精品資料第五節(jié)直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)全盤鞏固1設(shè)l、m、n均為直線，其中m、n在平面內(nèi)，則“l(fā)”是“l(fā)m且ln”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件解析：選A當(dāng)l時(shí)，lm且ln；但當(dāng)lm，ln時(shí)，若m、n不是相交直線，則得不到l.即“l(fā)”是“l(fā)m且ln”的充分不必要條件2已知直線l垂直于直線AB和AC，直線m垂直于直線BC和AC，則直線l，m的位置關(guān)系是()A平行 B異面 C相交 D垂直解析：選A因?yàn)橹本€l垂直于直線AB和AC，所以l垂直于平面ABC或點(diǎn)A、B、C所在的直線，同理，直線m垂直于平面ABC或點(diǎn)A、B、C所在的直線，根據(jù)線面或線線垂直的性質(zhì)定理得lm.3已知P為ABC所在平面外的一點(diǎn)，則點(diǎn)P在此三角形所在平面上的射影是ABC垂心的充分必要條件是()APAPBPCBPABC，PBACC點(diǎn)P到ABC三邊所在直線的距離相等D平面PAB、平面PBC、平面PAC與ABC所在的平面所成的角相等解析：選B條件A為外心的充分必要條件，條件C、D為內(nèi)心的充分必要條件4，為不重合的平面，m，n為不重合的直線，則下列命題正確的是()A若，n，mn，則mB若m，n，mn，則nC若n，n，m，則mD若m，n，mn，則解析：選C與、兩垂直相交平面的交線垂直的直線m，可與平行或相交，故A錯(cuò)；對B，存在n的情況，故B錯(cuò)；對D，存在的情況，故D錯(cuò)；由n，n，可知，又m，所以m，故C正確5.如圖所示，在立體圖形DABC中，若ABCB，ADCD，E是AC的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是()A平面ABC平面ABD來源:B平面ABD平面BDCC平面ABC平面BDE，且平面ADC平面BDED平面ABC平面ADC，且平面ADC平面BDE解析：選C因?yàn)锳BCB，且E是AC的中點(diǎn)所以BEAC，同理有DEAC.而BEDEE，BE平面BDE，DE平面BDE，所以AC平面BDE.因?yàn)锳C平面ABC，所以平面ABC平面BDE.又因?yàn)锳C平面ADC，所以平面ADC平面BDE.6.如圖，正三角形PAD所在平面與正方形ABCD所在平面互相垂直，O為正方形ABCD的中心，M為正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且滿足MPMC，則點(diǎn)M的軌跡為() 解析：選A取AD的中點(diǎn)E，連接PE，PC，CE.由PEAD知，PE平面ABCD，從而平面PEC平面ABCD，取PC、AB的中點(diǎn)F、G，連接DF、DG、FG，由PDDC知，DFPC，由DGEC知，DG平面PEC，又PC平面PEC，DGPC，又DFDGD，DF平面DFG，DG平面DFG，PC平面DFG，又點(diǎn)F是PC的中點(diǎn)，因此線段DG上的點(diǎn)滿足MPMC.7設(shè)l，m，n為三條不同的直線，為一個(gè)平面，給出下列命題：若l，則l與相交；若m，n，lm，ln，則l；若lm，mn，l，則n；若lm，m，n，則ln.其中正確命題的序號為_解析：顯然正確；對，只有當(dāng)m，n相交時(shí)，才有l(wèi)，故錯(cuò)誤；對，由lm，mnln，由l，得n，故正確；對，由lm，ml，再由nln，故正確答案：8.如圖所示，矩形ABCD的邊ABa，BC2，PA平面ABCD，PA2，現(xiàn)有數(shù)據(jù)：a；a1；a；a2；a4.當(dāng)在BC邊上存在點(diǎn)Q(Q不在端點(diǎn)B、C處)，使PQQD時(shí)，a可以取_(填上一個(gè)你認(rèn)為正確的數(shù)據(jù)序號即可)解析：當(dāng)PQQD時(shí)，有QD平面PAQ，所以QDAQ.在矩形ABCD中，設(shè)BQx(0<x<2)，來源:則CQ2x.在RtABQ中，AQ2a2x2，在RtDCQ中，DQ2a2(2x)2.又由AQ2DQ24，得2a22x24x0，則a2(x1)21(0<x<2)，故a2(0,1，即a(0,1，故符合，不符合答案：(或)9.如圖PAO所在平面，AB是O的直徑，C是O上一點(diǎn)，AEPC，AFPB，給出下列結(jié)論：AEBC；EFPB；AFBC；AE平面PBC，其中真命題的序號是_解析：AE平面PAC，BCAC，BCPAAEBC，故正確；AEPC，AEBC，PB平面PBCAEPB，AFPB，EF平面AEFEFPB，故正確；若AFBCAF平面PBC，則AFAE與已知矛盾，故錯(cuò)誤；由可知正確答案：10(2014臺州模擬)如圖，四棱錐PABCD中，PA底面ABCD，ABCD是直角梯形，E為BC的中點(diǎn)，BADADC90，AB3，CD1，PAAD2.(1)求證：DE平面PAC；(2)求PA與平面PDE所成角的正弦值解：(1)證明：因?yàn)镻A平面ABCD，DE平面ABCD，所以PADE，取AD的中點(diǎn)F，連接EF，則EF是梯形ABCD的中位線，所以EFAB且EF2，在RtADC和RtDEF中，EFDADC90，DFDC1，EFAD2，所以EFDADC，F(xiàn)EDDAC，所以ACDE.因?yàn)镻AACA，PA，AC平面PAC所以DE平面PAC.