《高中數(shù)學(xué) 第一章 集合與函數(shù)概念 第1節(jié) 集合1教案 新人教A版必修1》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高中數(shù)學(xué) 第一章 集合與函數(shù)概念 第1節(jié) 集合1教案 新人教A版必修1（7頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 第一章第一節(jié)集合第一課時 通過本章的學(xué)習(xí)，使學(xué)生會使用最基本的集合語言表示有關(guān)的數(shù)學(xué)對象，并能在自然語言、圖形語言、集合語言之間進行轉(zhuǎn)換，體會用集合語言表達數(shù)學(xué)內(nèi)容的簡潔性、準(zhǔn)確性，幫助學(xué)生學(xué)會用集合語言描述數(shù)學(xué)對象，發(fā)展學(xué)生運用數(shù)學(xué)語言進行交流的能力．通過本章的學(xué)習(xí)，使學(xué)生不僅把函數(shù)看成變量之間的依賴關(guān)系，同時還會用集合與對應(yīng)的語言刻畫函數(shù)，為后續(xù)學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)．函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的核心概念，本章把函數(shù)作為描述客觀世界變化規(guī)律的重要數(shù)學(xué)模型來學(xué)習(xí)，強調(diào)結(jié)合實際問題，使學(xué)生感受運用函數(shù)概念建立模型的過程與方法，從而發(fā)展學(xué)生對變量數(shù)學(xué)的認識，培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力，提高學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識．

2、 課本力求緊密結(jié)合學(xué)生的生活經(jīng)驗和已有數(shù)學(xué)知識，通過列舉豐富的實例，強調(diào)從實例出發(fā)，讓學(xué)生對集合和函數(shù)概念有充分的感性認知基礎(chǔ)，再用集合與對應(yīng)語言抽象出函數(shù)概念．課本突出了集合和函數(shù)概念的背景教學(xué)，這樣比較符合學(xué)生的認識規(guī)律．教學(xué)中要高度重視數(shù)學(xué)概念的背景教學(xué)．課本盡量創(chuàng)設(shè)使學(xué)生運用集合語言和數(shù)學(xué)符號進行表達和交流的情境和機會，并注意運用Venn圖表達集合的關(guān)系及運算，用圖象表示函數(shù)，幫助學(xué)生借助直觀圖示認識抽象概念．課本在例題、習(xí)題的教學(xué)中注重運用集合和函數(shù)的觀點研究、處理數(shù)學(xué)問題，這一觀點，一直貫穿到以后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中．在例題和習(xí)題的編排中，滲透了分類討論思想，讓學(xué)生體會到分類討論思想在生活

3、中和數(shù)學(xué)中的廣泛運用，這是學(xué)生在初中階段所缺少的．函數(shù)的表示是本章的主要內(nèi)容之一，課本重視采用不同的表示法(列表法、圖象法、分析法)，目的是豐富學(xué)生對函數(shù)的認識，幫助理解抽象的函數(shù)概念．在教學(xué)中，既要充分發(fā)揮圖象的直觀作用，又要適當(dāng)?shù)匾龑?dǎo)學(xué)生從代數(shù)的角度研究圖象，使學(xué)生深刻體會數(shù)形結(jié)合這一重要數(shù)學(xué)方法．課本將函數(shù)推廣到了映射，體現(xiàn)了由特殊到一般的思維規(guī)律，有利于學(xué)生對函數(shù)概念學(xué)習(xí)的連續(xù)性． 在教學(xué)中，要堅持循序漸進，逐步滲透數(shù)形結(jié)合、分類討論這方面的訓(xùn)練．對函數(shù)的三要素著重從函數(shù)的實質(zhì)上要求理解，而對定義域、值域的繁難計算，特別是人為的過于技巧化的訓(xùn)練不作提倡，要準(zhǔn)確把握這方面的要求，防止拔

