精品資料高考真題備選題庫第5章 數(shù)列第4節(jié) 數(shù)列求和考點一 等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合1（2013江蘇，16分）設(shè)an是首項為a，公差為d的等差數(shù)列(d0)，Sn是其前n項的和記bn，nN*，其中 c為實數(shù)(1)若c0，且b1，b2，b4成等比數(shù)列，證明：Snkn2Sk(k，nN*)；(2)若bn是等差數(shù)列，證明：c0.證明：本題考查等差、等比數(shù)列的定義，通項及前n項和，意在考查考生分析問題、解決問題的能力與推理論證能力由題設(shè)，Snnad.(1)由c0，得bnad.又b1，b2，b4成等比數(shù)列，所以bb1b4，即2a，化簡得d22ad0.因為d0，所以d2a.因此，對于所有的mN*，有Smm2a.從而對于所有的k，nN*，有Snk(nk)2an2k2an2Sk.(2)設(shè)數(shù)列bn的公差是d1，則bnb1(n1)d1，即b1(n1)d1，nN*，代入Sn的表達式，整理得，對于所有的nN*，有n3n2cd1nc(d1b1)令A(yù)d1d，Bb1d1ad，Dc(d1b1)，則對于所有的nN*，有An3Bn2cd1nD.(*)在(*)式中分別取n1,2,3,4，得ABcd18A4B2cd127A9B3cd164A16B4cd1，從而有由，得A0，cd15B，代入方程，得B0，從而cd10.即d1d0，b1d1ad0，cd10.若d10，則由d1d0，得d0，與題設(shè)矛盾，所以d10.又cd10，所以c0.2（2013浙江，14分）在公差為d的等差數(shù)列an中，已知a110，且a1，2a22,5a3成等比數(shù)列(1)求d，an；(2) 若d<0，求|a1|a2|a3|an|.解：本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念，等差數(shù)列通項公式，求和公式等基礎(chǔ)知識，同時考查運算求解能力(1)由題意得5a3·a1(2a22)2，即d23d40.故d1或d4.所以ann11，nN*或an4n6，nN*.(2)設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn.因為d<0，由(1)得d1，ann11.則當(dāng)n11時，|a1|a2|a3|an|Snn2n.當(dāng)n12時，|a1|a2|a3|an|Sn2S11n2n110.綜上所述，|a1|a2|a3|an|3（2013天津，14分）已知首項為的等比數(shù)列an的前n項和為Sn(nN*), 且2S2，S3,4S4成等差數(shù)列 (1)求數(shù)列an的通項公式； (2)證明Sn(nN*)解：本題主要考查等差數(shù)列的概念，等比數(shù)列的概念、通項公式、前n項和公式，數(shù)列的基本性質(zhì)等基礎(chǔ)知識考查分類討論的思想，考查運算能力、分析問題和解決問題的能力(1)設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，因為2S2，S3,4S4成等差數(shù)列，所以S32S24S4S3，即S4S3S2S4，可得2a4a3，于是q.又a1，所以等比數(shù)列an的通項公式為an×n1(1)n1·.(2)證明：Sn1n，Sn1n當(dāng)n為奇數(shù)時，Sn隨n的增大而減小，所以SnS1；當(dāng)n為偶數(shù)時，Sn隨n的增大而減小，所以SnS2.故對于nN*，有Sn.4. （2013陜西，12分）設(shè)Sn表示數(shù)列an的前n項和(1)若an為等差數(shù)列，推導(dǎo)Sn的計算公式；(2)若a11，q0，且對所有正整數(shù)n，有Sn.判斷an是否為等比數(shù)列，并證明你的結(jié)論解：本題主要考查等差數(shù)列前n項和公式推導(dǎo)所用的倒序相加法，考查等比數(shù)列的證明方法和一般數(shù)列切入點的技巧，深度考查考生應(yīng)用數(shù)列作工具進行邏輯推理的思維方法(1)法一：設(shè)an的公差為d，則Sna1a2ana1(a1d)a1(n1)d，又Snan(and)an(n1)d，2Snn(a1an)，Sn.法二：設(shè)an的公差為d，則Sna1a2ana1(a1d)a1(n1)d，又Snanan1a1a1(n1)da1(n2)da1，2Sn2a1(n1)d2a1(n1)d2a1(n1)d2na1n(n1)d，Snna1d.(2)an是等比數(shù)列證明如下：Sn，an1Sn1Snqn.a11，q0，當(dāng)n1時，有q，因此，an是首項為1且公比為q的等比數(shù)列5（2013重慶，13分）設(shè)數(shù)列an 滿足：a11，an13an，nN.(1)求an的通項公式及前n項和Sn；(2)已知bn是等差數(shù)列，Tn為其前n項和，且b1a2，b3a1a2a3，求T20.