專題三十 等比數(shù)列【高頻考點(diǎn)解讀】1.理解等比數(shù)列的概念2.掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式3.能在具體的問題情境中識(shí)別數(shù)列的等比關(guān)系，并能用有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問題4.了解等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系【熱點(diǎn)題型】題型一 等比數(shù)列的相關(guān)概念例1、已知an為等比數(shù)列，a4a72，a5a68，則a1a10()A7B5C5D7【提分秘籍】1由an1qan，q0，并不能立即判斷an為等比數(shù)列，還要驗(yàn)證a10.2等比數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn (1)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn是用錯(cuò)位相減法求得的，注意這種思想方法在數(shù)列求和中的運(yùn)用(2)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式ana1qn1及前n項(xiàng)和公式Sn(q1)共涉及五個(gè)量a1，an，q，n，Sn，知三求二，體現(xiàn)了方程思想的應(yīng)用(3)在使用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)，如果不確定q與1的關(guān)系，一般要用分類討論的思想，分公比q1和q1兩種情況3等比數(shù)列an，Sn為其前n項(xiàng)和，則Sn可表示為Snkqnb，(k0，且kb0)【舉一反三】已知等比數(shù)列an為遞增數(shù)列，且aa10,2(anan2)5an1，則數(shù)列an的通項(xiàng)公式an_.【熱點(diǎn)題型】題型二 等比數(shù)列的判定例2、數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a11，Sn14an2(nN*)(1)設(shè)bnan12an，求證：bn是等比數(shù)列；(2)設(shè)cn，求證：cn是等比數(shù)列【提分秘籍】等比數(shù)列的判定方法主要有下列幾種(1)定義法：若q(q為非零常數(shù))或q(q為非零常數(shù)且n2)，則an是等比數(shù)列；(2)中項(xiàng)公式法：若數(shù)列an中，an0且aanan2(nN*)，則數(shù)列an是等比數(shù)列；(3)通項(xiàng)公式法：若數(shù)列通項(xiàng)公式可寫成ancqn1(c，q均為不為0的常數(shù)，nN*)，則an是等比數(shù)列；(4)前n項(xiàng)和公式法：若數(shù)列an的前n項(xiàng)和Snkqnk(k為常數(shù)且k0，q0,1)，則an是等比數(shù)列注：前兩種方法是判定等比數(shù)列的常用方法，而后兩種方法常用于選擇、填空中的判定 若要判定一個(gè)數(shù)列不是等比數(shù)列，則只需判定其任意的連續(xù)三項(xiàng)不成等比即可【熱點(diǎn)題型】題型三 等比數(shù)列的基本運(yùn)算例3、(1)(高考江西卷)等比數(shù)列x,3x3,6x6，的第四項(xiàng)等于()A24B0C12 D24(2)(高考全國(guó)新課標(biāo)卷)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，已知S3a210a1，a59，則a1()A. B C. D【提分秘籍】 1等比數(shù)列基本量的運(yùn)算是等比數(shù)列中的一類基本問題，數(shù)列中有五個(gè)量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通過列方程(組)可迎刃而解2解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握等比數(shù)列的有關(guān)公式，并靈活運(yùn)用，在運(yùn)算過程中，還應(yīng)善于運(yùn)用整體代換思想簡(jiǎn)化運(yùn)算的過程【舉一反三】在等比數(shù)列an中，若a1，a44，則公比q_；|a1|a2|an|_.【熱點(diǎn)題型】題型四 等比數(shù)列的性質(zhì)例4、(高考江蘇卷)在正項(xiàng)等比數(shù)列an中，a5，a6a73.則滿足a1a2an>a1a2an的最大正整數(shù)n的值為_【提分秘籍】 在應(yīng)用相應(yīng)性質(zhì)解題時(shí)，要注意性質(zhì)成立的前提條件，有時(shí)需要進(jìn)行適當(dāng)變形此外，解題時(shí)注意設(shè)而不求思想的運(yùn)用【舉一反三】設(shè)各項(xiàng)都是正數(shù)的等比數(shù)列an，Sn為前n項(xiàng)和，且S1010，S3070，那么S40()A150 B200C150或200 D400或50 【熱點(diǎn)題型】題型五 分類討論思想在等比數(shù)列中的應(yīng)用 例5、已知數(shù)列an滿足：a11，a2a(a0)，an2p(其中p為非零常數(shù)，nN*)(1)判斷數(shù)列是不是等比數(shù)列；(2)求an；(3)當(dāng)a1時(shí)，令bn，Sn為數(shù)列bn的前n項(xiàng)和，求Sn.