4、高教學(xué)．重視函數(shù)與信息技術(shù)整合的要求，通過電腦繪制簡單函數(shù)動態(tài)圖象，使學(xué)生初步感受到信息技術(shù)在函數(shù)學(xué)習(xí)中的重要作用．為了體現(xiàn)課本的選擇性，在練習(xí)題安排上加大了彈性，教師應(yīng)根據(jù)學(xué)生實際情況，合理地取舍． 本章教學(xué)時間約需14課時，具體分配如下(僅供參考)： 1.1.1 集合的含義與表示 約1課時 1.1.2 集合間的基本關(guān)系 約1課時 1.1.3 集合的基本運算 約2課時 1.2.1 函數(shù)的概念 約2課時 1.2.2 函數(shù)的表示法 約3課時 1.3.1 單調(diào)性與最大(小)值 約2課時 1.3.2 奇偶性 約1課時 實習(xí)作業(yè) 約1課時 本章復(fù)習(xí)

5、 約1課時 作者：唐洵 教學(xué)分析　　　　　 集合語言是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基本語言，同時也是一種抽象的數(shù)學(xué)語言．教材將集合的初步知識作為初、高中數(shù)學(xué)課程的銜接，既體現(xiàn)出集合在高中數(shù)學(xué)課程中舉足輕重的作用，又體現(xiàn)出集合在數(shù)學(xué)中的奠基性地位． 課本除了從學(xué)生熟悉的集合(自然數(shù)的集合、有理數(shù)的集合等)出發(fā)，結(jié)合實例給出元素、集合的含義、性質(zhì)、表示方法之外，還特別注意滲透了“概括”與“類比”這兩種常用的邏輯思考方法．因此，建議教學(xué)時，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生從大量的實例中概括出集合的含義；多創(chuàng)設(shè)讓學(xué)生運用集合語言進行表達和交流的情境和機會，以便學(xué)生在實際應(yīng)用中逐漸熟悉自然語言、集合語言和圖形語言各自的特點和表

6、示方法，能進行相互轉(zhuǎn)換并且靈活應(yīng)用，充分掌握集合語言．與此同時，本小節(jié)作為高一數(shù)學(xué)教學(xué)的第一節(jié)新授課，知識體系中的新概念、新符號較多，建議教學(xué)時先引導(dǎo)學(xué)生閱讀課本，然后進行交流、討論，讓學(xué)生在閱讀與交流中理解概念并熟悉新符號的使用．這樣，既能夠培養(yǎng)學(xué)生自我閱讀、共同探究的能力，又能提高學(xué)生主動學(xué)習(xí)、合作交流的精神． 三維目標(biāo) 1．了解集合含義；理解元素與集合“屬于”關(guān)系；熟記常用數(shù)集專用符號． 2．深刻理解集合元素的確定性、互異性、無序性；能夠用其解決有關(guān)問題． 3．能選擇不同的形式表示具體的問題中的集合． 重點難點 教學(xué)重點：集合的基本概念與表示方法． 教學(xué)難點：選擇適當(dāng)?shù)姆椒?/p>

7、表示具體問題中的集合． 課時安排 1課時 導(dǎo)入新課 思路1.集合對我們來說可謂是“最熟悉的陌生人”．說它熟悉，是因為我們在現(xiàn)實生活中常常用到“集合”這個名詞；比如說，軍訓(xùn)的時候，教官是不是經(jīng)常喊：“高一(4)班的同學(xué)，集合啦！”那么說它陌生，是因為我們還未從數(shù)學(xué)的角度理解集合，從數(shù)學(xué)的層面挖掘集合的內(nèi)涵．那么，在數(shù)學(xué)的領(lǐng)域中，集合究竟是什么呢？集合又有著怎樣的含義呢？就讓我們通過今天這堂課的學(xué)習(xí)，一起揭開“集合”神秘的面紗． 思路2.你經(jīng)常會談?wù)撃愕募彝ィ愕陌嗉墸鋵嵲谥v到你的家庭、班級的時候，你必定在聯(lián)想構(gòu)成家庭、班級的成員，例如：家庭成員就是被你稱為父親、母親、哥哥、姐姐、

