精品資料學案71矩陣與變換(一)二階矩陣與變換導學目標： 1.了解矩陣的有關概念，理解二階矩陣與平面列向量的乘法.2.了解幾種常見的平面變換，理解矩陣對應的變換把平面上的直線變成直線(或者點).3.理解二階矩陣的乘法及簡單性質自主梳理1線性變換與二階矩陣在平面直角坐標系xOy中，由(其中a，b，c，d是常數(shù))構成的變換稱為線性變換由四個數(shù)a，b，c，d排成的正方形數(shù)表稱為_，其中a，b，c，d稱為矩陣的_，矩陣通常用大寫字母A，B，C，或(aij)表示(其中i，j分別為元素aij所在的行和列)2矩陣的乘法行矩陣a11a12與列矩陣的乘法規(guī)則為a11a12a11b11a12b21，二階矩陣與列矩陣的乘法規(guī)則為.矩陣乘法滿足結合律，不滿足交換律和消去律3幾種常見的線性變換(1)恒等變換矩陣M；(2)旋轉變換R對應的矩陣是M_；(3)反射變換要看關于哪條直線對稱例如若關于x軸對稱，則變換對應矩陣為M1；若關于y軸對稱，則變換對應矩陣為M2_；若關于坐標原點對稱，則變換對應矩陣M3_；(4)伸壓變換對應的二階矩陣M，表示將每個點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼腳倍，縱坐標變?yōu)樵瓉淼腳倍，k1，k2均為非零常數(shù)；(5)投影變換要看投影在什么直線上，例如關于x軸的投影變換的矩陣為M_；(6)切變變換要看沿什么方向平移，若沿x軸平移|ky|個單位，則對應矩陣M_，若沿y軸平移|kx|個單位，則對應矩陣M.(其中k為非零常數(shù))4線性變換的基本性質設向量，規(guī)定實數(shù)與向量的乘積_；設向量，規(guī)定向量與的和_.(1)設M是一個二階矩陣，、是平面上的任意兩個向量，是一個任意實數(shù)，則M()_，M()_.(2)二階矩陣對應的變換(線性變換)把平面上的直線變成直線(或一點)自我檢測1點A(3，6)在矩陣對應的變換作用下得到的點的坐標是_2設，則它表示的方程組為_3設矩陣A，矩陣A所確定的變換將點P(x，y)變換成點Q，則Q點的坐標為_4設OAB的三個點坐標為O(0,0)，A(A1，A2)，B(B1，B2)，在矩陣M對應的變換下作用后形成OAB，則OAB與OAB的面積之比為_5二階矩陣M對應的變換將點(1，1)與(2,1)分別變?yōu)辄c(1，1)與(0，2)(1)求矩陣M；(2)設直線l在矩陣M對應的變換作用下得到直線m：xy40，求l的方程探究點一幾種常見的變換例1 試討論下列矩陣將所給圖形變成了什么圖形，并指出該變換是什么變換(1)，方程為y2x2；(2)，點A(2,5)；(3)，曲線方程為x2y24.變式遷移1 將點(2,4)先經(jīng)過矩陣變換后，再繞原點逆時針旋轉90角所得的點坐標為_探究點二矩陣的乘法及幾何意義例2 驗證下列等式，并從幾何變換的角度給予解釋：.變式遷移2 已知矩陣M和N，求證：MNNM.探究點三矩陣與變換的綜合應用例3 已知兩個城市甲與乙間的交通有陸路和航空兩種，其陸路可用矩陣表示為M，航空可用矩陣表示為N.(1)試從NM的結果中說明在這個網(wǎng)絡里可以進行怎樣的旅行？(2)請計算M2，并據(jù)此矩陣說明網(wǎng)絡里可以進行怎樣的旅行？(3)請計算MNM，并據(jù)此說明網(wǎng)絡里可以做怎樣的旅行？變式遷移3 已知A，B，試求AB，并對其幾何意義給予解釋1常見的變換矩陣(1)恒等變換矩陣為M；(2)伸壓變換矩陣為M或M；(3)反射變換矩陣為M1，M2，M3；(4)旋轉變換矩陣為M；(5)投影變換矩陣為M1，M2，M3；(6)切變變換矩陣為M或M.2矩陣的乘法不滿足交換律，不滿足消去律，但滿足結合律設A，B，則AB.(滿分：90分)一、填空題(每小題6分，共48分)1矩陣(左)乘向量的法則是_2(2010龍巖一模)在某個旋轉變換中，順時針旋轉所對應的變換矩陣為_3直線2xy10經(jīng)矩陣M的變換后得到的直線方程為_4設a，bR，若矩陣A將直線l：xy10變?yōu)橹本€xy20，則a_，b_.5已知A，B，C.則AB_，AC_.6曲線ysin x在矩陣MN變換下的函數(shù)解析式為_(其中M，N.)7(2010南京二模)在直角坐標系中，OAB的頂點坐標O(0,0)，A(2,0)，B(1，)，OAB在矩陣MN的作用下變換所得的圖形的面積為_(其中矩陣M，N)8已知二階矩陣M滿足M，M，則M2_.二、解答題(共42分)9(14分)(2011江蘇)已知矩陣A，向量.求向量，使得A2.10(14分)(2010江蘇)在平面直角坐標系xOy中，已知點A(0,0)，B(2,0)，C(2,1)設k為非零實數(shù)，矩陣M，N，點A、B、C在矩陣MN對應的變換下得到的點分別為A1、B1、C1，A1B1C1的面積是ABC的面積的2倍，求k的值11(14分)(2010福建)已知矩陣M，N，且MN.