創(chuàng)新演練一、選擇題1如果命題 p(n)對 nk(kN*)成立，則它對 nk2 也成立若 p(n)對 n2 也成立，則下列結論正確的是()Ap(n)對所有正整數 n 都成立Bp(n)對所有正偶數 n 都成立Cp(n)對所有正奇數 n 都成立Dp(n)對所有自然數 n 都成立B由題意 nk 成立，則 nk2 也成立，又 n2 時成立，則 p(n)對所有正偶數都成立2用數學歸納法證明不等式 1121412n112764(nN*)成立，其初始值最小應取()A7B8C9D10B可逐個驗證，n8 成立3(20 xx海南三亞二模)用數學歸納法證明“12222n12n1(nN*)”的過程中，第二步 nk 時等式成立，則當 nk1 時，應得到()A12222k22k12k11B12222k2k12k12k1C12222k12k12k11D12222k12k2k11D由條件知，左邊是從 20，21一直到 2n1都是連續(xù)的，因此當 nk1 時，左邊應為 12222k12k，而右邊應為 2k11.4凸 n 多邊形有 f(n)條對角線，則凸(n1)邊形的對角線的條數 f(n1)為()Af(n)n1Bf(n)nCf(n)n1Df(n)n2C邊數增加 1，頂點也相應增加 1 個，它與和它不相鄰的 n2 個頂點連接成對角線，原來的一條邊也成為對角線，因此，對角線增加 n1 條5在數列an中，a113，且 Snn(2n1)an，通過求 a2，a3，a4，猜想 an的表達式為()A.1（n1） （n1）B.12n（2n1）C.1（2n1） （2n1）D.1（2n1） （2n2）C由 a113，Snn(2n1)an求得 a2115135，a3135157，a4163179.猜想 an1（2n1） （2n1）.6下列代數式(其中 kN*)能被 9 整除的是()A667kB27k1C2(27k1)D3(27k)D(1)當 k1 時，顯然只有 3(27k)能被 9 整除(2)假設當 kn(nN*)時，命題成立，即 3(27n)能被 9 整除，那么 3(27n1)21(27n)36.這就是說，kn1 時命題也成立由(1)(2)可知，命題對任何 kN*都成立二、填空題7用數學歸納法證明“當 n 為正奇數時，xnyn能被 xy 整除” ，當第二步假設 n2k1(kN*)命題為真時，進而需證 n_時，命題亦真解析n 為正奇數，假設 n2k1 成立后，需證明的應為 n2k1 時成立答案2k18用數學歸納法證明 123n2n4 n22，則當 nk1 時左端應在 nk的基礎上加上的項為_解析當 nk 時左端為 123k(k1)(k2)k2，則當 nk1 時，左端為123k2(k21)(k22)(k1)2，故增加的項為(k21)(k22)(k1)2.答案(k21)(k22)(k1)29設數列an的前 n 項和為 Sn，且對任意的自然數 n 都有：(Sn1)2anSn，通過計算 S1，S2，S3，猜想 Sn_解析由(S11)2S21得：S112；由(S21)2(S2S1)S2得：S223；由(S31)2(S3S2)S3得：S334.猜想 Snnn1.答案nn1三、解答題10用數學歸納法證明：123252(2n1)213n(4n21)證明(1)當 n1 時，左邊121，右邊131(41)1，等式成立(2)假設當 nk(kN*)時等式成立，即 123252(2k1)213k(4k21)則當 nk1 時，123252(2k1)2(2k1)213k(4k21)(2k1)213k(4k21)4k24k113k4(k1)2113k4(2k1)4k24k113k4(k1)2113(12k212k38k24k)13k4(k1)21134(k1)2113(k1) 4(k1)21即當 nk1 時等式也成立由(1)，(2)可知，對一切 nN*，等式都成立11已知點 Pn(an，bn)滿足 an1anbn1，bn1bn14a2n(nN*)，且點 P1的坐標為(1，1)(1)求過點 P1，P2的直線 l 的方程；(2)試用數學歸納法證明：對于 nN*，點 Pn都在(1)中的直線 l 上解析(1)由題意得 a11，b11，b2114113，a211313，P213，13 .直線 l 的方程為y1131x1131，即 2xy1.(2)當 n1 時，2a1b121(1)1 成立假設 nk(k1 且 kN*)時，2akbk1 成立則 2ak1bk12akbk1bk1bk14a2k(2ak1)bk12ak12ak12ak1，當 nk1 時，2ak1bk11 也成立由知，對于 nN*，都有 2anbn1，即點 Pn在直線 l 上12 設數列an的前 n 項和為 Sn， 且方程 x2anxan0 有一根為 Sn1， n1， 2，3.(1)求 a1，a2；(2)猜想數列Sn的通項公式，并給出嚴格的證明解析(1)當 n1 時，x2a1xa10 有一根為 S11a11，于是(a11)2a1(a11)a10，解得 a112.當 n2 時，x2a2xa20 有一根為 S21a212，于是a2122a2a212 a20，解得 a216.(2)由題設(Sn1)2an(Sn1)an0，即 S2n2Sn1anSn0.當 n2 時，anSnSn1，代入上式得 Sn1Sn2Sn10.由(1)得 S1a112，S2a1a2121623.由可得 S334.由此猜想 Snnn1，n1，2，3.下面用數學歸納法證明這個結論()n1 時已知結論成立()假設 nk(k1，kN*)時結論成立，即 Skkk1，當 nk1 時，由得 Sk112Sk，即 Sk1k1k2，故 nk1 時結論也成立綜上，由()()可知 Snnn1對所有正整數 n 都成立