8、妹妹、弟弟……的人；班級成員就是與你在同一個教室里一起上課、一起學(xué)習(xí)的人；一些具有特定屬性的人構(gòu)成的群體，在數(shù)學(xué)上就是一個集合．那么，在數(shù)學(xué)中，一些對象的總體怎樣才可以構(gòu)成集合、集合中的元素有哪些特性？集合又有哪些表示方法呢？ 這就是本節(jié)課我們所要學(xué)習(xí)的內(nèi)容． 思路3.“同學(xué)們，在小學(xué)和初中的學(xué)習(xí)過程中，我們已經(jīng)接觸過一些集合的例子，比如說：有理數(shù)集合，到一個定點的距離等于定長的點的集合(圓)，那么大家是否能夠舉出更多關(guān)于集合的例子呢？”(通過兩個簡單的例子，引導(dǎo)大家進行類比，運用發(fā)散性思維思考說出更多的關(guān)于集合的實例，然后教師予以點評．) “那么，集合的含義究竟是什么？它又該如何表示呢

9、？這就是我們今天要研究的課題．” 推進新課 ①中國有許多傳統(tǒng)的佳節(jié)，那么這些傳統(tǒng)的節(jié)日是否能構(gòu)成一個集合?如果能，這個集合由什么組成? ②全體自然數(shù)能否構(gòu)成一個集合?如果能，這個集合由什么組成? ③方程x2-3x+2=0的所有實數(shù)根能否構(gòu)成一個集合?如果能，這個集合由什么組成? ④你能否根據(jù)上述幾個問題總結(jié)出集合的含義? 討論結(jié)果：①能．這個集合由春節(jié)、元宵節(jié)、端午節(jié)等有限個種類的節(jié)日組成，稱為有限集． ②能．這個集合由0、1、2、3、……等無限個元素組成，稱為無限集． ③能．這個集合由1、2兩個數(shù)組成． ④我們把研究對象統(tǒng)稱為“元素”

10、，把一些元素組成的總體叫做“集合”． 通過以上的學(xué)習(xí)我們已經(jīng)知道集合是由一些元素組成的總體，那么是否所有的元素都能構(gòu)成集合呢?請看下面幾個問題 ①近視超過300度的同學(xué)能否構(gòu)成一個集合? ②“眼神很差”的同學(xué)能否構(gòu)成一個集合? ③比較問題①②，說明集合中的元素具有什么性質(zhì)? ④我們知道冬蟲夏草既是一種植物，又是一種動物那么在所有動植物構(gòu)成的集合中，冬蟲夏草出現(xiàn)的次數(shù)是一次呢還是兩次? ⑤組成英文單詞every的字母構(gòu)成的集合含有幾個元素?分別是什么? ⑥問題④⑤說明集合中的元素具有什么性質(zhì)? ⑦在玩斗地主的時候，我們都知道3、4、5、6、7是一個順子，那比如說老師出牌的時候

11、把這五張牌的順序擺成了5、3、6、7、4，那么這還是一個順子么?類比集合中的元素，一個集合中的元素是3、4、5、6、7，另外一個集合中的元素是5、3、6、7、4，這兩個集合中的元素相同么?集合相同嗎?這體現(xiàn)了集合中的元素的什么性質(zhì)? 討論結(jié)果：①能． ②不能． ③確定性．問題②對“眼神很差”的同學(xué)沒有一個確定的標(biāo)準(zhǔn)，到底怎樣才算眼神差，是近視300度？400度？還是說“眼神很差”只是寓意？我們不得而知．因此通過問題①②我們了解到，對于給定的集合，它的元素必須是確定的，即任何一個元素要么在這個集合中，要么不在這個集合中，這就是集合中元素的確定性． ④一次． ⑤4個元素．e、v、r、y這