求實數(shù)a，b，c，d的值；求直線y3x在矩陣M所對應的線性變換作用下的象的方程學案71矩陣與變換(一)二階矩陣與變換答案自主梳理1二階矩陣元素3.(2)(3)(4)k1k2(5)(6)4.(1)MMM自我檢測1(9，3)2.3.(xy，y)411解析由題意知TM為切變變換，故變換前后圖形面積大小不變5(1)(2)xy20解析(1)設M，則，.由聯(lián)立得a1，b2，c3，d4，故M.(2)設(x，y)為l上任意一點，在經(jīng)矩陣M變換下對應的點為(x，y)，則，代入xy40得xy20，即xy20.課堂活動區(qū)例1 解題導引對于已知變換前后的象和原象，要求變換矩陣這類問題，我們顯然無法對所有的變換進行一一嘗試，用待定系數(shù)法解題可起到事半功倍的效果通過具體的矩陣對平面上給定圖形(如正方形、三角形)的變換，應充分地認識到矩陣可表示如下的線性變換：恒等、反射、伸壓、旋轉、切變、投影解(1)所給方程表示的是一條直線設A(x，y)為直線上的任意一點，經(jīng)過變換后的點為A(x，y)，xx，yy.變換后的方程仍為y2x2.該變換是恒等變換(2)經(jīng)過變化后變?yōu)?2,5)，它們關于y軸對稱，故該變換為關于y軸的反射變換(3)所給方程是以原點為圓心，2為半徑的圓，設A(x，y)為曲線上的任意一點，經(jīng)過變換后的點為A1(x1，y1)，則，2xx1，yy1.將之代入到x2y24可得方程4，此方程表示橢圓，所給方程表示的是圓，該變換是伸壓變換變式遷移1 (8,2)解析由題意知例2 解題導引熟悉六種線性變換，方可理解矩陣乘法的幾何意義矩陣乘法MN的幾何意義為對向量連續(xù)依次實施的兩次幾何變換(先TN后TM)的復合變換因為矩陣的乘法運算不滿足變換律，對應地，對一個向量a先實施變換f，再實施變換g與先實施變換g，再實施變換f，其結果通常也是不一樣的因而做題時必須認真審題弄清題意，不能混淆f(g(a)和g(f(a)解等式右邊表示的是對點(x，y)先作沿x軸的切變變換得(xy，y)，再將所得的點進行保持橫坐標不變，縱坐標變?yōu)樵瓉淼?倍的伸壓變換得(xy,2y)，最后將得到的點作沿y軸的切變變換得(xy，x3y)等式左邊表示的是將點(x，y)作如下變換：，即它也是將點(x，y)變成了點(xy，x3y)，因此，等式兩邊表示的變換相同，所以有變式遷移2 解MN，NM，故MNNM.例3 解題導引M的意義表示陸路的網(wǎng)絡圖為甲乙；N的意義表示航空的網(wǎng)絡圖為甲乙解(1)NM，這說明，在此網(wǎng)絡中可以選擇先陸路后航空的旅行(2)M2，這說明，在此網(wǎng)絡中可以選擇先陸路后再陸路的旅行(3)MNM，這說明，在此網(wǎng)絡中可以選擇先陸路，再航空，然后再陸路的旅行變式遷移3 解ABAB表示的變換為逆時針旋轉.A表示逆時針旋轉，B表示逆時針旋轉.課后練習區(qū)1.2.解析順時針旋轉即逆時針旋轉，變換矩陣為.32xy10解析由變換矩陣M知坐標變換公式為，即，代入直線方程2xy10得2xy10.即2xy10.421解析在直線l上任取一點P(x，y)，經(jīng)矩陣變換后為點P(x，y)，則由，得所以axyby20，即ax(1b)y20，于是由，解得a2，b1.5.，解析AB，AC.6y2sin 2x解析MN，即在矩陣MN變換下，則ysin 2x，即曲線ysin x在矩陣MN變換下的函數(shù)解析式為y2sin 2x.71解析MN，.可知O，A，B三點在矩陣MN作用下變換所得的點分別為O(0,0)，A(2,0)，B(2，1)可知OAB的面積為1.8.解析設M，由M得，所以a1，c0.由M得，所以b1，d2.所以M.所以M2.所以M2.9解A2.(4分)設，由A2，得，(7分)從而解得所以.(14分)10解由題設得MN.(4分)由，可知A1(0,0)，B1(0，2)，C1(k，2)(10分)計算得ABC的面積是1，A1B1C1的面積是|k|，由題設知|k|212，所以k的值為2或2.(14分)11解方法一由題設得解得(6分)因為矩陣M對應的線性變換將直線變成直線(或點)，所以可取直線y3x上的兩點(0,0)，(1,3)由，得點(0,0)，(1,3)在矩陣M所對應的線性變換作用下的象分別是點(0,0)，(2,2)(12分)從而直線y3x在矩陣M所對應的線性變換作用下的象的方程為yx.(14分)方法二同方法一設直線y3x上的任意點(x，y)在矩陣M所對應的線性變換作用下的象是點(x，y)，由得yx，即點(x，y)必在直線yx上由(x，y)的任意性可知，直線y3x在矩陣M所對應的線性變換作用下的象的方程為yx.