精品資料第四節(jié)直線、平面平行的判定及其性質(zhì) 高頻考點(diǎn)考點(diǎn)一 線面平行的判定及性質(zhì)1線面平行的判定及性質(zhì)是每年高考的必考內(nèi)容，多出現(xiàn)在解答題中的第(1)、(2)問(wèn)，難度適中，屬中檔題2高考對(duì)線面平行的判定及性質(zhì)的考查常有以下兩個(gè)命題角度：(1)以多面體為載體，證明線面平行問(wèn)題；(2)以多面體為載體，考查與線面平行有關(guān)的探索性問(wèn)題例1(1)(2013福建高考)如圖，在四棱錐PABCD中，PD平面ABCD，ABDC，ABAD，BC5，DC3，AD4，PAD60.當(dāng)正視方向與向量的方向相同時(shí)，畫(huà)出四棱錐PABCD的正視圖(要求標(biāo)出尺寸，并寫(xiě)出演算過(guò)程)；若M為PA的中點(diǎn)，求證：DM平面PBC；求三棱錐DPBC的體積(2)(2014日照模擬)如圖所示，四邊形ABCD為矩形，DA平面ABE，AEEBBC2，BF平面ACE于點(diǎn)F，且點(diǎn)F在線段CE上求證：AEBE；設(shè)點(diǎn)M在線段AB上，且滿足AM2MB，試在線段CE上確定一點(diǎn)N，使得MN平面ADE.自主解答(1)法一：在梯形ABCD中，過(guò)點(diǎn)C作CEAB，垂足為E.由已知得，四邊形ADCE為矩形，AEDC3，在RtBEC中，由BC5，CE4，依勾股定理得BE3，從而AB6.又由PD平面ABCD，得PDAD，所以在RtPDA中，由AD4，PAD60，得PDADtan 604.正視圖如圖(1)所示：圖(1)圖(2)證明：如圖(2)所示，取PB中點(diǎn)N，連接MN，CN.在PAB中，M是PA中點(diǎn)，MNAB且MNAB3.又CDAB，CD3，MNCD，MNCD，四邊形MNCD為平行四邊形，DMCN.DM平面PBC，CN平面PBC，DM平面PBC.VDPBCVPDBCSDBCPD，又SDBC6，PD4，VDPBC8.法二：同法一證明：取AB的中點(diǎn)E，連接ME，DE.在梯形ABCD中，BECD，且BECD，四邊形BCDE為平行四邊形，DEBC.DE平面PBC，BC平面PBC，DE平面PBC.在PAB中，MEPB，ME平面PBC，PB平面PBC，ME平面PBC.DEMEE，平面DME平面PBC.DM平面DME，DM平面PBC.來(lái)源:同法一(2)證明：由DA平面ABE及ADBC，得BC平面ABE，又AE平面ABE，所以AEBC，因?yàn)锽F平面ACE，AE平面ACE，所以BFAE，又BCBFB，BC，BF平面BCE，所以AE平面BCE.因?yàn)锽E平面BCE，故AEBE.在ABE中，過(guò)點(diǎn)M作MGAE交BE于點(diǎn)G，在BEC中，過(guò)點(diǎn)G作GNBC交CE于點(diǎn)N，連接MN，則由，得CNCE.來(lái)源:因?yàn)镸GAE，AE平面ADE，MG平面ADE，所以MG平面ADE，又GNBC，BCAD，AD平面ADE，GN平面ADE，所以GN平面ADE，又MGGNG，所以平面MGN平面ADE，因?yàn)镸N平面MGN，所以MN平面ADE.故當(dāng)點(diǎn)N為線段CE上靠近C的一個(gè)三等分點(diǎn)時(shí)，MN平面ADE.線面平行問(wèn)題的常見(jiàn)類(lèi)型及解題策略(1)線面平行的證明問(wèn)題判斷或證明線面平行的常用方法有：利用線面平行的定義(無(wú)公共點(diǎn))；利用線面平行的判定定理(a，b，aba)；利用面面平行的性質(zhì)(，aa)；利用面面平行的性質(zhì)(，a，a，aa)(2)線面平行的探索性問(wèn)題對(duì)命題條件的探索常采用以下三種方法：a先猜后證，即先觀察與嘗試給出條件再證明；b先通過(guò)命題成立的必要條件探索出命題成立的條件，再證明其充分性；c把幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題，探索命題成立的條件對(duì)命題結(jié)論的探索常采用以下方法：首先假設(shè)結(jié)論存在，然后在這個(gè)假設(shè)下進(jìn)行推理論證，如果通過(guò)推理得到了合乎情理的結(jié)論就肯定假設(shè)，如果得到了矛盾的結(jié)果就否定假設(shè)來(lái)源:1. (2013新課標(biāo)全國(guó)卷)如圖，直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分別是AB，BB1的中點(diǎn)(1)證明：BC1平面A1CD；(2)設(shè)AA1ACCB2，AB2，求三棱錐CA1DE的體積解：(1)證明：連接AC1交A1C于點(diǎn)F，則F為AC1的中點(diǎn)又D是AB中點(diǎn)，連接DF，則在ABC1中，BC1DF.因?yàn)镈F平面A1CD，BC1平面A1CD，所以BC1平面A1CD.(2)因?yàn)锳BCA1B1C1是直三棱柱，所以AA1平面ABC，則AA1CD.由已知ACCB，D為AB的中點(diǎn)，所以CDAB.又AA1ABA，AA1，AB平面ABB1A1，所以CD平面ABB1A1.由AA1ACCB2，AB2，得ACB90，CD，A1D，DE，A1E3，故A1D2DE2A1E2，即DEA1D.所以VCA1DE1.2.如圖所示，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，已知DCDD12AD2AB，ADDC，ABDC.(1)求證：D1CAC1；(2)設(shè)E是DC上一點(diǎn)，試確定E的位置，使D1E平面A1BD，并說(shuō)明理由解：(1)證明：在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，連接C1D，DCDD1，四邊形DCC1D1是正方形，DC1D1C.又ADDC，ADDD1，DCDD1D，DC，DD1平面DCC1D1，AD平面DCC1D1，又D1C平面DCC1D1，ADD1C.AD平面ADC1，DC1平面ADC1，且ADDC1D，D1C平面ADC1，又AC1平面ADC1，D1CAC1.(2)連接AD1，AE，D1E，設(shè)AD1A1DM，BDAEN，連接MN，平面AD1E平面A1BDMN，要使D1E平面A1BD，可使MND1E，又M是AD1的中點(diǎn)，則N是AE的中點(diǎn)又易知ABNEDN，ABDE.即E是DC的中點(diǎn)綜上所述，當(dāng)E是DC的中點(diǎn)時(shí)，可使D1E平面A1BD.考點(diǎn)二面面平行的判定與性質(zhì) 例2如圖所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，AC，A1B1，A1C1的中點(diǎn)，求證：(1)B，C，H，G四點(diǎn)共面；(2)平面EFA1平面BCHG.自主解答(1)G，H分別是A1B1，A1C1的中點(diǎn)，GH是A1B1C1的中位線，GHB1C1.來(lái)源:又B1C1BC，GHBC，B，C，H，G四點(diǎn)共面(2)E，F(xiàn)分別是AB，AC的中點(diǎn)，EFBC.EF平面BCHG，BC平面BCHG，EF平面BCHG.A1GEB，A1G=EB,四邊形A1EBG是平行四邊形，A1EGB.A1E平面BCHG，GB平面BCHG，A1E平面BCHG.A1EEFE，平面EFA1平面BCHG.【互動(dòng)探究】在本例條件下，若D1，D分別為B1C1，BC的中點(diǎn)，求證：平面A1BD1平面AC1D.證明：如圖所示，連接A1C交AC1于點(diǎn)H，四邊形A1ACC1是平行四邊形，H是A1C的中點(diǎn)，連接HD，D為BC的中點(diǎn)，A1BDH.A1B平面A1BD1，DH平面A1BD1，DH平面A1BD1.又由三棱柱的性質(zhì)知，D1C1BD，D1C1=BD四邊形BDC1D1為平行四邊形，DC1BD1.又DC1平面A1BD1，BD1平面A1BD1，DC1平面A1BD1，又DC1DHD，平面A1BD1平面AC1D.