解：本題主要考查等比數(shù)列、等差數(shù)列的通項公式與前n項和等基礎(chǔ)知識，考查邏輯思維能力(1)由題設(shè)知an是首項為1，公比為3的等比數(shù)列，所以an3n1，Sn(3n1)(2)b1a23，b3a1a2a313913，b3b1102d，所以數(shù)列bn的公差d5，故T2020×3×51 010.6(2009·寧夏、海南，5分)等比數(shù)列an的前n項和為Sn，且4a1,2a2，a3成等差數(shù)列若a11，則S4()A7B8C15 D16解析：4a1,2a2，a3成等差數(shù)列，4a24a1a3.an是等比數(shù)列，4a1·q4a1a1q2，a11.q24q40，q2，S415.答案：C7（2011江蘇，5分）設(shè)1a1a2a7，其中a1，a3，a5，a7成公比為q的等比數(shù)列，a2，a4，a6成公差為1的等差數(shù)列，則q的最小值是_解析：設(shè)a2t，則1tqt1q2t2q3，由于t1，所以qmaxt，故q的最小值是.答案：8（2012山東，12分）已知等差數(shù)列an的前5項和為105，且a102a5.(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)對任意mN*，將數(shù)列an中不大于72m的項的個數(shù)記為bm，求數(shù)列bm的前m項和Sm.解：(1)設(shè)數(shù)列an的公差為d，前n項和為Tn.由T5105，a102a5，得到解得a17，d7.因此ana1(n1)d77(n1)7n(nN*)(2)對mN*，若an7n72m，則n72m1.因此bm72m1，所以數(shù)列bm是首項為7公比為49的等比數(shù)列故Sm.9（2012浙江，14分）已知數(shù)列an的前n項和為Sn，且Sn2n2n，nN*，數(shù)列bn滿足an4log2bn3，nN*.(1)求an，bn；(2)求數(shù)列an·bn的前n項和Tn.解：(1)由Sn2n2n，得當(dāng)n1時，a1S13；當(dāng)n2時，anSnSn14n1，易知當(dāng)n1時也滿足通式an4n1，所以an4n1，nN*.由4n1an4log2bn3，得bn2n1，nN*.(2)由(1)知an·bn(4n1)·2n1，nN*，所以Tn37×211×22(4n1)·2n1,2Tn3×27×22(4n5)·2n1(4n1)·2n，所以2TnTn(4n1)2n34(2222n1)(4n5)2n5.故Tn(4n5)2n5，nN*.10(2010天津，14分)在數(shù)列an中，a10，且對任意kN*，a2k1，a2k，a2k1成等差數(shù)列，其公差為2k.(1)證明：a4，a5，a6成等比數(shù)列；(2)求數(shù)列an的通項公式；(3)記Tn，證明：2nTn2(n2)解：(1)證明：由題設(shè)可知，a2a122，a3a224，a4a348，a5a4412，a6a5618.從而.所以a4，a5，a6成等比數(shù)列(2)由題設(shè)，可得a2k1a2k14k，kN*.所以a2k1a1(a2k1a2k1)(a2k1a2k3)(a3a1)4k4(k1)4×12k(k1)，kN*.由a10，得a2k12k(k1)，從而a2ka2k12k2k2.所以數(shù)列an的通項公式為an或?qū)憺閍n，nN*.(3)證明：由(2)可知a2k12k(k1)，a2k2k2.以下分兩種情況進行討論：當(dāng)n為偶數(shù)時，設(shè)n2m(mN*)若m1，則2n2.若m2，則2m2m2()2m2(m1)(1)2n.所以2n，從而2nTn2，n4,6,8，當(dāng)n為奇數(shù)時，設(shè)n2m1(mN*)4m4m2n，所以2n，從而2nTn2，n3,5,7，.綜合和可知，對任意n2，nN*，有2nTn2.11(2010北京，13分)已知an為等差數(shù)列，且a36，a60.(1)求an的通項公式；(2)若等比數(shù)列bn滿足b18，b2a1a2a3，求bn的前n項和公式解：(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d.因為a36，a60，所以解得a110，d2.所以an10(n1)·22n12.(2)設(shè)等比數(shù)列bn的公比為q.因為b2a1a2a324，b18，所以8q24，即q3.所以bn的前n項和公式為Sn4(13n)考點二 遞推數(shù)列及其應(yīng)用1（2013湖南，13分）設(shè)Sn為數(shù)列an的前n項和，已知a10,2ana1S1·Sn，nN*.(1)求a1，a2，并求數(shù)列an的通項公式；(2)求數(shù)列nan的前n項和解：本題主要考查數(shù)列的通項公式和數(shù)列求和，結(jié)合轉(zhuǎn)化思想，意在考查考生的運算求解能力(1)令n1，得2a1a1a，即a1a.因為a10，所以a11.令n2，得2a21S21a2，解得a22.當(dāng)n2時，由2an1Sn,2an11Sn1兩式相減得2an2an1an，即an2an1.于是數(shù)列an是首項為1，公比為2的等比數(shù)列因此，an2n1.