12、四個字母． ⑥互異性．一個集合中的元素是互不相同的，也就是說，集合中的元素不能重復(fù)出現(xiàn)． ⑦是．元素相同．集合相同．體現(xiàn)集合中元素的無序性，即集合中的元素的排列是沒有順序的．只要構(gòu)成兩個集合的元素是一樣的，我們就稱這兩個集合是相等的． ①如果用A表示所有的自然數(shù)構(gòu)成的集合，B表示所有的有理數(shù)構(gòu)成的集合，a=1.58，那么元素“和集合A、B分別有著怎樣的關(guān)系? ②大家能否從問題①中總結(jié)出元素與集合的關(guān)系? ③A表示“1～20內(nèi)的所有質(zhì)數(shù)”組成的集合，那么3________A，4________A. 討論結(jié)果：①a是集合B中的元素，a不是集合A中的元素． ②a是集合B中的元素，就

13、說a屬于集合B，記作a∈B；a不是集合A中的元素，就說a不屬于集合A，記作a?A.因此元素與集合的關(guān)系有兩種，即屬于和不屬于． ③3∈A,4?A. ①從這堂課的開始到現(xiàn)在，你們注意到了我用了幾種方法表示集合？ ②字母表示法中有哪些專用符號？ ③除了自然語言法和字母表示法之外，課本還為我們提供了幾種集合的表示方法？分別是什么？ ④列舉法的含義是什么？你能否運用列舉法表示一些集合？請舉例! ⑤能用列舉法把下列集合表示出來嗎？ (ⅰ)小于10的質(zhì)數(shù)； (ⅱ)不等式x-2>5的解集. ⑥描述法的含義是什么？你能否運用

14、描述法表示一些集合？請舉例! ⑦集合的表示方法共有幾種？ 討論結(jié)果：①兩種，自然語言法和字母表示法． ②非負整數(shù)集(或自然數(shù)集)，記作N； 除0的非負整數(shù)集，也稱正整數(shù)集，記作N*或N＋； 整數(shù)集，記作Z；有理數(shù)集，記作Q；實數(shù)集，記作R. ③兩種，列舉法與描述法． ④把集合中的元素一一列舉出來，并用花括號“{　}”括起來表示集合的方法叫做列舉法．例如“地球上的四大洋”組成的集合可以用列舉法表示為{太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋}，方程x2－3x＋2＝0的所有實數(shù)根組成的集合可以用列舉法表示為{1,2}． ⑤“小于10的質(zhì)數(shù)”可以用列舉法表示出來；“不等式x－2>5的解

15、集”不能夠用列舉法表示出來，因為這個集合是一個無限集．因此，當(dāng)集合是無限集或者其元素數(shù)量較多而不便于無一遺漏地列舉出來的時候，如果我們再用列舉法來表示集合就顯得不夠簡潔明了． ⑥用集合所含元素的共同特征表示集合的方法稱為描述法．具體方法是：在花括號內(nèi)先寫上表示這個集合元素的一般符號及取值(或變化)范圍，再畫一條豎線，在豎線后寫出這個集合中元素所具有的共同特征．例如，不等式x－2>5的解集可以表示為{x∈R|x>7}；所有的正方形的集合可以表示為{x|x是正方形}，也可寫成{正方形}． ⑦自然語言法、字母表示法、列舉法、描述法． 例1下列所給對象不能構(gòu)成集合的是__________．

16、 (1)高一數(shù)學(xué)課本中所有的難題； (2)某一班級16歲以下的學(xué)生； (3)某中學(xué)的大個子； (4)某學(xué)校身高超過1.80米的學(xué)生． 活動探究：教師首先引導(dǎo)學(xué)生通過讀題、審題，了解本題考查的基本知識點——集合中元素的確定性；然后指導(dǎo)學(xué)生對4個選項進行逐一判斷；判斷所給元素是否能構(gòu)成集合，關(guān)鍵是看是否滿足集合元素的確定性． 解析：(1)不能構(gòu)成集合．“難題”的概念是模糊的，不確定的，無明確的標(biāo)準(zhǔn)，對于一道數(shù)學(xué)題是否是“難題”無法客觀地判斷．實際上一道數(shù)學(xué)題是“難者不會，會者不難”，因而“高一數(shù)學(xué)課本中所有的難題”不能構(gòu)成集合． (2)能構(gòu)成集合，其中的元素是某班級16歲以下的學(xué)生．

