精品資料第2講 變量間的相關關系與統計案例一、選擇題1有五組變量：汽車的重量和汽車每消耗1升汽油所行駛的平均路程；平均日學習時間和平均學習成績；某人每日吸煙量和身體健康情況；圓的半徑與面積；汽車的重量和每千米耗油量其中兩個變量成正相關的是()A B C D解析 由變量的相關關系的概念知，是正相關，是負相關，為函數關系，故選C.答案 C2已知x，y取值如下表：x014568y1.31.85.66.17.49.3從所得的散點圖分析可知：y與x線性相關，且0.95xa，則a()A1.30 B1.45 C1.65 D1.80解析依題意得，×(014568)4，×(1.31.85.66.17.49.3)5.25.又直線0.95xa必過樣本中心點(，)，即點(4,5.25)，于是有5.250.95×4a，由此解得a1.45，選B.答案B3在研究吸煙與患肺癌的關系中，通過收集數據、整理分析數據得“吸煙與患肺癌有關”的結論，并且有99%以上的把握認為這個結論是成立的，則下列說法中正確的是()A100個吸煙者中至少有99人患有肺癌B1個人吸煙，那么這人有99%的概率患有肺癌C在100個吸煙者中一定有患肺癌的人D在100個吸煙者中可能一個患肺癌的人也沒有解析統計的結果只是說明事件發(fā)生可能性的大小，具體到一個個體不一定發(fā)生答案D4某產品的廣告費用x與銷售額y的統計數據如下表：廣告費用x(萬元)4235銷售額y(萬元)49263954根據上表可得回歸方程x中的為9.4，據此模型預報廣告費用為6萬元時銷售額為 ()A63.6萬元 B65.5萬元C67.7萬元 D72.0萬元解析3.5(萬元)，42(萬元)，429.4×3.59.1，回歸方程為9.4x9.1，當x6(萬元)時，9.4×69.165.5(萬元)答案B5為了解兒子身高與其父親身高的關系，隨機抽取5對父子的身高數據如下：父親身高x/cm174176176176178兒子身高y/cm175175176177177則y對x的線性回歸方程為 ()Ayx1 Byx1Cy88x Dy176解析由題意得176(cm)，176(cm)，由于(，)一定滿足線性回歸方程，經驗證知選C.答案C6已知數組(x1，y1)，(x2，y2)，(x10，y10)滿足線性回歸方程bxa，則“(x0，y0)滿足線性回歸方程bxa”是“x0，y0”的()A充分不必要條件 B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件解析x0，y0為這10組數據的平均值，又因為線性回歸方程bxa必過樣本中心(，)，因此(，)一定滿足線性回歸方程，但滿足線性回歸方程的除了(，)外，可能還有其他樣本點答案B二、填空題7已知施化肥量x與水稻產量y的試驗數據如下表，則變量x與變量y是_相關(填“正”或“負”).施化肥量x15202530354045水稻產量y330345365405445450455解析因為散點圖能直觀地反映兩個變量是否具有相關關系，所以畫出散點圖如圖所示：通過觀察圖象可知變量x與變量y是正相關 答案正8考古學家通過始祖鳥化石標本發(fā)現：其股骨長度x(cm)與肱骨長度y(cm)的線性回歸方程為1.197x3.660，由此估計，當股骨長度為50 cm時，肱骨長度的估計值為_ cm.解析根據線性回歸方程1.197x3.660，將x50代入得y56.19，則肱骨長度的估計值為56.19 cm.答案56.199某醫(yī)療研究所為了檢驗某種血清預防感冒的作用，把500名使用血清的人與另外500名未使用血清的人一年中的感冒記錄作比較，提出假設H0：“這種血清不能起到預防感冒的作用”，利用2×2列聯表計算得K23.918，經查臨界值表知P(K23.841)0.05.則下列結論中，正確結論的序號是_有95%的把握認為“這種血清能起到預防感冒的作用”；若某人未使用該血清，那么他在一年中有95%的可能性得感冒；這種血清預防感冒的有效率為95%；這種血清預防感冒的有效率為5%.解析 K23.918>3.841，而P(K23.841)0.05，所以有95%的把握認為“這種血清能起到預防感冒的作用”；但檢驗的是假設是否成立和該血清預防感冒的有效率是沒有關系的，不是同一個問題，不要混淆，正確序號為.答案 10某數學老師身高176 cm，他爺爺、父親和兒子的身高分別是173 cm、170 cm和182 cm.因兒子的身高與父親的身高有關，該老師用線性回歸分析的方法預測他孫子的身高為_ cm.