(2)由(1)知平面PDE平面PAC，設(shè)DEACG，連接PG，在RtPAG中，作AHPG，垂足為H，則AH平面PDE，所以APH是PA與平面PDE所成的角，由(1)知，在RtADG中，AD2，tanCAD，所以AGADcosCAD，因?yàn)镻A平面ABCD，所以PG，sinAPHsinAPG，即PA與平面PDE所成角的正弦值為.11. (2013江蘇高考)如圖，在三棱錐SABC中，平面SAB平面SBC，ABBC，ASAB.過A作AFSB，垂足為F，點(diǎn)E，G分別是棱SA，SC的中點(diǎn)求證：(1)平面EFG平面ABC；(2)BCSA.證明：(1)因?yàn)锳SAB，AFSB，垂足為F，所以F是SB的中點(diǎn)又因?yàn)镋是SA的中點(diǎn)，所以EFAB.因?yàn)镋F平面ABC，AB平面ABC，所以EF平面ABC.同理EG平面ABC.又EFEGE，所以平面EFG平面ABC.(2)因?yàn)槠矫鍿AB平面SBC，且交線為SB，又AF平面SAB，AFSB，所以AF平面SBC.因?yàn)锽C平面SBC，來源:所以AFBC.又因?yàn)锳BBC，AFABA，AF，AB平面SAB，所以BC平面SAB.因?yàn)镾A平面SAB，所以BCSA.12.如圖，在四棱錐SABCD中，平面SAD平面ABCD.四邊形ABCD為正方形，且P為AD的中點(diǎn)，Q為SB的中點(diǎn)(1)求證：CD平面SAD；(2)求證：PQ平面SCD；(3)若SASD，M為BC的中點(diǎn)，在棱SC上是否存在點(diǎn)N，使得平面DMN平面ABCD？并證明你的結(jié)論解：(1)證明：因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形，所以CDAD.又平面SAD平面ABCD，且平面SAD平面ABCDAD，所以CD平面SAD.(2)證明：取SC的中點(diǎn)R，連接QR，DR.由題意知，PDBC且PDBC.在SBC中，Q為SB的中點(diǎn)，R為SC的中點(diǎn)，所以QRBC且QRBC.所以QRPD且QRPD，來源:則四邊形PDRQ為平行四邊形，所以PQDR.又PQ平面SCD，DR平面SCD，所以PQ平面SCD.(3)存在點(diǎn)N為SC的中點(diǎn)，使得平面DMN平面ABCD.連接PC、DM交于點(diǎn)O，連接PM、SP、NM、ND、NO，因?yàn)镻DCM，且PDCM，所以四邊形PMCD為平行四邊形，所以POCO.又因?yàn)镹為SC的中點(diǎn)，所NOSP.易知SPAD，因?yàn)槠矫鍿AD平面ABCD，平面SAD平面ABCDAD，且SPAD，所以SP平面ABCD，所以NO平面ABCD.又因?yàn)镹O平面DMN，所以平面DMN平面ABCD.沖擊名校如圖在直棱柱ABCA1B1C1中，BAC90，ABAC，AA13，D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在棱BB1上運(yùn)動(dòng)(1)證明：ADC1E；(2)當(dāng)異面直線AC與C1E 所成的角為60時(shí)，求三棱錐C1A1B1E的體積解：(1)證明：因?yàn)锳BAC，D是BC的中點(diǎn)，所以ADBC.又在直三棱柱ABCA1B1C1中，BB1平面ABC，而AD平面ABC，所以ADBB1.又BCBB1B，BC，BB1平面BB1C1C，所以AD平面BB1C1C.由點(diǎn)E在棱BB1上運(yùn)動(dòng)，得C1E平面BB1C1C，所以ADC1E.(2)因?yàn)锳CA1C1，所以A1C1E是異面直線AC與C1E所成的角，由題設(shè)知A1C1E60.因?yàn)锽1A1C1BAC90，所以A1C1A1B1，來源:又AA1A1C1，A1B1AA1A1，A1B1，AA1平面A1ABB1，從而A1C1平面A1ABB1，又A1E平面A1ABB1，所以A1C1A1E.故C1E2，又B1C12，所以B1E2.從而V三棱錐C1A1B1ESA1B1EA1C12.高頻滾動(dòng)如圖，正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱長都為2，D為CC1的中點(diǎn)(1)求證：AB1平面A1BD；(2)設(shè)點(diǎn)O為AB1上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)OD平面ABC時(shí)，求的值解：(1)證明：取BC的中點(diǎn)為M，連接AM，B1M，在正三棱柱ABCA1B1C1中，平面ABC平面BCC1B1，ABC為正三角形，所以AMBC，又平面ABC平面BCC1B1BC，故AM平面BCC1B1，又BD平面BCC1B1，所以AMBD.又正方形BCC1B1中，tanBB1MtanCBD，所以BDB1M，又B1MAMM，B1M平面AB1M，AM平面AB1M，所以BD平面AB1M，又AB1平面AB1M，故AB1BD.在正方形BAA1B1中，AB1A1B，又A1BBDB，A1B，BD平面A1BD，所以AB1平面A1BD.(2)取AA1的中點(diǎn)為N，連接ND，OD，ON.因?yàn)镹，D分別為AA1，CC1的中點(diǎn)，所以NDAC，又AC平面ABC，ND平面ABC，所以ND平面ABC，又OD平面ABC，NDODD，所以平面NOD平面ABC，又平面NOD平面BAA1B1ON，平面BAA1B1平面ABCAB，所以O(shè)NAB，注意到ABA1B1，所以O(shè)NA1B1，又N為AA1的中點(diǎn)，所以O(shè)為AB1的中點(diǎn)，即1.