17、 (3)因為未規(guī)定大個子的標(biāo)準(zhǔn)，所以(3)不能組成集合． (4)由于(4)中的對象具備確定性，因此，能構(gòu)成集合． 答案：(1)(3) 變式訓(xùn)練 1．下列幾組對象可以構(gòu)成集合的是(　　) A．充分接近π的實數(shù)的全體 B．善良的人 C．某校高一所有聰明的同學(xué) D．某單位所有身高在1.7 m以上的人 答案：D 2．已知集合S的三個元素a、b、c是△ABC的三邊長，那么△ABC一定不是(　　) A．銳角三角形　　　　　　　　　B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰三角形 答案：D 3．由a2,2－a,4組成一個集合A，A中含有3個元素，則

18、實數(shù)a的取值可以是(　　) A．1　 　　　　B．－2 C．6　　　　　　 D．2 答案：C 點評：本題主要考查集合元素的性質(zhì)．當(dāng)所描述的對象明確的時候就能構(gòu)成集合，若元素不明確就不能構(gòu)成集合，稱為元素的確定性；同時，一個集合中的元素是互不相同的，稱為元素的互異性；此外還要注意元素的無序性. 例2 用列舉法表示下列集合： (1)小于10的所有自然數(shù)組成的集合； (2)方程x2＝x的所有實數(shù)根組成的集合； (3)由1～20以內(nèi)的所有質(zhì)數(shù)組成的集合． 活動探究：講解例2的過程中，可以設(shè)計如下問題引導(dǎo)學(xué)生： 針對例2(1)：①自然數(shù)中是否含有0？②小于10的自然數(shù)

19、有哪些？③如何用列舉法表示小于10的所有自然數(shù)組成的集合？ 針對例2(2)：①解一元二次方程的方法有哪些？分別是什么？②方程x2＝x的解是什么？③如何用列舉法表示方程x2＝x的所有實數(shù)根組成的集合？ 針對例2(3)：①如何判斷一個數(shù)是否為質(zhì)數(shù)(即質(zhì)數(shù)的定義是什么)？②1～20以內(nèi)的質(zhì)數(shù)有哪些？③如何用列舉法表示由1～20以內(nèi)的所有質(zhì)數(shù)組成的集合？ 在用列舉法表示集合的過程中，應(yīng)讓學(xué)生先明確集合中的元素，再把元素寫入“{　}”內(nèi)，并用逗號隔開． 解：(1)小于10的自然數(shù)有0、1、2、3、4、5、6、7、8、9，設(shè)小于10的所有自然數(shù)組成的集合為A，那么A＝{0,1,2,3,4,5,6,

20、7,8,9}； (2)方程x2＝x的兩個實根為x1＝0、x2＝1，設(shè)方程x2＝x的所有實數(shù)根組成的集合為B，那么B＝{0,1}； (3)1～20以內(nèi)的質(zhì)數(shù)有2、3、5、7、11、13、17、19，設(shè)由1～20以內(nèi)的所有質(zhì)數(shù)組成的集合為C，那么C＝{2,3,5,7,11,13,17,19}． 點評：本題主要考查了集合表示法中的列舉法，通過本題的教學(xué)可以體會利用集合表示教學(xué)內(nèi)容的嚴謹性和簡潔性. 變式訓(xùn)練 1．用列舉法表示下列集合： (1)一年之中的四個季節(jié)組成的集合； (2)滿足不等式1＜1＋2x＜19的素數(shù)組成的集合． 答案：(1){春季，夏季，秋季，冬季}； (2){2,3

