D.解析：選C因?yàn)殡p曲線(xiàn)1的右焦點(diǎn)為(3,0)，所以c3，又b25，所以a2c2b2954.即a2.所以雙曲線(xiàn)的離心率e.來(lái)源:4(2014·惠州模擬)已知雙曲線(xiàn)1與直線(xiàn)y2x有交點(diǎn)，則雙曲線(xiàn)離心率的取值范圍為()A(1，) B(1，C(，) D，)解析：選C雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)方程為yx，則由題意得>2.來(lái)源:e >.5已知雙曲線(xiàn)1(b>0)的左，右焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2，其一條漸近線(xiàn)方程為yx，點(diǎn)P(，y0)在雙曲線(xiàn)上則·()A12 B2 C0 D4解析：選C由漸近線(xiàn)方程為yx知雙曲線(xiàn)是等軸雙曲線(xiàn)，不妨設(shè)雙曲線(xiàn)方程是x2y22，于是F1，F(xiàn)2坐標(biāo)分別是(2,0)和(2,0)，且P(，1)或P(，1)由雙曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性，不妨取P(，1)，則(2，1)，(2，1)所以·(2，1)·(2，1)(2)·(2)10.6(2014·杭州模擬)設(shè)F1，F(xiàn)2分別是雙曲線(xiàn)C：1(a0，b0)的左、右焦點(diǎn)，以F1F2為直徑的圓與雙曲線(xiàn)C在第二象限的交點(diǎn)為P，若雙曲線(xiàn)C的離心率為5，則cosPF2F1()A.B.C.D.解析：選C據(jù)題意可知PF1PF2，設(shè)|PF1|n，|PF2|m，又由雙曲線(xiàn)定義知mn2a；由勾股定理得m2n24c2；又由離心率e5，三式聯(lián)立解得m8a，故cosPF2F1.7(2013·江蘇高考)雙曲線(xiàn)1的兩條漸近線(xiàn)的方程為_(kāi)解析：因?yàn)殡p曲線(xiàn)1的兩條漸近線(xiàn)方程為0，化簡(jiǎn)得y±x.答案：y±x8(2013·陜西高考)雙曲線(xiàn)1的離心率為，則m等于_解析：依題意知m>0，則e211，解得m9.答案：99(2014·麗水模擬)已知雙曲線(xiàn)x2y21，點(diǎn)F1，F(xiàn)2為其兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P為雙曲線(xiàn)上一點(diǎn)，若PF1PF2，則|PF1|PF2|的值為_(kāi)解析：不妨設(shè)點(diǎn)P在雙曲線(xiàn)的右支上且F1，F(xiàn)2分別為左、右焦點(diǎn)，因?yàn)镻F1PF2，所以(2)2|PF1|2|PF2|2，又因?yàn)閨PF1|PF2|2，所以(|PF1|PF2|)24，可得2|PF1|·|PF2|4，則(|PF1|PF2|)2|PF1|2|PF2|22|PF1|·|PF2|12，所以|PF1|PF2|2.答案：210已知雙曲線(xiàn)的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2在坐標(biāo)軸上，離心率為，且過(guò)點(diǎn)(4，)(1)求雙曲線(xiàn)的方程；(2)若點(diǎn)M(3，m)在雙曲線(xiàn)上，求證：·0；(3)求F1MF2的面積解：(1)e，可設(shè)雙曲線(xiàn)方程為x2y2(0)過(guò)點(diǎn)P(4，)，1610，即6.雙曲線(xiàn)方程為x2y26.(2)證明：由(1)可知，雙曲線(xiàn)中ab，c2，F(xiàn)1(2，0)，F(xiàn)2(2，0)，kMF1，kMF2，kMF1·kMF2.點(diǎn)M(3，m)在雙曲線(xiàn)上，9m26，m23.故kMF1·kMF21，MF1MF2.·0.(3)F1MF2的底|F1F2|4，F(xiàn)1MF2的邊F1F2上的高h(yuǎn)|m|，SF1MF2·|F1F2|·|m|6.11(2014·湛江模擬)已知雙曲線(xiàn)1(a>0，b>0)的右焦點(diǎn)為F(c,0)(1)若雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)方程為yx且c2，求雙曲線(xiàn)的方程；(2)以原點(diǎn)O為圓心，c為半徑作圓，該圓與雙曲線(xiàn)在第一象限的交點(diǎn)為A，過(guò)A作圓的切線(xiàn)，斜率為，求雙曲線(xiàn)的離心率解：(1)雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)為y±x，ab，c2a2b22a24，a2b22，雙曲線(xiàn)方程為1.