所以數(shù)列an的通項公式為an2n1.(2)由(1)知，nann·2n1.記數(shù)列n·2n1的前n項和為Bn，于是Bn12×23×22n×2n1，2Bn1×22×223×23n×2n.得Bn12222n1n·2n2n1n·2n.從而Bn1(n1)·2n.2（2013廣東，14分）設(shè)各項均為正數(shù)的數(shù)列an的前n項和為Sn，滿足4Sna4n1，nN*，且a2，a5，a14構(gòu)成等比數(shù)列(1)證明：a2 ；(2)求數(shù)列an的通項公式；(3)證明：對一切正整數(shù)n，有.解：本題主要考查通過“an與Sn法”將遞推數(shù)列轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列及裂項求和法，意在考查考生運用化歸與轉(zhuǎn)化思想解決問題的能力(1)證明：an0，令n1，有4S1a41，即4a1a41，a2.(2)當(dāng)n2時，4Sna4n1,4Sn1a4(n1)1，兩式相減得4anaa4，有a(an2)2，即an1an2，an從第2項起，是公差為2的等差數(shù)列，a5a23×2a26，a14a212×2a224，又a2，a5，a14構(gòu)成等比數(shù)列，有aa2·a14，則(a26)2a2(a224)，解得a23，由(1)得a11，又an1an2(n2)an是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，即an1(n1)×22n1.(3)證明：由(2)得.3（2012新課標(biāo)全國，5分）數(shù)列an滿足an1(1)nan2n1，則an的前60項和為()A3 690B3 660C1 845 D1 830解析：不妨令a11，根據(jù)題意，得a22，a3a5a71，a46，a610，所以當(dāng)n為奇數(shù)時，an1，當(dāng)n為偶數(shù)時構(gòu)成以a22為首項，以4為公差的等差數(shù)列所以前60項和為S60302×30×41 830.答案：D4(2009·福建，4分)五位同學(xué)圍成一圈依序循環(huán)報數(shù)，規(guī)定：第一位同學(xué)首次報出的數(shù)為1，第二位同學(xué)首次報出的數(shù)也為1，之后每位同學(xué)所報出的數(shù)都是前兩位同學(xué)所報出的數(shù)之和；若報出的數(shù)為3的倍數(shù)，則報該數(shù)的同學(xué)需拍一次已知甲同學(xué)第一個報數(shù)，當(dāng)五位同學(xué)依序循環(huán)報到第100個數(shù)時，甲同學(xué)拍手的總次數(shù)為_解析：五位同學(xué)報數(shù)所構(gòu)成的數(shù)列為1,1,2,3,5,8,13,21，該數(shù)列被3除所得的余數(shù)構(gòu)成的數(shù)列為1,1,2,0,2,2,1,0，所得新數(shù)列中每4個數(shù)出現(xiàn)一個0，而又有5名同學(xué)，因而甲同學(xué)報的數(shù)為3的倍數(shù)的間隔為20，所以甲同學(xué)報的數(shù)為3的倍數(shù)的數(shù)依次是第16,36,56,76,96，共5個數(shù)答案：55(2011廣東，14分)設(shè)b0，數(shù)列an滿足a1b，an(n2)(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)證明：對于一切正整數(shù)n,2anbn11.(1)由an聯(lián)想到取倒數(shù)得·，令cn，有cncn1，當(dāng)b1時，cn為等差數(shù)列，當(dāng)b1時，設(shè)cnk(cn1k)，展開對比得k，構(gòu)造等比數(shù)列cn，求得cn后再求an；(2)當(dāng)b1時，易驗證，當(dāng)b1時，先用分析法將2anbn11轉(zhuǎn)化為bn11，利用公式anbn(ab)(an1an2bbn1)，再轉(zhuǎn)化為2nbn(bn11)(1bb2bn1)，然后將右邊乘開，再利用基本不等式即可得證解：(1)a1b0，an，·，令cn，則cncn1，當(dāng)b1時，cn1cn1，且c11cn是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，cn1(n1)×1n，于是cnn，這時an1；當(dāng)b1時，cn(cn1)，且c1，cn是首項為，公比為的等比數(shù)列，cn·()n1，由得an，an.(2)證明：由(1)得，當(dāng)b1時，an1,2anbn1122成立，當(dāng)b1時，an，2anbn11bn11，而1bn(1b)(1bb2bn1)，又b0，故只需證：2nbn(bn11)(1bb2bn1)，()而(bn11)(1bb2bn2bn1)(b2nb2n1bn1)(bn1bn2b1)(b2n1)(b2n1b)(bn1bn1)2bn2bn2bn2nbn，()式成立，原不等式成立