【方法規(guī)律】判定面面平行的四種方法(1)利用定義：即證兩個(gè)平面沒(méi)有公共點(diǎn)(不常用)(2)利用面面平行的判定定理(主要方法)(3)利用垂直于同一條直線的兩平面平行(客觀題可用)(4)利用平面平行的傳遞性，即兩個(gè)平面同時(shí)平行于第三個(gè)平面，則這兩個(gè)平面平行(客觀題可用)(2013陜西高考)如圖，四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O是底面中心， A1O底面ABCD，ABAA1.(1)證明：平面 A1BD平面CD1B1；(2)求三棱柱ABDA1B1D1的體積解：(1)證明：由題設(shè)知，BB1DD1，BB1=DD1四邊形BB1D1D是平行四邊形，BDB1D1.又BD平面CD1B1，B1D1平面CD1B1，BD平面CD1B1.A1D1B1C1BC，A1D1=B1C1=BC，四邊形A1BCD1是平行四邊形，A1BD1C.又A1B平面CD1B1，D1C平面CD1B1，A1B平面CD1B1.又BDA1BB，平面A1BD平面CD1B1.(2)A1O平面ABCD，A1O是三棱柱ABDA1B1D1的高又AOAC1，AA1，A1O1.又SABD1，VABDA1B1D1SABDA1O1.考點(diǎn)三平行關(guān)系的綜合應(yīng)用 例3 如圖所示，平面平面，點(diǎn)A，點(diǎn)C，點(diǎn)B，點(diǎn)D，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在線段AB，CD上，且AEEBCFFD. (1)求證：EF平面；(2)若E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，AC4，BD6，且AC，BD所成的角為60，求EF的長(zhǎng)自主解答(1)證明：當(dāng)AB，CD在同一平面內(nèi)時(shí)，由平面平面，平面平面ABDCAC，平面平面ABDCBD，ACBD.AEEBCFFD，EFBD.又EF，BD，EF平面.當(dāng)AB與CD異面時(shí)，如圖所示，設(shè)平面ACD平面DH，且DHAC.平面平面，平面平面ACDHAC，ACDH，四邊形ACDH是平行四邊形，在AH上取一點(diǎn)G，使AGGHCFFD，連接EG，F(xiàn)G，BH.又AEEBCFFDAGGH，GFHD，EGBH.又EGGFG，BHHDH，平面EFG平面.又EF平面EFG，EF平面.綜合可知EF平面.(2)如圖所示，連接AD，取AD的中點(diǎn)M，連接ME，MF.E，F(xiàn)分別為AB，CD的中點(diǎn)，MEBD，MFAC，且MEBD3，MFAC2.EMF為AC與BD所成的角或其補(bǔ)角，EMF60或120.在EFM中，由余弦定理得EF ，即EF或EF.【方法規(guī)律】1解決本題的關(guān)鍵是構(gòu)造過(guò)EF且平行平面和平面的平面來(lái)源:2通過(guò)線面、面面平行的判定和性質(zhì)，可實(shí)現(xiàn)線線、線面、面面平行的轉(zhuǎn)化如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，O為底面ABCD的中心，P是DD1的中點(diǎn)，設(shè)Q是CC1上的點(diǎn)，則當(dāng)點(diǎn)Q在什么位置時(shí)，平面D1BQ平面PAO?解：當(dāng)Q為CC1的中點(diǎn)時(shí)，平面D1BQ平面PAO.證明如下：Q為CC1的中點(diǎn)，P為DD1的中點(diǎn)，QBPA.P，O分別為DD1，DB的中點(diǎn)，D1BPO.又D1B平面PAO，PO平面PAO，QB平面PAO，PA平面PAO，D1B平面PAO，QB平面PAO，又D1BQBB，D1B，QB平面D1BQ，平面D1BQ平面PAO.課堂歸納通法領(lǐng)悟1個(gè)轉(zhuǎn)化三種平行關(guān)系間的轉(zhuǎn)化2個(gè)注意點(diǎn)證明平行問(wèn)題應(yīng)注意的兩個(gè)問(wèn)題(1)在推證線面平行時(shí)，必須滿足三個(gè)條件：一是直線a在已知平面外；二是直線b在已知平面內(nèi)；三是兩直線平行(2)把線面平行轉(zhuǎn)化為線線平行時(shí)，必須說(shuō)清經(jīng)過(guò)已知直線的平面與已知平面相交，則該直線與交線平行