21、,5,7}． 2．已知集合A＝{x∈N|∈N}，試用列舉法表示集合A. 解：由題意可知6－x是8的正約數(shù)，當(dāng)6－x＝1時，x＝5；當(dāng)6－x＝2時，x＝4；當(dāng)6－x＝4時，x＝2；當(dāng)6－x＝8時，x＝－2；而x≥0，∴x＝2,4,5，即A＝{2,4,5}． 點評：變式訓(xùn)練1主要對列舉法進行了考查；變式訓(xùn)練2考查了兩個方面的知識點，一是元素與集合的關(guān)系，二是列舉法的應(yīng)用，體現(xiàn)了對知識綜合應(yīng)用的能力. 例3 試分別用列舉法和描述法表示下列集合： (1)方程x2－2＝0的所有實數(shù)根組成的集合； (2)由大于10小于20的所有整數(shù)組成的集合． 活動探究：講解例3的過程中，可以設(shè)計

22、如下問題引導(dǎo)學(xué)生： 針對例3(1)——列舉法 ①方程x2－2＝0的解是什么？ ②如何用列舉法表示方程x2－2＝0的所有實數(shù)根組成的集合？ 針對例3(1)——描述法 ①描述法的定義是什么？ ②所求集合中元素有幾個共同特征？分別是什么？ ③如何用描述法表示所求集合？ 針對例3(2)——列舉法 ①大于10小于20的所有整數(shù)有哪些？ ②由大于10小于20的所有整數(shù)組成的集合用列舉法如何表示？ 針對例3(2)——描述法 ①所求集合中元素有幾個共同特征？分別是什么？ ②如何用描述法表示所求集合？ 解：(1)設(shè)方程x2－2＝0的實數(shù)根為x，并且滿足x2－2＝0，因此，用描述法表示

23、為A＝{x∈R|x2－2＝0}；方程x2－2＝0的兩個實根為x1＝－、x2＝，因此，用列舉法表示為A＝{－，}． (2)設(shè)大于10小于20的整數(shù)為x，它滿足條件x∈Z且10

24、： (1)Welcome中的所有字母組成的集合； (2)由所有小于20的既是奇數(shù)又是質(zhì)數(shù)的正整數(shù)組成的集合； (3)由所有非負偶數(shù)組成的集合； (4)直角坐標(biāo)系內(nèi)第三象限的點組成的集合； (5)不等式2x－3>2的解集． 解：(1)列舉法：{W，e，l，c，o，m}； (2)列舉法：{3,5,7,11,13,17,19}； (3)描述法：{x|x＝2n，n∈N}； (4)描述法：{(x，y)|x<0且y<0}； (5)描述法：{x|x>2.5}. 課后練習(xí)1、2. 【補充練習(xí)】 本節(jié)學(xué)習(xí)了：(1)集合的含義；(2)集合中元素的性質(zhì)；(3)元素與集合的關(guān)系；(4

25、)集合的表示方法． 習(xí)題1.1A組3、4 本節(jié)教學(xué)設(shè)計是以數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的要求為指導(dǎo)，結(jié)合生活中的一些實例，重視引導(dǎo)學(xué)生積極思考，主動參與到教學(xué)中，體現(xiàn)了學(xué)生的主體地位．同時結(jié)合高考的要求適當(dāng)拓展了教材，使學(xué)生的發(fā)散性思維得到拓展，最大限度地挖掘了學(xué)生的學(xué)習(xí)潛力，真正做到了對教材的“活學(xué)活用”． 集合論的誕生 集合論是德國著名數(shù)學(xué)家康托爾于19世紀(jì)末創(chuàng)立的.17世紀(jì)，數(shù)學(xué)中出現(xiàn)了一門新的分支：微積分．在之后的一二百年中這一嶄新學(xué)科獲得了飛速發(fā)展并結(jié)出了豐碩成果．其推進速度之快使人來不及檢查和鞏固它的理論基礎(chǔ).19世紀(jì)初，許多迫切問題得到解決后，出現(xiàn)了一場重建數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的運動．正

