精品資料第五節(jié)數(shù)列的綜合問題 考點一等差、等比數(shù)列的綜合問題 例1在數(shù)列an中，a11，a22，且an1(1q)anqan1(n2，q0)(1)設(shè)bnan1an(nN*)，證明：bn是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列an的通項公式；(3)若a3是a6與a9的等差中項，求q的值，并證明：此時對任意的nN*，an是an3與an6的等差中項自主解答(1)證明：由題設(shè)an1(1q)anqan1(n2)，得an1anq(anan1)，即bnqbn1，n2.又b1a2a11，q0，所以bn是首項為1，公比為q的等比數(shù)列(2)由(1)，得a2a11，a3a2q，anan1qn2(n2)將以上各式相加，得ana11qq2qn2(n2)所以當n2時，有an上式對n1也成立，所以數(shù)列an的通項公式為an(3)由(2)，得當q1時，顯然a3不是a6與a9的等差中項，故q1.由a3是a6與a9的等差中項，即2a3a6a9，可得2q2q5q8，由q0，得q6q320，整理，得(q3)2q320，解得q32或q31(舍去)于是q.而an1，an31，an61，所以an3an6222222an.所以對任意的nN*，an是an3與an6的等差中項【方法規(guī)律】解決等差、等比數(shù)列的綜合問題的方法對于等差、等比數(shù)列的綜合問題，應(yīng)重點分析等差、等比數(shù)列的通項，前n項和以及等差、等比數(shù)列項之間的關(guān)系，往往用到轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法已知等差數(shù)列an的首項a11，公差d>0，且第2項、第5項、第14項分別是等比數(shù)列bn的第2項、第3項、第4項(1)求數(shù)列an與bn的通項公式；(2)設(shè)數(shù)列cn對nN*均有an1成立，求c1c2c3c2 013.解：(1)由已知有a21d，a514d，a14113d，(14d)2(1d)(113d)，解得d2(d>0)an1(n1)·22n1.又b2a23，b3a59，數(shù)列bn的公比為3，bn3·3n23n1.(2)由an1，得當n2時，an.兩式相減得：n2時，an1an2.cn2bn2·3n1(n2)又當n1時，a2，c13.cnc1c2c3c2 01333(332 013)32 013.考點二數(shù)列在實際問題中的應(yīng)用 例2某工業(yè)城市按照“十二五”(2011年至2015年)期間本地區(qū)主要污染物排放總量控制要求，進行減排治污現(xiàn)以降低SO2的年排放量為例，原計劃“十二五”期間每年的排放量都比上一年減少0.3萬噸，已知該城市2011年SO2的年排放量約為9.3萬噸(1)按原計劃，“十二五”期間該城市共排放SO2約多少萬噸？(2)該城市為響應(yīng)“十八大”提出的建設(shè)“美麗中國”的號召，決定加大減排力度在2012年剛好按原計劃完成減排任務(wù)的條件下，自2013年起，SO2的年排放量每年比上一年減少的百分率為p，為使2020年這一年SO2的年排放量控制在6萬噸以內(nèi)，求p的取值范圍自主解答(1)設(shè)“十二五”期間，該城市共排放SO2約y萬噸，依題意，2011年至2015年SO2的年排放量構(gòu)成首項為9.3，公差為0.3的等差數(shù)列，所以y5×9.3×(0.3)43.5(萬噸)所以按原計劃“十二五”期間該城市共排放SO2約43.5萬噸(2)由已知得， 2012年的SO2年排放量為9.30.39(萬噸)，所以2012年至2020年SO2的年排放量構(gòu)成首項為9，公比為1p的等比數(shù)列由題意得9×(1p)86，由于0<p<1，所以1p< ，所以1p<0.950 5，解得p>4.95%.所以SO2的年排放量每年減少的百分率p的取值范圍為(4.95%,1)【方法規(guī)律】解決數(shù)列應(yīng)用題應(yīng)注意的問題解決數(shù)列應(yīng)用問題，要明確問題屬于哪一種類型，即明確是等差數(shù)列問題還是等比數(shù)列問題，是求an還是Sn，特別是要弄清項數(shù)某公司一下屬企業(yè)從事某種高科技產(chǎn)品的生產(chǎn)該企業(yè)第一年年初有資金2 000萬元，將其投入生產(chǎn)，到當年年底資金增長了50%.