第七節(jié)拋 物 線考點(diǎn)一拋物線的定義及應(yīng)用 例1設(shè)P是拋物線y24x上的一個動點(diǎn)(1)求點(diǎn)P到點(diǎn)A(1,1)的距離與點(diǎn)P到直線x1的距離之和的最小值；(2)若B(3,2)，求|PB|PF|的最小值自主解答來源:(1)如圖，易知拋物線的焦點(diǎn)為F(1,0)，準(zhǔn)線是x1.由拋物線的定義知：點(diǎn)P到直線x1的距離等于點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離于是，問題轉(zhuǎn)化為：在曲線上求一點(diǎn)P，使點(diǎn)P到點(diǎn)A(1，1)的距離與點(diǎn)P到F(1,0)的距離之和最小顯然，連接AF交曲線于點(diǎn)P，則所求的最小值為|AF|，即為.(2)如圖，過點(diǎn)B作BQ垂直準(zhǔn)線于Q，交拋物線于點(diǎn)P1，則|P1Q|P1F|.則有|PB|PF|P1B|P1Q|BQ|4.即|PB|PF|的最小值為4.【互動探究】若將本例(2)中的B點(diǎn)坐標(biāo)改為(3,4)，求|PB|PF|的最小值解：由題意可知點(diǎn)(3,4)在拋物線的外部|PB|PF|的最小值即為B，F(xiàn)兩點(diǎn)間的距離|PB|PF|BF|2.即|PB|PF|的最小值為2. 【方法規(guī)律】拋物線定義中的“轉(zhuǎn)化”法利用拋物線的定義解決此類問題，應(yīng)靈活地進(jìn)行拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到準(zhǔn)線距離的等價轉(zhuǎn)化“看到準(zhǔn)線想到焦點(diǎn)，看到焦點(diǎn)想到準(zhǔn)線”，這是解決拋物線焦點(diǎn)弦有關(guān)問題的有效途徑1(2014·天津模擬)已知動圓過定點(diǎn)F，且與直線x相切，其中p>0，則動圓圓心的軌跡E的方程為_解析：依題意得，圓心到定點(diǎn)F的距離與到直線x的距離相等，再依拋物線的定義知，動圓圓心的軌跡E為拋物線，其方程為y22px.答案：y22px2過拋物線y24x的焦點(diǎn)F的直線交該拋物線于A，B兩點(diǎn)，若|AF|3，則|BF|_.解析：因為拋物線y24x的焦點(diǎn)F(1,0)顯然，當(dāng)AB垂直于x軸時，|AF|3，所以AB的斜率k存在，設(shè)AB的方程為yk(x1)，與拋物線y24x聯(lián)立，消去y得k2x22k2x4xk20，即k2x2(2k24)xk20，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)由根與系數(shù)的關(guān)系得x1x22.又|AF|3x1x11，所以x12，代入k2x22k2x4xk20，得k28，所以x1x2，x2，故|BF|x211.答案：考點(diǎn)二拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及性質(zhì) 例2(1)(2013·四川高考)拋物線y24x的焦點(diǎn)到雙曲線x21的漸近線的距離是()A. B. C1 D.(2)(2013·江西高考)拋物線x22py(p>0)的焦點(diǎn)為F，其準(zhǔn)線與雙曲線1相交于A，B兩點(diǎn)，若ABF為等邊三角形，則p_.自主解答(1)由拋物線y24x，有2p4，p2.其焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)，雙曲線x21的漸近線方程為y±x.不妨取其中一條xy0.由點(diǎn)到直線的距離公式有d.(2)在等邊三角形ABF中，AB邊上的高為p，p，所以B.又因為點(diǎn)B在雙曲線上，故1，解得p6.答案：(1)B(2)6【方法規(guī)律】1求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法及流程(1)方法：求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程常用待定系數(shù)法，因為未知數(shù)只有p，所以只需一個條件確定p值即可來源:(2)流程：因為拋物線方程有四種標(biāo)準(zhǔn)形式，因此求拋物線方程時，需先定位，再定量2確定及應(yīng)用拋物線性質(zhì)的關(guān)鍵與技巧(1)關(guān)鍵：利用拋物線方程確定及應(yīng)用其焦點(diǎn)、準(zhǔn)線等性質(zhì)時，關(guān)鍵是將拋物線方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程(2)技巧：要結(jié)合圖形分析，靈活運(yùn)用平面幾何的性質(zhì)以圖助解1已知拋物線關(guān)于x軸對稱，它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)O，并且經(jīng)過點(diǎn)M(2，y0)若點(diǎn)M到該拋物線焦點(diǎn)的距離為3，則|OM|()A2 B2 C4 D2解析：選B依題意，設(shè)拋物線方程是y22px(p>0)，則有23，得p2，故拋物線方程是y24x，點(diǎn)M的坐標(biāo)是(2，±2)，|OM|2.2(2014·湖州模擬)已知雙曲線C1：1(a>0，b>0)的離心率為2.