精品資料選修系列4學(xué)案69幾何證明選講(一)相似三角形的進(jìn)一步認(rèn)識(shí)導(dǎo)學(xué)目標(biāo)： 1.了解平行線等分線段定理和平行線分線段成比例定理；2.掌握相似三角形的判定定理及性質(zhì)定理；3.理解直角三角形射影定理自主梳理1平行線等分線段定理如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那么在任一條(與這組平行線相交的)直線上截得的線段也相等2平行線分線段成比例定理兩條直線與一組平行線相交，它們被這組平行線截得的對(duì)應(yīng)線段_推論1平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或_)，所得的對(duì)應(yīng)線段_推論2平行于三角形的一邊，并且和其他兩邊_的直線所截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對(duì)應(yīng)_推論3三角形的一個(gè)內(nèi)角平分線分對(duì)邊所得的兩條線段與這個(gè)角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例3相似三角形的判定判定定理1對(duì)于任意兩個(gè)三角形，如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似簡(jiǎn)述為：兩角對(duì)應(yīng)_的兩個(gè)三角形相似判定定理2對(duì)于任意兩個(gè)三角形，如果一個(gè)三角形的兩邊和另一個(gè)三角形的兩邊對(duì)應(yīng)成比例，并且?jiàn)A角相等，那么這兩個(gè)三角形相似簡(jiǎn)述為：兩邊對(duì)應(yīng)成比例且_相等的兩個(gè)三角形相似判定定理3對(duì)于任意兩個(gè)三角形，如果一個(gè)三角形的三條邊和另一個(gè)三角形的三條邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)三角形相似簡(jiǎn)述為：三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似4相似三角形的性質(zhì)(1)相似三角形對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)中線的比和對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比；(2)相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比；(3)相似三角形面積的比等于相似比的平方5直角三角形射影定理直角三角形一條直角邊的平方等于該直角邊在_與斜邊的_，斜邊上的高的_等于兩條直角邊在斜邊上的射影的乘積自我檢測(cè)1如果梯形的中位線的長(zhǎng)為6 cm，上底長(zhǎng)為4 cm，那么下底長(zhǎng)為_(kāi)cm.2如圖，在ABC中，EDBC，EFBD，則下列四個(gè)結(jié)論正確的是(填序號(hào))_；.3如圖，在RtABC中，ACB90°，CDAB于點(diǎn)D，CD2，BD3，則AC_.第3題圖第4題圖4如圖所示，在ABC中，AD是BAC的平分線，AB5 cm，AC4 cm，BC7 cm，則BD_cm.5(2011·陜西)如圖，BD，AEBC，ACD90°，且AB6，AC4，AD12，則BE_.探究點(diǎn)一確定線段的n等分點(diǎn)例1已知線段PQ，在線段PQ上求作一點(diǎn)D，使PDDQ21.變式遷移1已知ABC，D在AC上，ADDC21，能否在AB上找到一點(diǎn)E，使得線段EC的中點(diǎn)在BD上探究點(diǎn)二平行線分線段成比例定理的應(yīng)用例2在ABC的邊AB、AC上分別取D、E兩點(diǎn)，使BDCE，DE的延長(zhǎng)線交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.求證：.變式遷移2 如圖，已知ABCDEF，ABa，CDb(0<a<b)，AEECmn(0<m<n)，求EF.探究點(diǎn)三相似三角形的判定及性質(zhì)的應(yīng)用例3如圖，已知梯形ABCD中，ABCD，過(guò)D與BC平行的直線交AB于點(diǎn)E，ACEABC，求證：AB·CEAC·DE.變式遷移3 如圖，已知ABCD中，G是DC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，AG分別交BD和BC于E、F兩點(diǎn)，證明AF·ADAG·BF.1用添加平行輔助線的方法構(gòu)造使用平行線等分線段定理與平行線分線段成比例定理的條件特別是在使用平行線分線段成比例定理及推論時(shí)，一定要注意對(duì)應(yīng)線段，對(duì)應(yīng)邊2利用平行線等分線段定理將某線段任意等分，需要過(guò)線段的一個(gè)端點(diǎn)作輔助線，在作圖時(shí)要注意保留作圖痕跡3在證明兩個(gè)或兩個(gè)以上的比例式相等時(shí)，需要找第三個(gè)比例式與它們都相等，可考慮利用平行線分線段成比例定理或推論，也可以考慮用線段替換及等比定理，由相等的傳遞性得出結(jié)論4判定兩個(gè)三角形相似，根據(jù)題設(shè)條件選擇使用三角形相似的判定定理(滿分：90分)一、填空題(每小題6分，共48分)1如圖所示，l1l2l3，下列比例式正確的有_(填序號(hào))(1)；(2)；(3)；(4).2如圖所示，D是ABC的邊AB上的一點(diǎn)，過(guò)D點(diǎn)作DEBC交AC于E.