滿分示范課滿分示范課函數(shù)與導(dǎo)數(shù)函數(shù)與導(dǎo)數(shù) 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)問題一般以函數(shù)為載體，以導(dǎo)數(shù)為工具，重點(diǎn)考查函函數(shù)與導(dǎo)數(shù)問題一般以函數(shù)為載體，以導(dǎo)數(shù)為工具，重點(diǎn)考查函數(shù)的一些性質(zhì)，如含參函數(shù)的單調(diào)性、極值或最值的探求與討論，復(fù)數(shù)的一些性質(zhì)，如含參函數(shù)的單調(diào)性、極值或最值的探求與討論，復(fù)雜函數(shù)零點(diǎn)的討論，函數(shù)不等式中參數(shù)范圍的討論，恒成立和能成立雜函數(shù)零點(diǎn)的討論，函數(shù)不等式中參數(shù)范圍的討論，恒成立和能成立問題的討論等，是近幾年高考試題的命題熱點(diǎn)對(duì)于這類綜合問題，問題的討論等，是近幾年高考試題的命題熱點(diǎn)對(duì)于這類綜合問題，一般是先求導(dǎo)，再變形、分離或分解出基本函數(shù)，再根據(jù)題意處理一般是先求導(dǎo)，再變形、分離或分解出基本函數(shù)，再根據(jù)題意處理 【典例】【典例】 (滿分滿分 12 分分)(2019 全國(guó)卷全國(guó)卷)已知函數(shù)已知函數(shù) f(x)ln xx1x1. (1)討論討論 f(x)的單調(diào)性，并證明的單調(diào)性，并證明 f(x)有且僅有有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)；兩個(gè)零點(diǎn)； (2)設(shè)設(shè) x0是是 f(x)的一個(gè)零點(diǎn)，證明曲線的一個(gè)零點(diǎn)，證明曲線 yln x 在點(diǎn)在點(diǎn) A(x0，ln x0)處處的切線也是曲線的切線也是曲線 yex的切線的切線 規(guī)范解答規(guī)范解答 (1)f(x)的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)?0，1)(1，) 因?yàn)橐驗(yàn)?f(x)1x2（x1）20， 所以所以 f(x)在在(0，1)，(1，)單調(diào)遞增單調(diào)遞增 因?yàn)橐驗(yàn)?f(e)1e1e10， 所以所以 f(x)在在(1，)有唯一有唯一零點(diǎn)零點(diǎn) x1(ex1e2)， 即即 f(x1)0. 又又 01x11，f 1x1ln x1x11x11f(x1)0， 故故 f(x)在在(0，1)有唯一零點(diǎn)有唯一零點(diǎn)1x1. 綜上，綜上，f(x)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn) (2)因?yàn)橐驗(yàn)?x0eln x0， 所以點(diǎn)所以點(diǎn) B ln x0，1x0在曲在曲線線 yex上上 由題設(shè)知由題設(shè)知 f(x0)0，即，即 ln x0 x01x01， 故直線故直線 AB 的斜率的斜率 k1x0ln x0ln x0 x01x0 x01x01x01x01x01x0. 曲線曲線 yex在點(diǎn)在點(diǎn) B ln x0，1x0處切線的斜率是處切線的斜率是1x0， 曲線曲線 yln x 在點(diǎn)在點(diǎn) A(x0，ln x0)處切線的斜率也是處切線的斜率也是1x0. 所以曲線所以曲線 yln x 在點(diǎn)在點(diǎn) A(x0， ln x0)處的切線也是曲線處的切線也是曲線 yex的切線的切線 高考狀元滿分心得高考狀元滿分心得 1得步驟分：抓住得分點(diǎn)的步驟，得步驟分：抓住得分點(diǎn)的步驟， “步步為贏步步為贏” ，求得滿分如第，求得滿分如第(1)問中，求導(dǎo)正確，判斷單調(diào)性利用零點(diǎn)存在定理，定零點(diǎn)個(gè)數(shù)第問中，求導(dǎo)正確，判斷單調(diào)性利用零點(diǎn)存在定理，定零點(diǎn)個(gè)數(shù)第(2)問中，由問中，由 f(x0)0 定切點(diǎn)定切點(diǎn) B，求切線的斜率，求切線的斜率 2得關(guān)鍵分：解題過程不可忽視關(guān)鍵點(diǎn)，有則給分，無則沒分，得關(guān)鍵分：解題過程不可忽視關(guān)鍵點(diǎn)，有則給分，無則沒分，如第如第(1)問中，求出問中，求出 f(x)的定義域，的定義域，f(x)在在(0，)上單調(diào)性的判斷；上單調(diào)性的判斷；第第(2)問中，找關(guān)系問中，找關(guān)系 ln x0 x01x01，判定兩曲線在點(diǎn)，判定兩曲線在點(diǎn) B 處切線的斜率相處切線的斜率相等等 3得計(jì)算分：解題過程中計(jì)算準(zhǔn)確是得滿分的根本保證得計(jì)算分：解題過程中計(jì)算準(zhǔn)確是得滿分的根本保證 如第如第(1)問中， 求導(dǎo)問中， 求導(dǎo) f(x)準(zhǔn)確， 否則全盤皆輸， 判定準(zhǔn)確， 否則全盤皆輸， 判定 f(x1)f 1x10；第；第(2)問中，正確計(jì)算問中，正確計(jì)算 kAB等，否則不得分等，否則不得分 解題程序解題程序 第一步：求第一步：求 f(x)的定義域，計(jì)算的定義域，計(jì)算 f(x) 第二步：由第二步：由 f(x)在在(1，)上的單調(diào)性與零點(diǎn)存在定理，判斷上的單調(diào)性與零點(diǎn)存在定理，判斷 f(x)在在(1，)上有唯一零點(diǎn)上有唯一零點(diǎn) x0. 