【提分秘籍】 分類討論思想在等比數(shù)列中應(yīng)用較多，常見的分類討論有：(1)已知Sn與an的關(guān)系，要分n1，n2兩種情況(2)等比數(shù)列中遇到求和問題要分公比q1，q1討論(3)項(xiàng)數(shù)的奇、偶數(shù)討論(4)等比數(shù)列的單調(diào)性的判斷注意與a1，q的取值的討論【舉一反三】設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，前n項(xiàng)和Sn>0(n1,2,3，)則q的取值范圍為_【高考風(fēng)向標(biāo)】 1（20xx安徽卷）如圖13，在等腰直角三角形ABC中，斜邊BC2，過點(diǎn)A作BC的垂線，垂足為A1；過點(diǎn)A1作AC的垂線，垂足為A2；過點(diǎn)A2作A1C的垂線，垂足為A3；.依此類推，設(shè)BAa1，AA1a2，A1A2a3，A5A6a7，則a7_圖132（20xx福建卷）在等比數(shù)列an中，a23，a581.(1)求an；(2)設(shè)bnlog3an，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn.3（20xx廣東卷）等比數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，且a1a54，則log2a1log2a2log2a3log2a4log2a5_4（20xx湖北卷）已知等差數(shù)列an滿足：a12，且a1，a2，a5成等比數(shù)列(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式(2)記Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，是否存在正整數(shù)n，使得Sn60n800？若存在，求n的最小值；若不存在，說明理由5（20xx江蘇卷）在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列an中，若a21，a8a62a4，則a6的值是_6（20xx江西卷）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn，nN*.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)證明：對(duì)任意的n>1，都存在mN*，使得a1，an，am成等比數(shù)列7（20xx江西卷）已知函數(shù)f(x)(4x24axa2)，其中a<0.(1)當(dāng)a4時(shí)，求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若f(x)在區(qū)間1，4上的最小值為8，求a的值8（20xx全國(guó)卷）設(shè)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn.若S23，S415，則S6()A31 B32C63 D649（20xx新課標(biāo)全國(guó)卷 等差數(shù)列an的公差為2，若a2，a4，a8成等比數(shù)列，則an的前n項(xiàng)和Sn()An(n1) Bn(n1)C. D.10（20xx山東卷）在等差數(shù)列an中，已知公差d2，a2是a1與a4的等比中項(xiàng)(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bna，記Tmb1b2b3b4(1)nbn，求Tn.11（20xx陜西卷）ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.(1)若a，b，c成等差數(shù)列，證明：sin Asin C2sin(AC)；(2)若a，b，c成等比數(shù)列，且c2a，求cos B的值12（20xx天津卷）已知q和n均為給定的大于1的自然數(shù)，設(shè)集合M0，1，2，q1，集合Ax|xx1x2qxnqn1，xiM，i1，2，n(1)當(dāng)q2，n3時(shí)，用列舉法表示集合A.(2)設(shè)s，tA，sa1a2qanqn1，tb1b2qbnqn1，其中ai，biM，i1，2，n.證明：若anbn，則st.13（20xx重慶卷）已知an是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，Sn表示an的前n項(xiàng)和(1)求an及Sn；(2)設(shè)bn是首項(xiàng)為2的等比數(shù)列，公比q滿足q2(a41)qS40，求bn的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和Tn.14M2，D2，D3，D5（20xx北京卷）給定數(shù)列a1，a2，an，對(duì)i1，2，n1，該數(shù)列前i項(xiàng)的最大值記為Ai，后ni項(xiàng)ai1，ai2，an的最小值記為Bi，diAiBi.(1)設(shè)數(shù)列an為3，4，7，1，寫出d1，d2，d3的值；(2)設(shè)a1，a2，an(n4)是公比大于1的等比數(shù)列，且a1>0.證明：d1，d2，dn1是等比數(shù)列；(3)設(shè)d1，d2，dn1是公差大于0的等差數(shù)列，且d1>0，證明：a1，a2，an1是等差數(shù)列15（20xx北京卷）若等比數(shù)列an滿足a2a420，a3a540，則公比q_；前n項(xiàng)和Sn_16（20xx全國(guó)卷）已知雙曲線C：1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，離心率為3，直線y2與C的兩個(gè)交點(diǎn)間的距離為.