專題二十九專題二十九 等差數(shù)列等差數(shù)列【高頻考點(diǎn)解讀】【高頻考點(diǎn)解讀】1.理解等差數(shù)列的概念2.掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前 n 項(xiàng)和公式3.能在具體的問(wèn)題情境中識(shí)別數(shù)列的等差關(guān)系，并能用有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問(wèn)題4.了解等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系【熱點(diǎn)題型】【熱點(diǎn)題型】題型一題型一等差數(shù)列的定義通項(xiàng)公式及前等差數(shù)列的定義通項(xiàng)公式及前 n 項(xiàng)和公式項(xiàng)和公式例 1、已知an為等差數(shù)列，其前 n 項(xiàng)和為 Sn，若 a36，S312，則公差 d 等于()A1B.53C2D3【提分秘籍】【提分秘籍】1概念中的“同一個(gè)常數(shù)”十分重要如果一個(gè)數(shù)列，從第 2 項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差，盡管等于常數(shù)，但不是同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就不是等差數(shù)列2由等差數(shù)列通項(xiàng)公式的變形可知，已知等差數(shù)列中的任意兩項(xiàng)就可以確定等差數(shù)列中的任何一項(xiàng)3等差數(shù)列的兩個(gè)求和公式分析兩個(gè)公式可得，它們的共同點(diǎn)是需要知道 a1和 n，不同點(diǎn)是公式 Snna1an2還需要知道 an，公式 Snna1nn12d 還需要知道 d，解題時(shí)需根據(jù)已知條件決定選用哪個(gè)公式：當(dāng)已知首項(xiàng)、末項(xiàng)和項(xiàng)數(shù)時(shí)，用前一個(gè)公式較為簡(jiǎn)便；當(dāng)已知首項(xiàng)、公差和項(xiàng)數(shù)時(shí)，用后一個(gè)公式較好【舉一反三】【舉一反三】等差數(shù)列an的前 7 項(xiàng)和等于前 2 項(xiàng)和，若 a11，aka40，則 k_.【熱點(diǎn)題型】【熱點(diǎn)題型】題型二題型二等差數(shù)列的性質(zhì)等差數(shù)列的性質(zhì)例 2、 已知等差數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和為 Sn， 若 a43a8a12120， 則 2a11a14S15()A384B382C380D352【提分秘籍】【提分秘籍】1等差數(shù)列an中，若 mpq，則 amapaq，不一定成立，只有當(dāng) a1d 時(shí)才成立2運(yùn)算性質(zhì)求解基本運(yùn)算，可減少運(yùn)算量、但要注意判斷項(xiàng)數(shù)之間的關(guān)系3.利用等差數(shù)列的性質(zhì)解決基本量的運(yùn)算體現(xiàn)了整體求值思想的應(yīng)用，應(yīng)用時(shí)常將 aman2amn2與 amanapaq相結(jié)合考查【舉一反三】【舉一反三】已知等差數(shù)列 an滿足 a23，SnSn351(n3)，Sn100，則 n 的值為()A8B9C10D11【熱點(diǎn)題型】【熱點(diǎn)題型】題型三題型三等差數(shù)列的判定等差數(shù)列的判定例 3、已知數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和為 Sn，且滿足 a112，an2SnSn1(n2)(1)求證：數(shù)列1Sn是等差數(shù)列；(2)求 Sn和 an.【提分秘籍】【提分秘籍】 等差數(shù)列的判定方法等差數(shù)列的判定方法(1)定義法：對(duì)于 n2 的任意自然數(shù)，驗(yàn)證 anan1為同一常數(shù)；(2)等差中項(xiàng)法：驗(yàn)證 2an1anan2(n3，nN*)成立；(3)通項(xiàng)公式法：驗(yàn)證 anpnq；(4)前 n 項(xiàng)和公式法：驗(yàn)證 SnAn2Bn.注意：在解答題中常應(yīng)用定義法和等差中項(xiàng)法，而通項(xiàng)公式法和前 n 項(xiàng)和公式法主要適用于選擇題、填空題中的簡(jiǎn)單判斷【舉一反三】【舉一反三】已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式 anpn2qn(p、qR，且 p、q 為常數(shù))(1)當(dāng) p 和 q 滿足什么條件時(shí)，數(shù)列an是等差數(shù)列；(2)求證：對(duì)任意實(shí)數(shù) p 和 q，數(shù)列an1an是等差數(shù)列an1an是等差數(shù)列【熱點(diǎn)題型】【熱點(diǎn)題型】題型四題型四等差數(shù)列的基本運(yùn)算等差數(shù)列的基本運(yùn)算例 4、(1)設(shè)等差數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和為 Sn，若 