專(zhuān)題專(zhuān)題 07 二次函數(shù)與冪函數(shù)二次函數(shù)與冪函數(shù)-【高頻考點(diǎn)解讀】【高頻考點(diǎn)解讀】1.二次函數(shù)圖象的應(yīng)用及求最值是高考的熱點(diǎn)2.常將二次函數(shù)及相應(yīng)的一元二次不等式、一元二次方程交匯在一起命題，重點(diǎn)考查三者之間的綜合應(yīng)用3.高考主要考查冪函數(shù)的概念、圖象與性質(zhì)，單獨(dú)考查的概率較低4.題型以選擇題、填空題為主，若與導(dǎo)數(shù)、解析幾何知識(shí)交匯，【熱點(diǎn)題型】【熱點(diǎn)題型】題型一題型一二次函數(shù)的圖象二次函數(shù)的圖象例 1、設(shè) abc0，二次函數(shù) f(x)ax2bxc 的圖象可能是()【提分秘籍】【提分秘籍】分析二次函數(shù)的圖象，主要有兩個(gè)要點(diǎn)：一個(gè)是看二次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)，它確定二次函數(shù)圖象的開(kāi)口方向；二是看對(duì)稱(chēng)軸和最值，它確定二次函數(shù)的具體位置對(duì)于函數(shù)圖象判斷類(lèi)似題要會(huì)根據(jù)圖象上的一些特殊點(diǎn)進(jìn)行判斷，如函數(shù)圖象與正半軸的交點(diǎn)、函數(shù)圖象的最高點(diǎn)與最低點(diǎn)等【舉一反三】【舉一反三】已知函數(shù) yax2bxc，如果 abc 且 abc0，則它的圖象可能是()【熱點(diǎn)題型】【熱點(diǎn)題型】題型二題型二二次函數(shù)性質(zhì)二次函數(shù)性質(zhì)例 2、已知函數(shù) f(x)x22ax3，x4,6(1)當(dāng) a2 時(shí)，求 f(x)的最值；(2)求實(shí)數(shù) a 的取值范圍，使 yf(x)在區(qū)間4,6上是單調(diào)函數(shù)；(3)當(dāng) a1 時(shí)，求 f(|x|)的單調(diào)區(qū)間【提分秘籍】【提分秘籍】(1)二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值主要有三種類(lèi)型： 軸定區(qū)間定、 軸動(dòng)區(qū)間定、 軸定區(qū)間動(dòng)，不論哪種類(lèi)型，解決的關(guān)鍵是考查對(duì)稱(chēng)軸與區(qū)間的關(guān)系，當(dāng)含有參數(shù)時(shí)，要依據(jù)對(duì)稱(chēng)軸與區(qū)間的關(guān)系進(jìn)行分類(lèi)討論；(2)二次函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題則主要依據(jù)二次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸進(jìn)行分析討論求解【舉一反三】【舉一反三】已知函數(shù) f(x) x22ax3a21(a 0,0 x1)，求 f(x)的最大值和最小值【熱點(diǎn)題型】【熱點(diǎn)題型】題型三題型三冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)已知冪函數(shù) f(x)(mN*)(1)試確定該函數(shù)的定義域，并指明該函數(shù)在其定義域上的單調(diào)性；(2)若該函數(shù) f(x)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2， 2)，試確定 m 的值，并求滿足條件 f(2a)f(a1)的實(shí)數(shù) a的取值范圍【提分秘籍】【提分秘籍】本題集冪函數(shù)的概念、圖象及單調(diào)性于一體，綜合性較強(qiáng)，解此題的關(guān)鍵是弄清冪函數(shù)的概念及性質(zhì)1二次函數(shù) f(x)ax2bxc(a0)在區(qū)間m，n上的最值當(dāng)b2am 時(shí)，函數(shù)在區(qū)間m，n上單調(diào)遞增，最小值為 