26、是在這場運動中，康托爾開始探討了前人從未碰過的實數(shù)點集，這是集合論研究的開端．到1874年康托爾開始一般地提出“集合”的概念．他對集合所下的定義是：把若干確定的有區(qū)別的(不論是具體的或抽象的)事物合并起來，看作一個整體，就稱為一個集合，其中各事物稱為該集合的元素．人們把康托爾于1873年12月7日給戴德金的信中最早提出集合論思想的那一天定為集合論誕生日． 康托爾把無窮集這一詞匯引入數(shù)學(xué)．對無窮集的研究使他打開了“無限”這一數(shù)學(xué)上的潘多拉盒子．“我們把全體自然數(shù)組成的集合簡稱作自然數(shù)集，用字母N來表示．”學(xué)過集合的所有人應(yīng)該對這句話不會感到陌生．但在接受這句話時我們根本無法想到當(dāng)年康托爾如此做

27、時是在進行一項更新無窮觀念的工作．在此以前數(shù)學(xué)家們只是把無限看作永遠在延伸著的，一種變化著成長著的東西來解釋．無限永遠處在構(gòu)造中，永遠完成不了，是潛在的，而不是實在．這種關(guān)于無窮的觀念在數(shù)學(xué)上被稱為潛無限.18世紀(jì)數(shù)學(xué)王子高斯就持這種觀點．由于潛無限思想在微積分的基礎(chǔ)重建中已經(jīng)獲得了全面勝利，康托爾的實無限思想在當(dāng)時遭到一些數(shù)學(xué)家的批評與攻擊是不足為怪的．然而康托爾并未就此止步，他以前所未有的方式，繼續(xù)正面探討無窮．他提出用一一對應(yīng)準(zhǔn)則來比較無窮集元素的個數(shù)．他把元素間能建立一一對應(yīng)的集合稱為個數(shù)相同，用他自己的概念是等勢．由于一個無窮集可以與它的真子集建立一一對應(yīng)關(guān)系——也就是說無窮集可以與

28、它的真子集等勢，即具有相同的個數(shù)．這與傳統(tǒng)觀念“全體大于部分”相矛盾．而康托爾認為這恰恰是無窮集的特征．在此意義上，自然數(shù)集與正偶數(shù)集具有了相同的個數(shù)，他將其稱為可數(shù)集．又可容易地證明有理數(shù)集與自然數(shù)集等勢，因而有理數(shù)集也是可數(shù)集．后來當(dāng)他又證明了實數(shù)集合也是可數(shù)集時，一個很自然的想法是無窮集是清一色的，都是可數(shù)集．但出乎意料的是，他在1873年證明了實數(shù)集的勢大于自然數(shù)集．有人嘲笑集合論是一種“疾病”，有人嘲諷超限數(shù)是“霧中之霧”，稱“康托爾走進了超限數(shù)的地獄”． 然而集合論前后經(jīng)歷二十余年，最終獲得了世界公認．在1900年第二次國際數(shù)學(xué)家大會上，著名數(shù)學(xué)家龐加萊就曾興高采烈地宣布“……數(shù)

29、學(xué)已被算術(shù)化了．從康托爾提出集合論至今，時間已經(jīng)過去了一百多年，在這一段時間里，數(shù)學(xué)又發(fā)生了極其巨大的變化，包括對上述經(jīng)典集合論作出進一步發(fā)展的模糊集合論的出現(xiàn)等等．而這一切都是與康托爾的開拓性工作分不開的．因而當(dāng)現(xiàn)在回頭去看康托爾的貢獻時，我們?nèi)匀豢梢砸卯?dāng)時著名數(shù)學(xué)家對他的集合論的評價作為我們的總結(jié)．“它是對無限最深刻的洞察，它是數(shù)學(xué)天才的最優(yōu)秀作品，是人類純智力活動的最高成就之一．康托爾的無窮集合論是過去兩千五百年中對數(shù)學(xué)的最令人不安的獨創(chuàng)性貢獻．” 6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375