精品資料 第 2 講 命題及其關(guān)系、充要條件 一、填空題 1在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，直線 x(m1)y2m 與直線 mx2y8 互相垂直的充要條件是 m_. 解析 x(m1)y2m 與 mx2y8 垂直1 m(m1) 20m23. 答案 23 2對(duì)于定義在 R 上的函數(shù) f(x)，給出三個(gè)命題： 若 f(2)f(2)，則 f(x)為偶函數(shù)；若 f(2)f(2)，則 f(x)不是偶函數(shù)；若 f(2)f(2)，則 f(x)一定不是奇函數(shù)其中正確命題的序號(hào)為_(kāi) 解析 設(shè) f(x)x(x24)，則 f(2)f(2)，但 f(x)是奇函數(shù)；正確；設(shè)f(x)0(xR)，則 f(2)f(2)0，f(x)是奇函數(shù)所以正確 答案 3下列命題是假命題的是_(填序號(hào)) 命題“若 x1，則 x23x20”的逆否命題是“若 x23x20，則 x1”； 若 0 x2，且 xsin x1，則 xsin2x2”是“3x110”的充分不必要條件 解析 正確；由 0 x2，得 0sin x1，又 xsin x1，則 xsin2xsin x1，正確；射影可能是點(diǎn)，不正確；由3x110，得 x1 或 x2，所以正確 答案 4 “a3”是“直線 ax3y0 與直線 2x2y3 平行”的_條件 解析 本題考查了充分、必要條件的判斷及兩直線平行的充要條件解決本題的關(guān)鍵是牢記兩直線平行的充要條件直線 ax3y0 與直線 2x2y3平行的充要條件是a23203，解得 a3. 答案 充要條件 5有下面四個(gè)判斷： 命題“設(shè) a、bR，若 ab6，則 a3 或 b3”是一個(gè)假命題； 若“p 或 q”為真命題，則 p、q 均為真命題； 命題“a、 bR， a2b22(ab1)”的否定是“a、 bR， a2b22(ab1)”； 若函數(shù) f(x)lna2x1的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則 a3. 其中正確的有_個(gè) 解析 對(duì)于：此命題的逆否命題為“設(shè) a、bR，若 a3 且 b3，則 ab6”，此命題為真命題，所以原命題也是真命題，錯(cuò)誤；“p 或 q”為真，則 p、q 至少有一個(gè)為真命題，錯(cuò)誤；“a、bR，a2b22(ab1)”的否定是“a、bR，a2b22(ab1)”，錯(cuò)誤；對(duì)于：若 f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則 f(x)為奇函數(shù)，則 f(0)ln(a2)0，解得 a1，錯(cuò)誤 答案 0 6給出下列命題： p：函數(shù) f(x)sin4xcos4x 的最小正周期是 ； q：xR，使得 log2(x1)0； r：已知向量 a(，1)，b(1，2)，c(1,1)，則(ab)c 的充要條件是 1. 其中所有的真命題是_ 解析 本題考查簡(jiǎn)易邏輯中的相關(guān)知識(shí)對(duì)于 p：f(x)sin4xcos4x(sin2xcos2x) (sin2xcos2x)cos 2x， 最小正周期 T， 故 p 為真命題； 對(duì)于 q：因?yàn)?log2(x1)的范圍是 R， 所以xR， 使得 log2(x1)0 和 a2x2b2xc20 的解集分別為 P、 Q， 則a1a2b1b2c1c2是 PQ 的充分必要條件 其中正確的命題是_ 解析 ABC 中，由 a2b2c2abacbc，得(ab)2(ac)2(bc)20，則 abc；若ABC 是等邊三角形，則 abc，故 abacbca2b2c2，故正確SnAn2Bn 是數(shù)列an為等差數(shù)列的充要條件，故錯(cuò)顯然正確對(duì)于，由于兩不等式的系數(shù)不確定，由a1a2b1b2c1c2不能推出 PQ；反之 PQ 時(shí)，若 PQ，則不一定有a1a2b1b2c1c2，故a1a2b1b2c1c2是 PQ 的既不充分也不必要條件 答案 8關(guān)于 x 的方程 x2(2a1)xa220 至少有一個(gè)非負(fù)實(shí)根的充要條件的 a的取值范圍是_ 解析 設(shè)方程的兩根分別為 x1，x2，當(dāng)有一個(gè)非負(fù)實(shí)根時(shí)，x1x2a220，即 2a 2； 當(dāng)有兩個(gè)非負(fù)實(shí)根時(shí)，（2a1）24（a22）0，x1x22a10，x1x2a2204a9，a12，a 2或a 2. 