(2)設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(x0，y0)，直線(xiàn)AO的斜率滿(mǎn)足·()1，x0y0，依題意，圓的方程為x2y2c2，來(lái)源:數(shù)理化網(wǎng)將代入圓的方程得3yyc2，即y0c，x0c，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，來(lái)源:代入雙曲線(xiàn)方程得1，即b2c2a2c2a2b2，又a2b2c2，將b2c2a2代入式，整理得c42a2c2a40，348240，(3e22)(e22)0，e>1，e，雙曲線(xiàn)的離心率為.12設(shè)雙曲線(xiàn)1的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，離心率為2.(1)求此雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)l1，l2的方程；(2)若A，B分別為l1，l2上的點(diǎn)，且2|AB|5|F1F2|，求線(xiàn)段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程，并說(shuō)明軌跡是什么曲線(xiàn)解：(1)e2，c24a2.c2a23，a1，c2.雙曲線(xiàn)方程為y21，漸近線(xiàn)方程為y±x.(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中點(diǎn)M(x，y)2|AB|5|F1F2|，|AB|F1F2|×2c10.10.又y1x1，y2x2,2xx1x2,2yy1y2，y1y2(x1x2)，y1y2(x1x2)， 10，3(2y)2(2x)2100，即1.則M的軌跡是中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為10，短軸長(zhǎng)為的橢圓沖擊名校1已知P是雙曲線(xiàn)1(a>0，b>0)上的點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是其焦點(diǎn)，雙曲線(xiàn)的離心率是，且·0，若PF1F2的面積為9，則ab的值為()A5 B6 C7 D8解析：選C由·0，得，設(shè)|m，|n，不妨設(shè)m>n，則m2n24c2，mn2a，mn9，解得b3，ab7.2過(guò)雙曲線(xiàn)1(a>0，b>0)的右頂點(diǎn)A作斜率為1的直線(xiàn)，該直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的兩條漸近線(xiàn)的交點(diǎn)分別為B，C，若A，B，C三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等比數(shù)列，則雙曲線(xiàn)的離心率為()A. B. C. D.解析：選C由題知A點(diǎn)坐標(biāo)為(a,0)，過(guò)A且斜率為1的直線(xiàn)方程為yxa，由得C，由得B.A，B，C三點(diǎn)橫坐標(biāo)成等比數(shù)列，即b3a，e .高頻滾動(dòng)已知直線(xiàn)xky30所經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)F恰好是橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)，且橢圓C上的點(diǎn)到點(diǎn)F的最大距離為8.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知圓O：x2y21，直線(xiàn)l：mxny1，試證：當(dāng)點(diǎn)P(m，n)在橢圓C上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線(xiàn)l與圓O恒相交，并求直線(xiàn)l被圓O所截得的弦長(zhǎng)L的取值范圍解：(1)直線(xiàn)xky30經(jīng)過(guò)定點(diǎn)F(3,0)，即點(diǎn)F(3,0)是橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)設(shè)橢圓C的方程為1(a>b>0)，因?yàn)闄E圓C上的點(diǎn)到點(diǎn)F的最大距離為8，所以a38，即a5.所以b2523216.所以橢圓C的方程為1.(2)因?yàn)辄c(diǎn)P(m，n)在橢圓C上，所以1，即n216(0m225)所以原點(diǎn)到直線(xiàn)l：mxny1的距離d<1.所以直線(xiàn)l：mxny1與圓O：x2y21恒相交L24(r2d2)4.因?yàn)?m225，所以L(fǎng).即直線(xiàn)l被圓O所截得的弦長(zhǎng)L的取值范圍為.