精品資料第二節(jié)一元二次不等式及其解法 高頻考點(diǎn)考點(diǎn)一 一元二次不等式的解法來(lái)源:1一元二次不等式的解法是高考的常考內(nèi)容，題型多為選擇題或填空題，難度適中，屬中檔題來(lái)源:2高考對(duì)一元二次不等式解法的考查常有以下幾個(gè)命題角度：(1)直接考查一元二次不等式的解法；(2)與函數(shù)的奇偶性等相結(jié)合，考查一元二次不等式的解法；(3)已知一元二次不等式的解集求參數(shù)例1(1)(2013·廣東高考)不等式x2x2<0的解集為_(kāi)(2)(2013·江蘇高考)已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)當(dāng)x>0時(shí)，f(x)x24x，則不等式f(x)>x的解集用區(qū)間表示為_(kāi)(3)(2013·重慶高考)關(guān)于x的不等式x22ax8a2<0(a>0)的解集為(x1，x2)，且x2x115，則a()A. B. C. D.自主解答(1)由x2x2<0，得(x1)(x2)<0，2<x<1，即不等式x2x2<0的解集為x|2<x<1(2)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，f(0)0，又當(dāng)x<0時(shí)，x>0，f(x)x24x.又f(x)為奇函數(shù)，f(x)f(x)，f(x)x24x(x<0)，f(x)當(dāng)x>0時(shí)，由f(x)>x，得x24x>x，解得x>5；當(dāng)x0時(shí)，f(x)>x無(wú)解；當(dāng)x<0時(shí)，由f(x)>x，得x24x>x，解得5<x<0.綜上得不等式f(x)>x的解集用區(qū)間表示為(5,0)(5，)(3)法一：不等式x22ax8a2<0的解集為(x1，x2)，x1，x2是方程x22ax8a20的兩根由韋達(dá)定理知x2x115，又a>0，a.法二：由x22ax8a2<0，得(x2a)(x4a)<0，a>0，不等式x22ax8a2<0的解集為(2a,4a)，又不等式x22ax8a2<0的解集為(x1，x2)，x12a，x24a.x2x115，4a(2a)15，解得a.答案(1)x|2<x<1(2)(5,0)(5，)(3)A一元二次不等式的解法問(wèn)題的常見(jiàn)類(lèi)型及解題策略(1)直接求解一元二次不等式對(duì)于常系數(shù)一元二次不等式，可以用因式分解法或判別式法求解；對(duì)于含參數(shù)的不等式，首先需將二次項(xiàng)系數(shù)化為正數(shù)，若二次項(xiàng)系數(shù)不能確定，則需討論它的符號(hào)，然后判斷相應(yīng)的方程有無(wú)實(shí)根，最后討論根的大小，即可求出不等式的解集(2)與函數(shù)的奇偶性相結(jié)合的一元二次不等式的解法先借助函數(shù)的奇偶性確定函數(shù)的解析式，然后求解，或直接根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求解(3)已知一元二次不等式的解集求參數(shù)根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求解1已知關(guān)于x的不等式x2ax2a>0在R上恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_解析：不等式x2ax2a>0在R上恒成立，即(a)28a<0，0<a<8，即a的取值范圍是(0,8)答案：(0,8)2已知函數(shù)f(x)x2axb(a，bR)的值域?yàn)?，)，若關(guān)于x的不等式f(x)<c的解集為(m，m6)，則實(shí)數(shù)c的值為_(kāi)解析：f(x)x2axb的值域?yàn)?，)，0，b0，f(x)x2ax2.又f(x)<c的解集為(m，m6)，m，m6是方程x2axc0的兩根由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得解得c9.答案：93解關(guān)于x的不等式：x2(3a)x3a>0.解：x2(3a)x3a>0，(x3)(xa)>0.當(dāng)a<3時(shí)，x<a或x>3，不等式的解集為x|x<a或x>3；當(dāng)a3時(shí)，不等式為(x3)2>0，不等式的解集為x|xR且x3；當(dāng)a>3時(shí)，x<3或x>a，不等式的解集為x|x<3或x>a考點(diǎn)二一元二次不等式的恒成立問(wèn)題 例2設(shè)函數(shù)f(x)mx2mx1.(1)若對(duì)于一切實(shí)數(shù)x，f(x)<0恒成立，求m的取值范圍；(2)若對(duì)于x1,3，f(x)<m5恒成立，求m的取值范圍自主解答(1)要使mx2mx1<0恒成立，若m0，顯然1<0；若m0，則4<m<0.所以m的取值范圍為(4,0(2)要使f(x)<m5在1,3上恒成立，只需mx2mxm<6恒成立(x1,3)，又因?yàn)閤2x12>0，所以m<.令y，因?yàn)閠2在1,3上是增函數(shù)，所以y在1,3上是減函數(shù)因此函數(shù)的最小值ymin.所以，m的取值范圍是.【互動(dòng)探究】在本例條件下，求使f(x)<0，且|m|1恒成立的x的取值范圍解：將不等式f(x)<0整理成關(guān)于m的不等式為(x2x)m1<0.令g(m)(x2x)m1，m1,1則即解得<x<，即x的取值范圍為. 【方法規(guī)律】不等式恒成立問(wèn)題的求解方法(1)解決恒成立問(wèn)題一定要搞清誰(shuí)是主元，誰(shuí)是參數(shù)，一般地，知道誰(shuí)的范圍，誰(shuí)就是主元，求誰(shuí)的范圍，誰(shuí)就是參數(shù)(2)對(duì)于一元二次不等式恒成立問(wèn)題，恒大于0就是相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象在給定的區(qū)間上全部在x軸上方，恒小于0就是相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象在給定的區(qū)間上全部在x軸下方另外常轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值或用分離參數(shù)求最值已知f(x)x22ax2(aR)，當(dāng)x1，)時(shí)，f(x)a恒成立，求a的取值范圍解：法一：f(x)(xa)22a2，此二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為xa.