Sm12，Sm0，Sm13，則 m()A3B4C5D6(2)在等差數(shù)列an中，a22，a34，則 a10()A12B14C16D18【提分秘籍】【提分秘籍】1等差數(shù)列的通項(xiàng)公式 ana1(n1)d 及前 n 項(xiàng)和公式 Snna1an2na1nn12d，共涉及五個(gè)量 a1，an，d，n，Sn，知其中三個(gè)就能求另外兩個(gè)，體現(xiàn)了用方程的思想解決問(wèn)題2數(shù)列的通項(xiàng)公式和前 n 項(xiàng)和公式在解題中起到變量代換作用，而 a1和 d 是等差數(shù)列的兩個(gè)基本量，用它們表示已知和未知是常用方法【舉一反三】【舉一反三】在數(shù)列an中，若 a12，且對(duì)任意的 nN*有 2an112an，則數(shù)列an前 10 項(xiàng)的和為()A5B10C.52D.54【熱點(diǎn)題型】【熱點(diǎn)題型】題型五題型五等差數(shù)列的前等差數(shù)列的前 n 項(xiàng)和最值問(wèn)題項(xiàng)和最值問(wèn)題例 5、已知數(shù)列an是等差數(shù)列，a1a3a5105，a2a4a699，an的前 n 項(xiàng)和為Sn，則使得 Sn達(dá)到最大的 n 是()A18B19C20D21【提分秘籍】【提分秘籍】與等差數(shù)列前 n 項(xiàng)和有關(guān)的最值問(wèn)題是命題的熱點(diǎn)；主要命題角度有：(1)前 n 項(xiàng)和的最大值；(2)前 n 項(xiàng)和的最小值；(3)與前 n 項(xiàng)和有關(guān)的最值問(wèn)題1.解決等差數(shù)列前 n 項(xiàng)和最大值的方法(1)將 Sn表示為 n 的二次函數(shù)，注意 nN*.(2)利用通項(xiàng)不等式組 Sn最大an0，an10.2.等差數(shù)列前 n 項(xiàng)和最小值an0，an10.【舉一反三】【舉一反三】在首項(xiàng)為負(fù)數(shù)的等差數(shù)列an中，若 a10a11a120，則當(dāng)前 n 項(xiàng)和 Sn取最小值時(shí)，n等于()A10B10 或 11C11D9 或 10【高考風(fēng)向標(biāo)】【高考風(fēng)向標(biāo)】1 （20 xx重慶卷）在等差數(shù)列an中，a12，a3a510，則 a7()A5B8C10D142 （20 xx天津卷）設(shè)an是首項(xiàng)為 a1，公差為1 的等差數(shù)列，Sn為其前 n 項(xiàng)和若 S1，S2，S4成等比數(shù)列，則 a1()A2B2C.12D123 （20 xx北京卷）已知an是等差數(shù)列，滿足 a13，a412，數(shù)列bn滿足 b14，b420，且bnan為等比數(shù)列(1)求數(shù)列an和bn的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列bn的前 n 項(xiàng)和4 （20 xx福建卷）在等比數(shù)列an中，a23，a581.(1)求 an；(2)設(shè) bnlog3an，求數(shù)列bn的前 n 項(xiàng)和 Sn.5 （20 xx湖北卷）已知等差數(shù)列an滿足：a12，且 a1，a2，a5成等比數(shù)列(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式(2)記 Sn為數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和，是否存在正整數(shù) n，使得 Sn60n800？若存在，求 n的最小值；若不存在，說(shuō)明理由6 （20 xx湖南卷）已知數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和 Snn2n2，nN*.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè) bn2an(1)nan，求數(shù)列bn的前 2n 項(xiàng)和7 （20 xx江西卷）在等差數(shù)列an中，a17，公差為 d，前 n 項(xiàng)和為 Sn，當(dāng)且僅當(dāng) n8時(shí) Sn取得最大值，則 d 的取值范圍為_【答案】1，78【解析】 由題可知 a80 且 a90 且 78d0，所以1d0.證明：d1，d2，dn1是等比數(shù)列；(3)設(shè) d1，d2，dn1是公差大于 0 的等差數(shù)列，且 d10，證明：a1，a2，an1是等差數(shù)列20 （20 xx全國(guó)卷）等差數(shù)列an中，a74，a192a9.(1)求an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè) bn1nan，求數(shù)列bn的前 n 項(xiàng)和 Sn.21 （20 xx福建卷）已知等差數(shù)列an的公差 d1，前 n 項(xiàng)和為 Sn.(1)若 1，a1，a3成等比數(shù)列，求 a1；(2)若 S5a1a9，求 a1的取值范圍22 （20 xx新課標(biāo)全國(guó)卷 已知等差數(shù)列an的公差不為零，a125，且 a1，a11，a13成等比數(shù)列(1)求an的通項(xiàng)公式；(2)求 a1a4a7a3n2.23 （20 xx山東卷）設(shè)等差數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和為 Sn，且 S44S2，a2n2an1.