已知，則_.3如圖，在四邊形ABCD中，EFBC，F(xiàn)GAD，則_.4在直角三角形中，斜邊上的高為6，斜邊上的高把斜邊分成兩部分，這兩部分的比為32，則斜邊上的中線的長(zhǎng)為_(kāi)5(2010·蘇州模擬)如圖，在梯形ABCD中，ADBC，BD與AC相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O的直線分別交AB，CD于E，F(xiàn)，且EFBC，若AD12，BC20，則EF_.6如圖所示，在ABC中，ADBC，CE是中線，DCBE，DGCE于G，EC的長(zhǎng)為4，則EG_.7(2010·天津武清一模)如圖，在ABC中，AD平分BAC，DEAC，EFBC，AB15，AF4，則DE_.8如圖所示，BD、CE是ABC的中線，P、Q分別是BD、CE的中點(diǎn)，則_.二、解答題(共42分)9(14分)如圖所示，在ABC中，CAB90°，ADBC于D，BE是ABC的平分線，交AD于F，求證：.10(14分)如圖，ABC中，D是BC的中點(diǎn)，M是AD上一點(diǎn)，BM、CM的延長(zhǎng)線分別交AC、AB于F、E.求證：EFBC.11(14分)(2010·蘇州模擬)如圖，在四邊形ABCD中，AC與BD相交于O點(diǎn)，直線l平行于BD且與AB，DC，BC，AD及AC的延長(zhǎng)線分別相交于點(diǎn)M，N，R，S和P，求證：PM·PNPR·PS.學(xué)案69幾何證明選講(一)相似三角形的進(jìn)一步認(rèn)識(shí)答案自主梳理2成比例兩邊的延長(zhǎng)線成比例相交成比例3.相等夾角5.斜邊上的射影乘積平方自我檢測(cè)1823解析由射影定理：CD2AD·BD.AD，AC.4解析，BDcm.54解析AC4，AD12，ACD90°，CD2AD2AC2128，CD8.又AEBC，BD，ABEADC，BE4.課堂活動(dòng)區(qū)例1解題導(dǎo)引利用平行線等分線段定理可對(duì)線段任意等分，其作圖步驟為：首先作出輔助射線，然后在射線上依次截取任意相同長(zhǎng)度的n條線段，最后過(guò)輔助線上的各等分點(diǎn)作平行線，確定所求線段的n等分點(diǎn)解在線段PQ上求作點(diǎn)D，使PDDQ21，就是要作出線段PQ上靠近Q點(diǎn)的一個(gè)三等分點(diǎn)，通過(guò)線段PQ的一個(gè)端點(diǎn)作輔助射線，并取線段的三等分點(diǎn)，利用平行線等分線段定理確定D點(diǎn)的位置作法：作射線PN.在射線PN上截取PB2a，BCa.連結(jié)CQ.過(guò)點(diǎn)B作CQ的平行線，交PQ于D.點(diǎn)D即為所求的點(diǎn)變式遷移1解假設(shè)能找到，如圖，設(shè)EC交BD于點(diǎn)F，則F為EC的中點(diǎn)，作EGAC交BD于G.EGAC，EFFC，EGFCDF，且EGDC，EG綊AD，BEGBAD，E為AB的中點(diǎn)當(dāng)E為AB的中點(diǎn)時(shí)，EC的中點(diǎn)在BD上例2解題導(dǎo)引證明線段成比例問(wèn)題，一般有平行的條件可考慮用平行線分線段成比例定理或推論，也可以用三角形相似或考慮用線段替換等方法證明作EGAB交BC于G，如圖所示，CEGCAB，即，又，.變式遷移2 解如圖，過(guò)點(diǎn)F作FHEC，分別交BA，DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，H，由EFABCD及FHEC，知AGCHEF，F(xiàn)GAE，F(xiàn)HEC.從而FGFHAEECmn.由BGDH，知BGDHFGFHmn.設(shè)EFx，則得(xa)(xb)mn.解得x，即EF.例3解題導(dǎo)引有關(guān)兩線段的比值的問(wèn)題，除了應(yīng)用平行線分線段成比例定理外，也可利用相似三角形的判定和性質(zhì)求解解題中要注意觀察圖形特點(diǎn)，巧添輔助線，對(duì)解題可起到事半功倍的效果證明方法一ABCD，即.DEBC，即.由得，F(xiàn)DCECF，DECFEC，EFCECD.由得，即AB·CEAC·DE.方法二ABCD，DEBC，BEDC是平行四邊形DEBC.ACEABC，EACBAC，AECACB.，即AB·CEAC·DE.變式遷移3 證明因?yàn)樗倪呅蜛BCD為平行四邊形，所以ABDC，ADBC.所以ABFGCF，GCFGDA.所以ABFGDA.從而有，即AF·ADAG·BF.課后練習(xí)區(qū)1(4)解析由平行線分線段成比例定理可知(4)正確2解析由知，故.31解析EFBC，又FGAD，1.4解析設(shè)斜邊上的兩段的長(zhǎng)分別為3t,2t，由直角三角形中的射影定理知：623t·2t，解得t(t>0，舍去負(fù)根)，所以斜邊的長(zhǎng)為5，故斜邊上的中線的長(zhǎng)為.515解析ADBC，OEAD，OEAD×12，同理可求得OFBC×20，EFOEOF15.62解析連結(jié)DE，因?yàn)锳DBC，所以ADB是直角三角形，則DEABBEDC.又因?yàn)镈GCE于G，所以DG平分CE，故EG2.76解析設(shè)DEx，DEAC，解得BE.又AD平分BAC，解得x6.8解析連結(jié)DE，延長(zhǎng)QP交AB于N，則得PQBC.9證明由三角形的內(nèi)角平分線定理得，在ABD中，在ABC中，(4分)在RtABC中，由射影定理知，AB2BD·BC，即.(8分)由得：，(12分)由得：.(14分)10證明延長(zhǎng)AD至G，使DGMD，連結(jié)BG、CG.BDDC，MDDG，四邊形BGCM為平行四邊形(4分)ECBG，F(xiàn)BCG，(12分)EFBC.(14分)11證明BOPM，(4分)DOPS，.(6分)即，由BOPR得.(10分)由DOPN得.(12分)，即，.PM·PNPR·PS.(14分)