精品資料A組基礎(chǔ)演練能力提升一、選擇題1已知aln x對任意x恒成立，則a的最大值為()A0B1C2D3解析：設(shè)f(x)ln x，則f(x).當(dāng)x時，f(x)<0，故函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞減；當(dāng)x(1,2時，f(x)>0，故函數(shù)f(x)在(1,2上單調(diào)遞增，f(x)minf(1)0，a0，即a的最大值為0.答案：A2(2014年石家莊模擬)已知正六棱柱的12個頂點(diǎn)都在一個半徑為3的球面上，當(dāng)正六棱柱的體積最大時，其高的值為()A3 B. C2 D2解析：設(shè)正六棱柱的底面邊長為a，高為h，則可得a29，即a29，那么正六棱柱的體積Vhh，令y9h，則y9，令y0，得h2.易知當(dāng)h2時，正六棱柱的體積最大答案：D3(2014年濟(jì)南模擬)設(shè)函數(shù)ht(x)3tx2t，若有且僅有一個正實數(shù)x0，使得h7(x0)ht(x0)對任意的正數(shù)t都成立，則x0()A5 B. C3 D.解析：h7(x0)ht(x0)對任意的正數(shù)t都成立，h7(x0)ht(x0)max.記g(t)ht(x0)3tx02t，則g(t)3x03t，令g(t)0，得tx，易得ht(x0)maxg(x)x，因此，21x014x，將選項檢驗可得，正確答案為D.答案：D4f(x)2x43x21在上的最大值、最小值分別是()A21，B1，C21,0 D0，解析：函數(shù)f(x)在上有最大值和最小值f(x)8x36x0，解得x0或x或x(舍去)，f(x)maxf(2)21，f(x)minf.答案：A5若函數(shù)f(x)在2,2上的最大值為2，則a的取值范圍是()A. B.C(，0 D.解析：當(dāng)x0時，f(x)6x26x，易知函數(shù)f(x)在(，0上的極大值點(diǎn)是x1，且f(1)2，故只要在(0,2上，eax2即可，即axln 2在(0,2上恒成立，即a在(0,2上恒成立，故aln 2.答案：D6做一個圓柱形鍋爐，容積為V，兩個底面的材料每單位面積的價格為a元，側(cè)面的材料每單位面積的價格為b元，當(dāng)造價最低時，鍋爐的底面直徑與高的比為()A.B.C.D.解析：如圖，設(shè)圓柱的底面半徑為R，高為h，則VR2h.設(shè)造價為y2R2a2Rhb2aR22Rb2aR2，y4aR.令y0，得.答案：C二、填空題7函數(shù)f(x)x2ln x的最小值為_解析：由得x>1，由得0<x<1.來源:f(x)在x1時取最小值f(1)ln 1.答案：8已知函數(shù)f(x)x33x，若對于區(qū)間3,2上任意的x1，x2都有|f(x1)f(x2)|t，則實數(shù)t的最小值是_解析：f(x)3x23，令f(x)0，解得x1，所以1，1為函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)因為f(3)18，f(1)2，f(1)2，f(2)2，所以在區(qū)間3,2上，f(x)max2，f(x)min18，所以對于區(qū)間3,2上任意的x1，x2，|f(x1)f(x2)|20，所以t20，從而t的最小值為20.答案：209已知函數(shù)f(x)exaex，若f(x)2恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是_解析：由題意可知，f(x)exaex2恒成立，分離參數(shù)可得，a(2ex)ex恒成立，令ext(t>0)，問題等價于a(t22t)max3.所以a3，)答案：3，)三、解答題10(2014年長沙模擬)已知函數(shù)f(x)ln x1.(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)設(shè)mR，對任意的a(1,1)，總存在x01，e，使得不等式maf(x0)<0成立，求實數(shù)m的取值范圍解析：(1)f(x)，x>0.令f(x)>0，得x>1，因此函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(1，)令f(x)<0，得0<x<1，因此函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0,1)(2)依題意，ma<f(x)max.由(1)知，f(x)在x1，e上是增函數(shù)，f(x)maxf(e)ln e1.