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列bn滿足b1a1b2a2bnan112n，nN*，求bn的前 n 項(xiàng)和 Tn.24 （20 xx陜西卷）設(shè) Sn表示數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和(1)若an是等差數(shù)列，推導(dǎo) Sn的計(jì)算公式；(2)若 a11，q0，且對(duì)所有正整數(shù) n，有 Sn1qn1q.判斷an是否為等比數(shù)列，并證明你的結(jié)論25 （20 xx四川卷）在等比數(shù)列an中，a2a12，且 2a2為 3a1和 a3的等差中項(xiàng)，求數(shù)列an的首項(xiàng)、公比及前 n 項(xiàng)和26 （20 xx新課標(biāo)全國(guó)卷 已知等差數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和 Sn滿足 S30，S55.(1)求an的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列1a2n1a2n1的前 n 項(xiàng)和27 （20 xx浙江卷）在公差為 d 的等差數(shù)列an中，已知 a110，且 a1，2a22，5a3成等比數(shù)列(1)求 d，an；(2)若 d0，求|a1|a2|a3|an|.28 （20 xx重慶卷）設(shè)數(shù)列an滿足：a11，an13an，nN.(1)求an的通項(xiàng)公式及前 n 項(xiàng)和 Sn；(2)已知bn是等差數(shù)列，Tn為其前 n 項(xiàng)和，且 b1a2，b3a1a2a3，求 T20.29 （20 xx重慶卷）若 2，a，b，c，9 成等差數(shù)列，則 ca_【答案】72【解析】 設(shè)公差為 d，則 d925174，所以 ca2d72.【隨堂鞏固】【隨堂鞏固】1若數(shù)列an的首項(xiàng) a11，且 anan12(n2)，則 a7()A13B14C15D172已知等差數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和為 Sn，a415，S555，則數(shù)列an的公差是()A.14B4C4D33 Sn為等差數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和，a2a86，則 S9()A.272B27C54D1084已知an為等差數(shù)列，其公差為2，且 a7是 a3與 a9的等比中項(xiàng)，Sn為an的前 n 項(xiàng)和，nN*，則 S10的值為()A110B90C90D110答案：D5一個(gè)首項(xiàng)為 23，公差為整數(shù)的等差數(shù)列，如果前 6 項(xiàng)均為正數(shù)，第 7 項(xiàng)起為負(fù)數(shù)，則它的公差為()A2 B3C4D66把 70 個(gè)面包分五份給 5 個(gè)人，使每人所得成等差數(shù)列，且使較大的三份之和的16是較小的兩份之和，則最小的一份為()A2B8C14D207等差數(shù)列an中，a1，a2，a3分別是下表第一、二、三行中的某一個(gè)數(shù)，且 a1，a2，a3中的任何兩個(gè)數(shù)不在下表的同一列.第一列第二列第三列第一行235第二行8614第三行11913則 a4的值為()A18B15C12D208 在 6 月 11 日成功發(fā)射了“神舟十號(hào)”， 假設(shè)運(yùn)載火箭在點(diǎn)火第一秒鐘通過(guò)的路程為 2 km，以后每秒鐘通過(guò)的路程都增加 2 km，在到達(dá)離地面 240 km 的高度時(shí)，火箭與飛船分離，則這一過(guò)程需要的時(shí)間大約是()A10 秒鐘B13 秒鐘C15 秒鐘D20 秒鐘9 一個(gè)等差數(shù)列的前 20 項(xiàng)和為 420， 前 20 項(xiàng)中偶數(shù)項(xiàng)的和與奇數(shù)項(xiàng)的和之比為 1110，則此數(shù)列的公差為_10已知等差數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和為 Sn，若 a3a4a512，則 S7的值為_11等差數(shù)列an前 9 項(xiàng)的和等于前 4 項(xiàng)的和若 a11，aka40，則 k_.12已知數(shù)列an是等差數(shù)列，且 a3a95，bn2an，則 b52b7的最小值為_13已知等差數(shù)列an中，a512，a2018.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列|an|的前 n 項(xiàng)和 Sn.14已知 a2、a5是方程 x212x270 的兩根，數(shù)列an是公差為正數(shù)的等差數(shù)列，數(shù)列bn的前 n 項(xiàng)和為 Tn，且 Tn112bn(nN*)(1)求數(shù)列an、bn的通項(xiàng)公式；(2)記 cnanbn，求數(shù)列cn的前 n 項(xiàng)和 Sn.