解析由題意父親身高x cm與兒子身高y cm對應關系如下表：x173170176y170176182則173，176，(xi)(yi)(173173)×(170176)(170173)×(176176)(176173)(182176)18，(xi)2(173173)2(170173)2(176173)218.1. 1761733.線性回歸直線方程xx3.可估計孫子身高為1823185(cm)答案185三、解答題7某班主任對全班50名學生進行了作業(yè)量多少的調查數據如下表：認為作業(yè)多認為作業(yè)不多合計喜歡玩游戲189不喜歡玩游戲815合計(1)請完善上表中所缺的有關數據；(2)試通過計算說明在犯錯誤的概率不超過多少的前提下認為喜歡玩游戲與作業(yè)量的多少有關系？附：P(K2k0)0.050.0250.0100.0050.001k03.8415.0246.6357.87910.828K2解(1)認為作業(yè)多認為作業(yè)不多合計喜歡玩游戲18927不喜歡玩游戲81523合計262450(2)將表中的數據代入公式K2得到K2的觀測值k5.059>5.024，查表知P(K25.024)0.025，即說明在犯錯誤的概率不超過0.025的前提下認為喜歡玩游戲與作業(yè)量的多少有關系8下表提供了某廠節(jié)能降耗技術改造后生產甲產品過程中記錄的產量x(噸)與相應的生產能耗y(噸標準煤)的幾組對照數據.x3456y2.5344.5(1)請畫出上表數據的散點圖；(2)請根據上表提供的數據，用最小二乘法求出y關于x的線性回歸方程x；(3)已知該廠技改前生產100噸甲產品的生產能耗為90噸標準煤試根據(2)求出的線性回歸方程，預測生產100噸甲產品的生產能耗比技改前降低多少噸標準煤？(參考數值：3×2.54×35×46×4.566.5)解(1)由題設所給數據，可得散點圖如圖所示(2)由對照數據，計算得：86，4.5(噸)，3.5(噸)已知iyi66.5，所以，由最小二乘法確定的回歸方程的系數為：0.7，3.50.7×4.50.35.因此，所求的線性回歸方程為0.7x0.35.(3)由(2)的回歸方程及技改前生產100噸甲產品的生產能耗，得降低的生產能耗為：90(0.7×1000.35)19.65(噸標準煤)5某農科所對冬季晝夜溫差大小與某反季節(jié)大豆新品種發(fā)芽多少之間的關系進行分析研究，他們分別記錄了12月1日至12月5日的每天晝夜溫差與實驗室每天每100顆種子中的發(fā)芽數，得到如下資料：日期12月1日12月2日12月3日12月4日12月5日溫差x/101113128發(fā)芽數y/顆2325302616該農科所確定的研究方案是：先從這五組數據中選取2組，用剩下的3組數據求線性回歸方程，再對被選取的2組數據進行檢驗(1)求選取的2組數據恰好是不相鄰2天數據的概率；(2)若選取的是12月1日與12月5日的兩組數據，請根據12月2日至12月4日的數據，求出y關于x的線性回歸方程x.解(1)設抽到不相鄰兩組數據為事件A，因為從5組數據中選取2組數據共有10種情況，每種情況都是等可能出現的，其中抽到相鄰兩組數據的情況有4種，所以P(A)1.(2)由數據，求得12，27.11×2513×3012×26977,112132122434，由公式，求得， 3.所以y關于x的線性回歸方程為x3.6有甲、乙兩個班級進行數學考試，按照大于等于85分為優(yōu)秀，85分以下為非優(yōu)秀統計成績后，得到如下的列聯表.優(yōu)秀非優(yōu)秀總計甲班10乙班30合計105已知從全部105人中隨機抽取1人為優(yōu)秀的概率為.(1)請完成上面的列聯表；(2)根據列聯表的數據，若按95%的可靠性要求，能否認為“成績與班級有關系”；(3)若按下面的方法從甲班優(yōu)秀的學生中抽取一人：把甲班優(yōu)秀的10名學生從2到11進行編號，先后兩次拋擲一枚均勻的骰子，出現的點數之和為被抽取人的序號試求抽到6號或10號的概率附K2，P(K2k)0.050.01k3.8416.635解(1)優(yōu)秀非優(yōu)秀總計甲班104555乙班203050合計3075105(2)根據列聯表中的數據，得到k6.1093.841，因此有95%的把握認為“成績與班級有關系”(3)設“抽到6號或10號”為事件A，先后兩次拋擲一枚均勻的骰子，出現的點數為(x，y)，則所有的基本事件有(1,1)、(1,2)、(1,3)、(6,6)，共36個事件A包含的基本事件有(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，(4,6)，(5,5)，(6,4)，共8個，P(A).