(1)求a，b；(2)設(shè)過F2的直線l與C的左、右兩支分別交于A，B兩點(diǎn)，且|AF1|BF1|，證明：|AF2|，|AB|，|BF2|成等比數(shù)列所以|AF2|， |AB|，|BF2|成等比數(shù)列17（20xx全國(guó)卷）已知數(shù)列an滿足3an1an0，a2，則an的前10項(xiàng)和等于()A6(1310) B.(1310)C3(1310) D3(1310)18（20xx福建卷）已知等差數(shù)列an的公差d1，前n項(xiàng)和為Sn.(1)若1，a1，a3成等比數(shù)列，求a1；(2)若S5>a1a9，求a1的取值范圍19（20xx廣東卷）設(shè)數(shù)列an是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，則a1|a2|a3|a4|_20（20xx江蘇卷）在正項(xiàng)等比數(shù)列an中，a5，a6a73. 則滿足a1a2an>a1a2an的最大正整數(shù)n的值為_21（20xx江西卷）某住宅小區(qū)計(jì)劃植樹不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植樹的棵數(shù)是前一天的2倍，則需要的最少天數(shù)n(nN*)等于_【答案】6【解析】 Sn2n12100，得n6.22（20xx遼寧卷）已知等比數(shù)列an是遞增數(shù)列，Sn是an的前n項(xiàng)和若a1，a3是方程x25x40的兩個(gè)根，則S6_.23（20xx新課標(biāo)全國(guó)卷 已知等差數(shù)列an的公差不為零，a125，且a1，a11，a13成等比數(shù)列(1)求an的通項(xiàng)公式；(2)求a1a4a7a3n2.24（20xx四川卷）在等比數(shù)列an中，a2a12，且2a2為3a1和a3的等差中項(xiàng)，求數(shù)列an的首項(xiàng)、公比及前n項(xiàng)和25（20xx新課標(biāo)全國(guó)卷 設(shè)首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，則()ASn2an1 BSn3an2CSn43an DSn32an.26（20xx重慶卷）設(shè)數(shù)列an滿足：a11，an13an，nN.(1)求an的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和Sn；(2)已知bn是等差數(shù)列，Tn為其前n項(xiàng)和，且b1a2，b3a1a2a3，求T20.【隨堂鞏固】 1若等比數(shù)列an滿足anan116n，則公比為()A2B4C8D162設(shè)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若S1a2，S2a3，則公比q()A1 B4 C4或0 D83在正項(xiàng)等比數(shù)列an中，已知a1a2a34，a4a5a612，an1anan1324，則n()A11 B12 C14 D164已知an為等比數(shù)列，若a4a610，則a1a72a3a7a3a9()A10 B20 C60 D1005已知q是等比數(shù)列an的公比，則“q<1”是“數(shù)列an是遞減數(shù)列”的()A充分不必要條件 B必要不充分條件C充分必要條件 D即不充分也不必要條件6已知一個(gè)蜂巢里有1只蜜蜂，第1天，它飛出去找回了4個(gè)伙伴；第2天，5只蜜蜂飛出去，各自找回了4個(gè)伙伴，按照這個(gè)規(guī)律繼續(xù)下去，第20天所有的蜜蜂都?xì)w巢后，蜂巢中一共有蜜蜂()A420只 B520只 C.只 D.只7若a，b，c成等比數(shù)列，則函數(shù)yax2bxc的圖象與x軸的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為()A0 B1 C2 D不能確定8已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列an的公比為q，若q29，則的值為()A. B C3 D39在由正數(shù)組成的等比數(shù)列an中，若a3a4a53，則sin(log3a1log3a2log3a7)的值為()A. B. C1 D10在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列an中，若公比為，且滿足a3a1116，則log2a16_.11已知等比數(shù)列an中，a1a310，a4a6，則等比數(shù)列an的公比q_.12在等比數(shù)列an中，a11，公比q2，若an前n項(xiàng)和Sn127，則n的值為_13已知數(shù)列an滿足點(diǎn)(an， an1)在直線y2x1上，且a11.(1)證明：數(shù)列an1是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式14已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn2an(1)n(nN*)(1)求數(shù)列an的前三項(xiàng)a1，a2，a3；(2)求證：數(shù)列為等比數(shù)列，并求出an的通項(xiàng)公式15數(shù)列an中，Sn1kan(k0，k1)(1)證明：數(shù)列an為等比數(shù)列；(2)求通項(xiàng)an；(3)當(dāng)k1時(shí)，求和aaa.