當(dāng)a(，1)時(shí)，f(x)在1，)上單調(diào)遞增，f(x)minf(1)2a3.要使f(x)a恒成立，只需f(x)mina，即2a3a，解得3a1；當(dāng)a1，)時(shí)，f(x)minf(a)2a2，由2a2a，解得1a1.綜上所述，所求a的取值范圍為3,1法二：令g(x)x22ax2a，由已知，得x22ax2a0在1，)上恒成立，來(lái)源:即4a24(2a)0或解得3a1.故a的取值范圍是3,1考點(diǎn)三一元二次不等式的實(shí)際應(yīng)用 例3某商人如果將進(jìn)貨單價(jià)為8元的商品按每件10元出售，每天可銷(xiāo)售100件現(xiàn)在他采用提高售價(jià)，減少進(jìn)貨量的辦法增加利潤(rùn)已知這種商品每件銷(xiāo)售價(jià)每提高1元，銷(xiāo)售量就要減少10件，則他將銷(xiāo)售價(jià)每件定為多少元時(shí)，才能使得每天所獲的利潤(rùn)最大？銷(xiāo)售價(jià)每件定為多少元時(shí)，才能保證每天所獲的利潤(rùn)在300元以上？自主解答設(shè)每件提高x元(0x10)，則每件獲利潤(rùn)(2x)元，每天可銷(xiāo)售(10010x)件，又設(shè)每天獲的利潤(rùn)為y元，由題意有y(2x)(10010x)10x280x200.當(dāng)x4時(shí)，y取得最大值360.當(dāng)售價(jià)定為每件14元時(shí)，每天所獲利潤(rùn)最大，為360元要使每天所獲的利潤(rùn)在300元以上，則有10x280x200>300，即x28x10<0，解得4<x<4.故每件定價(jià)在(4)元到(4)元之間不含(4)元和(4)元時(shí)，才能保證每天所獲的利潤(rùn)在300元以上【方法規(guī)律】求解不等式應(yīng)用題的四個(gè)步驟(1)閱讀理解，認(rèn)真審題，把握問(wèn)題中的關(guān)鍵量，找準(zhǔn)不等關(guān)系(2)引進(jìn)數(shù)學(xué)符號(hào)，將文字信息轉(zhuǎn)化為符號(hào)語(yǔ)言，用不等式表示不等關(guān)系，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型(3)解不等式，得出數(shù)學(xué)結(jié)論，要注意數(shù)學(xué)模型中自變量的實(shí)際意義(4)回歸實(shí)際問(wèn)題，將數(shù)學(xué)結(jié)論還原為實(shí)際問(wèn)題的結(jié)果某農(nóng)貿(mào)公司按每擔(dān)200元收購(gòu)某農(nóng)產(chǎn)品，并每100元納稅10元(又稱征稅率為10個(gè)百分點(diǎn))，計(jì)劃可收購(gòu)a萬(wàn)擔(dān)，政府為了鼓勵(lì)收購(gòu)公司多收購(gòu)這種農(nóng)產(chǎn)品，決定將征稅率降低x(x0)個(gè)百分點(diǎn)，預(yù)測(cè)收購(gòu)量可增加2x個(gè)百分點(diǎn)(1)寫(xiě)出降稅后稅收y(萬(wàn)元)與x的函數(shù)關(guān)系式；(2)要使此項(xiàng)稅收在稅率調(diào)節(jié)后不少于原計(jì)劃稅收的83.2%，試確定x的取值范圍解：(1)降低稅率后的稅率為(10x)%，農(nóng)產(chǎn)品的收購(gòu)量為a(12x%)萬(wàn)擔(dān)，收購(gòu)總金額為200a(12x%)萬(wàn)元依題意得y200a(12x%)(10x)%a(1002x)·(10x)(0<x<10)(2)原計(jì)劃稅收為200a·10%20a(萬(wàn)元)依題意得a(1002x)(10x)20a×83.2%，化簡(jiǎn)得x240x840，來(lái)源:解得42x2.又0<x<10，0<x2.即x的取值范圍為(0,2課堂歸納通法領(lǐng)悟1個(gè)過(guò)程一元二次不等式的求解過(guò)程解一元二次不等式的一般過(guò)程是：一看(看二次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào))，二算(計(jì)算判別式，判斷方程根的情況)，三寫(xiě)(寫(xiě)出不等式的解集)2種思想分類(lèi)討論和轉(zhuǎn)化思想(1)分類(lèi)討論的思想：含有參數(shù)的一元二次不等式一般需要分類(lèi)討論在判斷方程根的情況時(shí)，判別式是分類(lèi)的標(biāo)準(zhǔn)；需要表示不等式的解集時(shí)，根的大小是分類(lèi)的標(biāo)準(zhǔn)(2)轉(zhuǎn)化思想：不等式在指定范圍的恒成立問(wèn)題，一般轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值或值域問(wèn)題3個(gè)注意點(diǎn)解含參數(shù)不等式應(yīng)注意的問(wèn)題(1)二次項(xiàng)系數(shù)中含有參數(shù)時(shí)，參數(shù)的符號(hào)影響不等式的解集；不要忘了二次項(xiàng)系數(shù)為零的情況來(lái)源:(2)解含參數(shù)的一元二次不等式，可先考慮因式分解，再對(duì)根的大小進(jìn)行分類(lèi)討論；若不能因式分解，則可對(duì)判別式進(jìn)行分類(lèi)討論，分類(lèi)要不重不漏(3)不同參數(shù)范圍的解集切莫取并集，應(yīng)分類(lèi)表述