f(m)，最大值為 f(n)當(dāng) mb2an 時(shí)，最小值為 f(b2a)4acb24a，最大值為 f(m)或 f(n)(m，n 與b2a距離較遠(yuǎn)的一個(gè)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值為最大值)當(dāng)b2an 時(shí)，函數(shù)在區(qū)間m，n上單調(diào)遞減，最小值為 f(n)，最大值為 f(m)2二次函數(shù)、二次方程、二次不等式之間的相互轉(zhuǎn)化(1)在研究一元二次方程根的分布問(wèn)題時(shí)，常借助于二次函數(shù)的圖象數(shù)形結(jié)合來(lái)解，一般從開(kāi)口方向；對(duì)稱(chēng)軸位置；判別式；端點(diǎn)函數(shù)值符號(hào)四個(gè)方面分析(2)在研究一元二次不等式的有關(guān)問(wèn)題時(shí)，一般需借助于二次函數(shù)的圖象、性質(zhì)求解3冪函數(shù) yx(R)， 其中為常數(shù)， 其本質(zhì)特征是以冪的底 x 為自變量，指數(shù)為常數(shù)，這是判斷一個(gè)函數(shù)是否是冪函數(shù)的重要依據(jù)和唯一標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)當(dāng)注意并不是任意的一次函數(shù)、二次函數(shù)都是冪函數(shù)，如 yx1，yx22x 等都不是冪函數(shù)【舉一反三】【舉一反三】已知函數(shù) f(x)x22ax3，x4,6(1)當(dāng) a2 時(shí)，求 f(x)的最值；(2)求實(shí)數(shù) a 的取值范圍，使 yf(x)在區(qū)間4,6上是單調(diào)函數(shù)；(3)當(dāng) a1 時(shí)，求 f(|x|)的單調(diào)區(qū)間【熱點(diǎn)題型】【熱點(diǎn)題型】題型四題型四分類(lèi)討論思想在二次函數(shù)中的應(yīng)用分類(lèi)討論思想在二次函數(shù)中的應(yīng)用例 4、已知函數(shù) f(x)ax2|x|2a1(a 為實(shí)常數(shù))(1)若 a1，作出函數(shù) f(x)的圖象；(2)設(shè) f(x)在區(qū)間1,2上的最小值為 g(a)，求 g(a)的表達(dá)式【提分秘籍】【提分秘籍】在研究有關(guān)二次函數(shù)最值時(shí)一般用到分類(lèi)討論思想，一是對(duì)二項(xiàng)式系數(shù) a 進(jìn)行討論，二是要對(duì)對(duì)稱(chēng)軸進(jìn)行討論在分類(lèi)討論時(shí)要遵循分類(lèi)的原則：一是分類(lèi)的標(biāo)準(zhǔn)要一致，二是分類(lèi)時(shí)要做到不重不漏，三是能不分類(lèi)的要盡量避免分類(lèi)，絕不無(wú)原則的分類(lèi)討論具體運(yùn)用時(shí)一要考慮是否可行和是否有利；二要選擇好突破口，恰當(dāng)設(shè)參、用參、建立關(guān)系、做好轉(zhuǎn)化；三要挖掘隱含條件，準(zhǔn)確界定參變量的取值范圍，特別是運(yùn)用函數(shù)圖象時(shí)應(yīng)設(shè)法選擇動(dòng)直線與定二次曲線【舉一反三】【舉一反三】已知函數(shù) f(x)4x24ax4aa2(a0)在區(qū)間0,1內(nèi)有一個(gè)最大值5，則 a 的值為_(kāi)【高考風(fēng)向標(biāo)】【高考風(fēng)向標(biāo)】1 （20 xx江蘇卷） 已知函數(shù) f(x)x2mx1，若對(duì)于任意 xm，m1，都有 f(x)0成立，則實(shí)數(shù) m 的取值范圍是_2 （20 xx全國(guó)卷） 函數(shù) ycos 2x2sin x 的最大值為_(kāi)3 （20 xx全國(guó)新課標(biāo)卷）設(shè)函數(shù) f(x)ex1，x1，x13，x1，則使得 f(x)2 成立的 x 的取值范圍是_【隨堂鞏固】【隨堂鞏固】1設(shè)函數(shù) f(x)ax22x3 