若拋物線C2：x22py(p>0)的焦點(diǎn)到雙曲線C1的漸近線的距離為2，則拋物線C2的方程為()Ax2y Bx2yCx28y Dx216y解析：選D雙曲線的漸近線方程為y±x，由于 2，所以，所以雙曲線的漸近線方程為y±x.拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，所以2，則p8，所以拋物線方程為x216y.高頻考點(diǎn)來源:考點(diǎn)三 直線與拋物線的位置關(guān)系1直線與拋物線的位置關(guān)系，是高考命題的熱點(diǎn)，多以解答題的形式出現(xiàn)，試題難度較大，多為中、高檔題2直線與拋物線的位置關(guān)系有以下幾個命題角度：(1)已知拋物線方程及其他條件，求直線方程；(2)證明直線過定點(diǎn)；(3)求線段長度或線段之積(和)的最值；(4)求定值例3(2014·杭州模擬)已知直線y2x2與拋物線x22py(p0)交于M1，M2兩點(diǎn)，且|M1M2|8.(1)求p的值；(2)設(shè)A是直線y上一點(diǎn)，直線AM2交拋物線于另一點(diǎn)M3，直線M1M3交直線y于點(diǎn)B，求·的值自主解答(1)由整理得x24px4p0，設(shè)M1(x1，y1)，M2(x2，y2)，則|M1M2|8，8，即8.p2p120，解得p4或p3(舍去)，且p4滿足0，p4.(2)由(1)知拋物線方程為x28y，且x1x216，x1x216，M1，M2，設(shè)M3，A(t,2)，B(a,2)，由A，M2，M3三點(diǎn)共線得kM2M3kAM2，即xx2x3t(x2x3)x16，整理得x2x3t(x2x3)16，由B，M3，M1三點(diǎn)共線，同理可得x1x3a(x1x3)16，式兩邊同乘x2得x1x2x3a(x1x2x2x3)16x2，即16x3a(16x2x3)16x2，來源:由得x2x3t(x2x3)16，代入得16x316aat(x2x3)16a16x2，即16(x2x3)at(x2x3)，at16.·at420.直線與拋物線的位置關(guān)系的常見類型及解題策略(1)求直線方程先尋找確定直線的兩個條件，若缺少一個可設(shè)出此量，利用題設(shè)條件尋找關(guān)于該量的方程，解方程即可(2)證明直線過定點(diǎn)可依題設(shè)條件尋找該直線的方程，可依據(jù)方程中的參數(shù)及其他條件確定該直線過那個定點(diǎn)(3)求線段長度和線段之積(和)的最值可依據(jù)直線與拋物線相交，依據(jù)弦長公式，求出弦長或弦長關(guān)于某個量的函數(shù)，然后利用基本不等式或利用函數(shù)的知識，求函數(shù)的最值；也可利用拋物線的定義轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間的距離或點(diǎn)到直線的距離(4)求定值可借助于已知條件，將直線與拋物線聯(lián)立，尋找待定式子的表達(dá)式，化簡即可得到(2014·濰坊模擬)已知過點(diǎn)A(4,0)的動直線l與拋物線G：x22py(p>0)相交于B，C兩點(diǎn)當(dāng)直線l的斜率是時，4.(1)求拋物線G的方程；(2)設(shè)線段BC的中垂線在y軸上的截距為b，求b的取值范圍解：(1)設(shè)B(x1，y1)，C(x2，y2)，當(dāng)直線l的斜率是時，l的方程為y(x4)，即x2y4，聯(lián)立消去x，得2y2(8p)y80，y1y2，y1y24，由已知4，y24y1，由韋達(dá)定理及p>0可得y11，y24，p2，拋物線G的方程為x24y.來源:(2)由題意知直線l的斜率存在，且不為0，設(shè)l：yk(x4)，BC中點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，y0)，由得x24kx16k0，由>0得k<4或k>0，x02k，y0k(x04)2k24k，BC中垂線方程為y2k24k(x2k)，b2(k1)2，b>2.故b的取值范圍為(2，)課堂歸納通法領(lǐng)悟4個結(jié)論直線與拋物線相交的四個結(jié)論已知拋物線y22px(p>0)，過其焦點(diǎn)的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則有以下結(jié)論：(1)|AB|x1x2p或|AB|(為AB所在直線的傾斜角)；(2)x1x2；(3)y1y2p2；(4)過拋物線焦點(diǎn)且與對稱軸垂直的弦稱為拋物線的通徑，拋物線的通徑長為2p.3個注意點(diǎn)拋物線問題的三個注意點(diǎn)(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程時一般要用待定系數(shù)法求p的值，但首先要判斷拋物線是否為標(biāo)準(zhǔn)方程，若是標(biāo)準(zhǔn)方程，則要由焦點(diǎn)位置(或開口方向)判斷是哪一種標(biāo)準(zhǔn)方程(2)注意應(yīng)用拋物線定義中距離相等的轉(zhuǎn)化來解決問題(3)直線與拋物線有一個交點(diǎn)，并不表明直線與拋物線相切，因為當(dāng)直線與對稱軸平行(或重合)時，直線與拋物線也只有一個交點(diǎn).