第三步：證明第三步：證明 f 1x00，從而，從而 f(x)在定義域內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)在定義域內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn) 第四步：由第第四步：由第(1)問，求直線問，求直線 AB 的斜率的斜率 k1x0. 第五步：求第五步：求 yex在點(diǎn)在點(diǎn) A、B 處的切線斜率處的切線斜率 k1x0，得證，得證 第六步：檢驗(yàn)反思，規(guī)范解題步驟第六步：檢驗(yàn)反思，規(guī)范解題步驟 跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練 1已知函數(shù)已知函數(shù) f(x)ex1，g(x) xx，其中，其中 e 是自然對(duì)數(shù)的底是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，數(shù)，e2.718 28. (1)證明：函數(shù)證明：函數(shù) h(x)f(x)g(x)在區(qū)間在區(qū)間(1，2)上有零點(diǎn)；上有零點(diǎn)； (2)求方程求方程 f(x)g(x)的根的個(gè)數(shù)，并說明理由；的根的個(gè)數(shù)，并說明理由； (1)證明：證明：由題意可得由題意可得 h(x)f(x)g(x)ex1 xx， 所以所以 h(1)e30，h(2)e23 20， 所以所以 h(1) h(2)0， 所以函數(shù)所以函數(shù) h(x)在區(qū)間在區(qū)間(1，2)上有零點(diǎn)上有零點(diǎn) (2)解：解：由由(1)可知，可知，h(x)f(x)g(x)ex1 xx. 由由 g(x) xx 知知 x0，)， 且且 h(0)0，則，則 x0 為為 h(x)的一個(gè)零點(diǎn)的一個(gè)零點(diǎn) 又又 h(x)在在(1，2)內(nèi)有零點(diǎn)，內(nèi)有零點(diǎn)， 因此因此 h(x)在在0，)上至少有兩個(gè)零點(diǎn)上至少有兩個(gè)零點(diǎn) h(x)ex12x121，記，記 (x)ex12x121. 則則 (x)ex14x32， 當(dāng)當(dāng) x(0， ， )時(shí)，時(shí)， (x)0， 則， 則 (x)在在(0， ， )上遞增 易知上遞增 易知 (x)在在(0，)內(nèi)只有一個(gè)零點(diǎn)，內(nèi)只有一個(gè)零點(diǎn)， 所以所以 h(x)在在0，)上有且只有兩個(gè)零點(diǎn)，上有且只有兩個(gè)零點(diǎn)， 所以方程所以方程 f(x)g(x)的根的個(gè)數(shù)為的根的個(gè)數(shù)為 2. 2(2019 安徽十校聯(lián)盟安徽十校聯(lián)盟)已知函數(shù)已知函數(shù) f(x)ln xax1(aR) (1)討論函數(shù)討論函數(shù) f(x)的單調(diào)性；的單調(diào)性； (2)若函數(shù)若函數(shù) f(x)的圖象與的圖象與 x 軸相切，求證：對(duì)于任意互不相等的正軸相切，求證：對(duì)于任意互不相等的正實(shí)數(shù)實(shí)數(shù) x1，x2，都有，都有f（x2）f（x1）x2x10，f(x)在在(0，)上單調(diào)遞增；上單調(diào)遞增； 當(dāng)當(dāng) a0，f(x)單調(diào)遞增；單調(diào)遞增； 若若 x 1a， ，f(x)0，f(x)單調(diào)遞減單調(diào)遞減 綜上：當(dāng)綜上：當(dāng) a0 時(shí)，時(shí)，f(x)在在(0，)上單調(diào)遞增；上單調(diào)遞增； 當(dāng)當(dāng) a0 時(shí)，時(shí)， f(x)在在 0，1a上單調(diào)遞增， 在上單調(diào)遞增， 在 1a， 上單調(diào)遞減上單調(diào)遞減 (2)證明：證明：由由(1)知，當(dāng)知，當(dāng) a0 時(shí)，時(shí)，f(x)在在(0，)上單調(diào)遞增，不滿上單調(diào)遞增，不滿足條件足條件 當(dāng)當(dāng) a0 時(shí)，時(shí)，f(x)的極大值為的極大值為 f 1aln(a)， 由已知得由已知得ln(a)0，故，故 a1， 此時(shí)此時(shí) f(x)ln xx1. 不妨設(shè)不妨設(shè) 0 x1x2，則，則f（x2）f（x1）x2x11x11x2 等價(jià)于等價(jià)于 lnx2x1x2x1x1x2x2x1， 即證：即證：lnx2x1x2x1x1x21)， 故故 g(x)在在(1，)單調(diào)遞減，單調(diào)遞減， 所以所以 g(x)g(1)0 x2x1. 所以對(duì)于任意互不相等的正實(shí)數(shù)所以對(duì)于任意互不相等的正實(shí)數(shù) x1，x2，都有，都有f（x2）f（x1）x2x11x11x2成立成立