來源:ma<，即ma<0對于任意的a(1,1)恒成立解得m.m的取值范圍是.11(2014年云南模擬)設(shè)f(x)ln(x1)ax(aR且a0)(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；(2)若a1，證明：x(0,5)時，f(x)<成立解析：(1)函數(shù)f(x)的定義域為(1，)，f(x)a，當(dāng)a>0時，f(x)>0，函數(shù)f(x)在(1，)上是增函數(shù)；當(dāng)a<0時， f(x)，>1，由f(x)>0得，1<x<，由f(x)<0得，x>.函數(shù)f(x)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)(2)當(dāng)a1時，f(x)ln(x1)x，要證x(0,5)時，f(x)<成立，只需證(x1)ln(x1)x28x<0在x(0,5)時恒成立令g(x)(x1)ln(x1)x28x，則g(x)ln(x1)2x7.設(shè)h(x)ln(x1)2x7，x(0,5)，則h(x)2>0，g(x)在(0,5)上單調(diào)遞增，g(0)<g(x)<g(5)，則7<g(x)<ln 63，即x0(0,5)，使g(x)在(0，x0)上單調(diào)遞減，在(x0,5)上單調(diào)遞增，而g(0)0，g(5)6ln 615<6ln e2156215<0，當(dāng)x(0,5)時，(x1)ln(x1)x28x<0恒成立，即原命題得證12(2014年濟(jì)南模擬)設(shè)函數(shù)f(x)xex.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值；(2)是否存在實數(shù)a，使得對任意的x1、x2(a，)，當(dāng)x1<x2時恒有>成立？若存在，求a的取值范圍；若不存在，請說明理由解析：(1)f(x)(1x)ex.令f(x)0，得x1.f(x)，f(x)隨x的變化情況如下：(x)(，1)來源:1(1，)f(x)0f(x)極小值f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(，1)，單調(diào)遞增區(qū)間是(1，)；f(x)極小值f(1).(2)設(shè)g(x)，由題意，對任意的x1、x2(a，)，當(dāng)x1<x2，時恒有g(shù)(x2)>g(x1)，即yg(x)在(a，)上是單調(diào)遞增函數(shù)又g(x)，x(a，)，g(x)0.令h(x)x2exaxexaexaea，h(x)2xexx2exa(1x)exaexx(x2)exa(x2)ex(x2)(xa)ex.來源:若a2，當(dāng)x>a時，h(x)>0，h(x)為(a，)上的單調(diào)遞增函數(shù)，h(x)>h(a)0，不等式成立若a<2，當(dāng)x(a，2)時，h(x)<0，h(x)為(a，2)上的單調(diào)遞減函數(shù)，x0(a，2)，h(x0)<h(a)0，與x(a，)，h(x)0矛盾綜上，a的取值范圍為2，)B組因材施教備選練習(xí)1(2014年哈師大附中模擬)已知f(x)ln x，f(x)在xx0處取最大值，以下各式正確的序號為()來源:f(x0)<x0f(x0)x0f(x0)>x0f(x0)<f(x0)>A B C D解析：f(x)，由題意可知f(x0)0，即ln x0x010，ln x0(x01)，故f(x0)ln x0x0.令函數(shù)g(x)ln xx1(x>0)，則g(x)1>0，故函數(shù)g(x)為增函數(shù)，而gln>ln e>0g(x0)，x0<，即f(x0)<.故選B.答案：B2已知函數(shù)f(x)aln xax3(aR)(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)a1時，證明：在(1，)上，f(x)2>0；(3)求證：<(n2，nN*)解析：(1)根據(jù)題意知，f(x)(x>0)，當(dāng)a>0時，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1，單調(diào)遞減區(qū)間為(1，)；當(dāng)a<0時，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(1，)，單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1；當(dāng)a0時，f(x)不是單調(diào)函數(shù)(2)證明：當(dāng)a1時，f(x)ln xx3，所以f(1)2，由(1)知f(x)ln xx3在(1，)上單調(diào)遞增，所以當(dāng)x(1，)時，f(x)>f(1)，即f(x)>2，所以f(x)2>0.(3)證明：由(2)得ln xx32>0，即ln xx1>0，所以ln x<x1對一切x(1，)恒成立n2，nN*，則有0<ln n<n1，0<<，<(n2，nN*)