即 2a94.綜上，得 2a94. 答案 2，94 9若三條拋物線 yx24ax4a3，yx2(a1)xa2，yx22ax2a 中至少有一條與 x 軸有公共點(diǎn)，則 a 的取值范圍是_ 解析 假設(shè)這三條拋物線與 x 軸均無(wú)公共點(diǎn)，則 1（4a）24（4a3）0，2（a1）24a20，34a24（2a）0，解得32a1. 記 A32，1 ，則所求 a 的范圍是 RA，321，) 答案 ，321，) 10使得關(guān)于 x 的方程 ax22x10 至少有一個(gè)負(fù)實(shí)根的充要條件的 a 的取值范圍是_ 解析 當(dāng) a0 時(shí)，原方程變形為一元一次方程 2x10，有一個(gè)負(fù)實(shí)根，當(dāng)a0時(shí)， 原方程為一元二次方程， 有實(shí)根的充要條件是44a0， 即a1， 設(shè)兩根分別為 x1，x2，則 x1x22a，x1x21a， 當(dāng)有一負(fù)實(shí)根時(shí)，a1，1a0a0， 有兩個(gè)負(fù)實(shí)根時(shí)，a1，2a0，0a1.1a0綜上所述，a1. 答案 (，1 二、解答題 11(1)是否存在實(shí)數(shù) p，使“4xp0”的充分條件？如果存在，求出 p 的取值范圍； (2)是否存在實(shí)數(shù) p，使“4xp0”的必要條件？如果存在，求出 p 的取值范圍 解：(1)當(dāng) x2 或 x0， 由 4xp0 得 xp4，故p41 時(shí)， “xp4”“x0” p4 時(shí)，“4xp0”的充分條件 (2)若“4xp0”的必要條件，則 x2x20 的解集是 4xp0 的解集的子集， 由題知不存在 故不存在實(shí)數(shù) p， 使“4xp0”的必要條件 12已知函數(shù) f(x)是(，)上的增函數(shù)，a，bR.若 ab0，則 f(a)f(b)f(a)f(b) 問(wèn)：這個(gè)命題的逆命題是否成立，并給出證明 解 逆命題為“已知函數(shù) f(x)是(，)上的增函數(shù)，a，bR，若 f(a)f(b)f(a)f(b)，則 ab0” 該命題是真命題，證明如下： 法一 (利用原命題的逆命題與否命題等價(jià)證明)： 若 ab0，則 ab，ba， 因?yàn)?f(x)是(，)上的增函數(shù)， 所以 f(a)f(b)，f(b)f(a)， 因此 f(a)f(b)f(a)f(b)， 因?yàn)樵}的逆命題與它的否命題等價(jià)，所以該命題正確 法二 (用反證法給出證明)： 假設(shè) ab0，則 ab，ba， 因?yàn)?f(x)在(，)上的增函數(shù)， 所以 f(a)f(b)，f(b)f(a)， 因此 f(a)f(b)f(a)f(b)， 這與f(a)f(b)f(a)f(b)矛盾，該命題正確 13已知 p：|x3|2，q：(xm1)(xm1)0，若綈 p 是綈 q 的充分而不必要條件，求實(shí)數(shù) m 的取值范圍 解 由題意 p：2x32，1x5. 綈 p：x5. q：m1xm1，綈 q：xm1. 又綈 p 是綈 q 的充分而不必要條件， m11，m15.2m4. 14已知全集 UR，非空集合 Ax x2x3a10 ，Bx xa22xa0 . (1)當(dāng) a12時(shí)，求(UB)A； (2)命題 p：xA，命題 q：xB，若 q 是 p 的必要條件，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍 解 (1)當(dāng) a12時(shí)， A x x2x520 x 2x52， B x x94x120 x 12x94， UBx x12或x94. (UB)Ax 94xa，Bx|ax2，即 a13時(shí)，Ax|2x3a1 p 是 q 的充分條件，AB. a23a1a22，即13a3 52. 當(dāng) 3a12，即 a13時(shí)，A，不符合題意； 當(dāng) 3a12，即 a13時(shí)，Ax|3a1x2， 由 AB 得 a3a1a222，12a13. 綜上所述：a12，1313，3 52