在區(qū)間(，4)上是單調(diào)遞增函數(shù)，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是_2 已知點(diǎn)12，2在冪函數(shù) yf(x)的圖象上， 點(diǎn)2，14 在冪函數(shù) yg(x)的圖象上， 則 f(2)g(1)_.3當(dāng) a_時(shí)，函數(shù) f(x)x22axa 的定義域?yàn)?,1，值域?yàn)?,24 設(shè)f(x)x22ax2， 當(dāng)x1， )時(shí)， f(x)a恒成立， 則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_答案3,15給出關(guān)于冪函數(shù)的以下說(shuō)法：冪函數(shù)的圖象都經(jīng)過(guò)(1,1)點(diǎn)；冪函數(shù)的圖象都經(jīng)過(guò)(0,0)點(diǎn)；冪函數(shù)不可能既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)；冪函數(shù)的圖象不可能經(jīng)過(guò)第四象限；冪函數(shù)在第一象限內(nèi)一定有圖象；冪函數(shù)在(，0)上不可能是遞增函數(shù)其中正確的說(shuō)法有_6.某汽車(chē)運(yùn)輸公司，購(gòu)買(mǎi)了一批豪華大客車(chē)投入營(yíng)運(yùn)，據(jù)市場(chǎng)分析，每輛客車(chē)營(yíng)運(yùn)的總利潤(rùn) y(單位：萬(wàn)元)與營(yíng)運(yùn)年數(shù) x(xN*)為二次函數(shù)的關(guān)系如圖所示，則每輛客車(chē)營(yíng)運(yùn)_年，使其營(yíng)運(yùn)年平均利潤(rùn)最大7已知函數(shù) f(x)x21 的定義域?yàn)閍，b(ab)，值域?yàn)?,5，則在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)點(diǎn)(a，b)的運(yùn)動(dòng)軌跡與兩坐標(biāo)軸圍成的圖形面積為_(kāi)8已知二次函數(shù) yf(x)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為32，49，且方程 f(x)0 的兩個(gè)實(shí)根之差等于 7，則此二次函數(shù)的解析式是_9如圖，已知二次函數(shù) yax2bxc(a，b，c 為實(shí)數(shù)，a0)的圖象過(guò)點(diǎn) C(t,2)，且與 x軸交于 A，B 兩點(diǎn)，若 ACBC，則 a 的值為_(kāi)10已知函數(shù) f(x)|2x3|，若 02ab1，且 f(2a)f(b3)，則 T3a2b 的取值范圍為_(kāi)11已知函數(shù) f(x)x|x2|.(1)寫(xiě)出 f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)解不等式 f(x)3；(3)設(shè) 0a2，求 f(x)在0，a上的最大值12已知函數(shù) f(x)x2，g(x)x1.(1)若存在 xR 使 f(x)bg(x)，求實(shí)數(shù) b 的取值范圍；(2)設(shè) F(x)f(x)mg(x)1mm2，且|F(x)|在0,1上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù) m 的取值范圍綜上所述：實(shí)數(shù) m 的取值范圍是1,02，)13設(shè)二次函數(shù) f(x)ax2bxc(a0)在區(qū)間2,2上的最大值、最小值分別是 M，m，集合 Ax|f(x)x(1)若 A1,2，且 f(0)2，求 M 和 m 的值；(2)若 A1，且 a1，記 g(a)Mm，求 g(a)的最小值14已知13a1，若 f(x)ax22x1 在區(qū)間1,3上的最大值為 M(a)，最小值為 N(a)，令g(a)M(a)N(a)(1)求 g(a)的函數(shù)表達(dá)式；(2)判斷 g(a)的單調(diào)性，并求出 g(a)的最小值