預(yù)計以后每年資金年增長率與第一年的相同公司要求企業(yè)從第一年開始，每年年底上繳資金d萬元，并將剩余資金全部投入下一年生產(chǎn)設(shè)第n年年底企業(yè)上繳資金后的剩余資金為an萬元(1)用d表示a1，a2，并寫出an1與an的關(guān)系式；(2)若公司希望經(jīng)過m(m3)年使企業(yè)的剩余資金為4 000萬元，試確定企業(yè)每年上繳資金d的值(用m表示)解：(1)由題意得a12 000(150%)d3 000d，a2a1(150%)da1d4 500d.an1an(150%)dand.(2)由(1)得anan1dd2an2ddn1a1d.整理得ann1(3 000d)2dn1(3 0003d)2d.由題意，am4 000，即m1(3 0003d)2d4 000.解得d.來源:故該企業(yè)每年上繳資金d的值為時，經(jīng)過m(m3)年企業(yè)的剩余資金為4 000萬元.高頻考點考點三 數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問題1數(shù)列與函數(shù)、 不等式的綜合問題是每年高考的重點，多為解答題，難度偏大，屬中高檔題2高考對數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問題的考查常有以下兩個命題角度：來源:(1)以數(shù)列為載體，考查不等式的恒成立問題；(2)考查與數(shù)列問題有關(guān)的不等式的證明問題例3(2013·江西高考)正項數(shù)列an的前n項和Sn滿足：S(n2n1)Sn(n2n)0.(1)求數(shù)列an的通項公式an；(2)令bn，數(shù)列bn的前n項和為Tn.證明：對于任意的nN*，都有Tn<.自主解答(1)由S(n2n1)Sn(n2n)0，得Sn(n2n)(Sn1)0.由于an是正項數(shù)列，所以Sn>0，Snn2n.于是a1S12，n2時，anSnSn1n2n(n1)2(n1)2n.綜上，數(shù)列an的通項公式為an2n.(2)證明：由于an2n，故bn.Tn1<.數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問題的常見類型及解題策略(1)數(shù)列與不等式的恒成立問題此類問題常構(gòu)造函數(shù)，通過函數(shù)的單調(diào)性等解決問題(2)與數(shù)列有關(guān)的不等式證明問題解決此類問題要靈活選擇不等式的證明方法，如比較法、綜合法、分析法、放縮法等來源:1已知數(shù)列an為等比數(shù)列，其前n項和為Sn，已知a1a4，且對于任意的nN*，有Sn，Sn2，Sn1成等差數(shù)列(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)已知bnn(nN*)，記Tn，若(n1)2m(Tnn1)對于n2恒成立，求實數(shù)m的取值范圍解：(1)設(shè)數(shù)列an的公比為q.S1，S3，S2成等差數(shù)列，來源:2S3S1S2，2a1(1qq2)a1(2q)，解得q，又a1a4a1(1q3)，a1，ana1qn1n.(2)bnn，ann，n·2n，Tn1·22·223·23n·2n，2Tn1·222·233·24(n1)·2nn·2n1，得Tn222232nn·2n1，Tn(n1)·2n12.若(n1)2m(Tnn1)對于n2恒成立，則(n1)2m(n1)·2n12n1，(n1)2m(n1)·(2n11)，m，來源:令f(x)，可判斷f(x)在x2，)上是減函數(shù)則f(n)的最大值為f(2)，m.故實數(shù)m的取值范圍為.課堂歸納通法領(lǐng)悟2種思想函數(shù)思想與轉(zhuǎn)化化歸思想(1)數(shù)列與函數(shù)方程相結(jié)合時主要考查函數(shù)的思想及函數(shù)的性質(zhì)(多為單調(diào)性)(2)轉(zhuǎn)化化歸思想，an與Sn轉(zhuǎn)化，一般數(shù)列與特殊數(shù)列的轉(zhuǎn)化等3個注意點數(shù)列與函數(shù)、不等式、解析幾何相結(jié)合應(yīng)注意的問題(1)數(shù)列與解析幾何結(jié)合時注意遞推(2)數(shù)列與不等式相結(jié)合時注意對不等式進行放縮(3)利用函數(shù)的方法研究數(shù)列中的相關(guān)問題時，應(yīng)準確構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)，注意數(shù)列中相關(guān)限制條件的轉(zhuǎn)化