精品資料 考點一利用正、余弦定理解三角形 例1(1)(2013天津高考)在ABC中，ABC，AB，BC3，則sin BAC()A. B. C. D.(2)(2013安徽高考)設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C所對邊的長分別為a，b，c.若bc2a,3sin A5sin B，則角C_.(3)(2013浙江高考)在ABC中，C90，M是BC的中點，若sinBAM，則sinBAC_.自主解答(1)由余弦定理可得AC292235，所以AC.再由正弦定理得，所以sin A.(2)由3sin A5sin B，可得3a5b，又bc2a，所以可令a5t(t>0)，則b3t，c7t，可得cos C，又C(0，)，故C.(3)在ABM中，由正弦定理得，設(shè)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，所以a，整理得(3a22c2)20，故sinBAC.答案(1)C(2)(3)【方法規(guī)律】正、余弦定理的應(yīng)用原則(1)正弦定理是一個連比等式，在運用此定理時，只要知道其比值或等量關(guān)系就可以通過約分達到解決問題的目的，在解題時要學(xué)會靈活運用(2)運用余弦定理時，要注意整體思想的運用1在ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若asin Bcos Ccsin Bcos Ab，且ab，則B()A. B. C. D.解析：選A由正弦定理得sin Asin Bcos Csin Csin Bcos Asin B，sin Bsin(AC)sin B.又sin B0，sin(AC)，即sin B，B或.又ab，AB，B.2已知銳角ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c,23cos2Acos 2A0，a7，c6，則b()A10 B9 C8 D5來源:解析：選D由23cos2Acos 2A0，得25cos2A1，因為A為銳角，所以cos A.又由a2b2c22bccos A，得49b236b，整理得5b212b650，解得b(舍)或b5.即b5.考點二利用正、余弦定理判斷三角形的形狀 例2在ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對邊，且2asin A(2bc)sin B(2cb)sin C.(1)求A的大小；(2)若sin Bsin C1，試判斷ABC的形狀自主解答(1)由已知，根據(jù)正弦定理得2a2(2bc)b(2cb)c，即a2b2c2bc，由余弦定理得a2b2c22bccos A，故cos A，又0c，所以A120.(2)由(1)得sin2Asin2Bsin2Csin Bsin C.又sin Bsin C1，得sin Bsin C.因為0B，0C，故BC，來源:所以ABC是等腰鈍角三角形【互動探究】若將本例(2)中的條件改為“(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin(AB)”，試判斷ABC的形狀解：(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin(AB)，b2sin(AB)sin(AB)a2sin(AB)sin(AB)，2sin Acos Bb22cos Asin Ba2，即a2cos Asin Bb2sin Acos B.由正弦定理知a2Rsin A，b2Rsin B，sin2Acos Asin Bsin2Bsin Acos B，又sin Asin B0，sin Acos Asin Bcos B，sin 2Asin 2B. 在ABC中，02A2，02B2，2A2B或2A2B，AB或AB.ABC為等腰或直角三角形【方法規(guī)律】判定三角形形狀的兩種常用途徑(1)通過正弦定理和余弦定理，化邊為角，利用三角變換得出三角形內(nèi)角之間的關(guān)系進行判斷；(2)利用正弦定理、余弦定理，化角為邊，通過代數(shù)恒等變換，求出三條邊之間的關(guān)系進行判斷(2013陜西高考)設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若bcos Cccos Basin A，則ABC的形狀為()A直角三角形B銳角三角形C鈍角三角形 D不確定解析：選A依據(jù)題設(shè)條件的特點，邊化角選用正弦定理，有sin Bcos Ccos Bsin Csin2A，則sin(BC)sin2A，由三角形內(nèi)角和及互補角的意義，得sin(BC)sin Asin2A，即sin A1，所以A.即ABC為直角三角形.高頻考點考點三 與三角形面積有關(guān)的問題1正、余弦定理與三角形面積的綜合問題是每年高考的重點內(nèi)容，既有選擇、填空題，也有解答題，難度適中，屬中檔題2高考對此類問題的考查主要有以下兩個命題角度：(1)求三角形的面積；(2)已知三角形的面積解三角形例3(1)(2013新課標全國卷)ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知b2，B，C，則ABC的面積為()來源:A22B.1C22 D.1(2)(2013湖北高考)在ABC中，角A，B，C對應(yīng)的邊分別是a，b，c.已知cos 2A3cos(BC)1.求角A的大小；若ABC的面積S5，b5，求sin Bsin C的值自主解答(1)由正弦定理知，結(jié)合條件得c2.又sin Asin(BC)sin(BC)sin Bcos Ccos Bsin C，所以ABC的面積Sbcsin A1.(2)由cos 2A3cos(BC)1，得2cos2 A3cos A20，即(2cos A1)(cos A2)0，解得cos A或cos A2(舍去)因為0<A<，所以A.由Sbcsin Abcbc5，得bc20.又b5，所以c4.由余弦定理得a2b2c22bccos A25162021，故a.又由正弦定理得sin Bsin Csin Asin Asin2A.答案(1)B與三角形面積有關(guān)問題的常見類型及解題策略(1)求三角形的面積對于面積公式Sabsin Cacsin Bbcsin A，一般是已知哪一個角就使用含哪個角的公式(2)已知三角形的面積解三角形與面積有關(guān)的問題，一般要利用正弦定理或余弦定理進行邊和角的互化1已知a，b，c分別為ABC三個內(nèi)角A，B，C的對邊，acos Casin Cbc0.(1)求A；(2)若a2，ABC的面積為，求b，c.解：(1)由acos Casin Cbc0及正弦定理得sin Acos Csin Asin Csin Bsin C0.因為BAC，來源:所以sin Asin Ccos Asin Csin C0.由于sin C0，所以sin.又0A，故A.(2)ABC的面積Sbcsin A，故bc4.而a2b2c22bccos A，故b2c28.解得bc2.2(2013新課標全國卷)ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知abcos Ccsin B.(1)求B；(2)若b2，求ABC面積的最大值解：(1)由已知及正弦定理得sin Asin Bcos Csin Csin B.又A(BC)，故sin Asin(BC)sin Bcos Ccos Bsin C.所以sin Bsin Ccos Bsin C，又C(0，)，所以sin C0，故sin Bcos B.來源:又B(0，)，所以B.(2)ABC的面積Sacsin Bac.由已知及余弦定理得4a2c22accos.又a2c22ac，故ac，當(dāng)且僅當(dāng)ac時，等號成立因此ABC面積的最大值為1.課堂歸納通法領(lǐng)悟1組關(guān)系三角形中的邊角關(guān)系在ABC中，ABabsin Asin Bcos Acos B.2種途徑判斷三角形形狀的途徑根據(jù)所給條件確定三角形的形狀，主要有兩種途徑：(1)化邊為角；(2)化角為邊，并常用正弦(余弦)定理實施邊、角轉(zhuǎn)換2個注意點解三角形應(yīng)注意的問題(1)在利用正弦定理解已知三角形的兩邊和其中一邊的對角求另一邊的對角，進而求出其他的邊和角時，有時可能出現(xiàn)一解、兩解或無解，所以要進行分類討論(2)在判斷三角形形狀時，等式兩邊一般不要約去公因式，應(yīng)移項提取公因式，以免漏解.