創(chuàng)新演練一、選擇題1(20 xx浙江紹興一模)橢圓x225y291 上一點 M 到焦點 F1的距離為 2，N 是 MF1的中點，則|ON|等于()A2B4C8D.32B連接 MF2，已知|MF1|2，又|MF1|MF2|10，|MF2|10|MF1|8.如圖，|ON|12|MF2|4.故選 B.2已知橢圓的長軸長是 8，離心率是34，則此橢圓的標準方程是()A.x216y271B.x216y271 或x27y2161C.x216y2251D.x216y2251 或x225y2161Ba4，e34，c3.b2a2c21697.橢圓的標準方程是x216y271 或x27y2161.3(20 xx廣東韶關(guān) 4 月調(diào)研)F1，F(xiàn)2分別是橢圓x2a2y2b21(ab0)的左、右焦點，與直線 yb 相切的F2交橢圓于點 E，E 恰好是直線 EF1與F2的切點，則橢圓的離心率為()A.32B.33C.53D.54C依題意，EF1F2為直角三角形，F(xiàn)1EF290，|F1F2|2c，|EF2|b，由橢圓的定義知|EF1|2ab，又|EF1|2|EF2|2|F1F2|2，即(2ab)2b2(2c)2，整理得 b23a，所以，e2c2a2a2b2a259，故 e53.選 C.4(20 xx沈陽二中月考)已知橢圓x24y21 的兩焦點為 F1，F(xiàn)2，點 M 在橢圓上，MF1,MF2 ,0，則 M 到 y 軸的距離為()A.2 33B.2 63C.33D. 3B由條件知，點 M 在以線段 F1F2為直徑的圓上，該圓的方程是 x2y23，即 y23x2，代入橢圓方程得x243x21，解得 x283，則|x|2 63，即點 M 到 y 軸的距離為2 63.5(20 xx溫州模擬)設(shè)橢圓x2a2y2b21(ab0)的離心率 e12，右焦點為 F(c，0)，方程 ax2bxc0 的兩個實根分別為 x1和 x2，則點 P(x1，x2)()A必在圓 x2y22 內(nèi)B必在圓 x2y22 上C必在圓 x2y22 外D以上三種情形都有可能A由已知得 eca12，則 ca2.又 x1x2ba，x1x2ca，所以 x21x22(x1x2)22x1x2b2a22cab22caa2b2a2a22a2a22，因此點 P(x1，x2)必在圓 x2y22 內(nèi)二、填空題6已知橢圓 G 的中心在坐標原點，長軸在 x 軸上，離心率為32，且橢圓上一點到橢圓的兩個焦點的距離之和為 12，則橢圓 G 的方程為_解析設(shè)橢圓方程為x2a2y2b21(ab0)，根據(jù)橢圓定義知 2a12，即 a6，由ca32，得 c3 3，b2a2c236279，故所求橢圓方程為x236y291.答案x236y2917(20 xx烏魯木齊第一次診斷)如圖，橢圓的中心在坐標原點 O，頂點分別是A1，A2，B1，B2，焦點分別為 F1，F(xiàn)2，延長 B1F2與 A2B2交于 P 點，若B1PA2為鈍角，則此橢圓的離心率的取值范圍為_解析設(shè)橢圓的方程為x2a2y2b21(ab0)，B1PA2為鈍角可轉(zhuǎn)化為B2A2， F2B1所夾的角為鈍角， 則(a， b)(c， b)0，得 b2ac，即 a2c2ac，故ca2ca10，即 e2e10，e512或 e 512，又 0e1，512e1.答案512，1三、解答題8已知橢圓 G：x2a2y2b21(ab0)的離心率為63，右焦點為(2 2，0)斜率為 1的直線 l 與橢圓 G 交于 A， B 兩點， 以 AB 為底邊作等腰三角形， 頂點為 P(3，2)(1)求橢圓 G 的方程；(2)求PAB 的面積解析(1)由已知得 c2 2，ca63.解得 a2 3，又 b2a2c24.所以橢圓 G 的方程為x212y241.(2)設(shè)直線 l 的方程為 yxm.由yxm，x212y241得 4x26mx3m2120.設(shè) A、B 的坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)(x1x2)，AB 中點為 E(x0，y0)，則 x0 x1x223m4，y0 x0mm4.因為 AB 是等腰PAB 的底邊，所以 PEAB.所以 PE 的斜率 k2m433m41.解得 m2.此時方程為 4x212x0.解得 x13，x20.所以 y11，y22.所以|AB|3 2.此時，點 P(3，2)到直線 AB：xy20 的距離 d|322|23 22，所以PAB 的面積 S12|AB|d92.9(20 xx煙臺一模)設(shè) A(x1，y1)，B(x2，y2)是橢圓 C：y2a2x2b21(ab0)上兩點，已知 mx1b，y1a ， nx2b，y2a ， 若 mn0 且橢圓的離心率 e32， 短軸長為 2，O 為坐標原點(1)求橢圓的方程；(2)AOB 的面積是否為定值？如果是，請給予證明；如果不是，請說明理由解析(1)2b2，b1，ecaa2b2a32.a2，c 3.橢圓的方程為y24x21.(2)當直線 AB 的斜率不存在，即 x1x2時，y1y2，由 mn0 得 x21y2140，y214x21.又 A(x1，y1)在橢圓上，x214x2141，|x1|22，|y1| 2，AOB 的面積 S12|x1|y1y2|12|x1|2|y1|1.當直線 AB 的斜率存在時，設(shè) AB 的方程為 ykxb(其中 b0)，代入y24x21，得(k24)x22kbxb240.(2kb)24(k24)(b24)16(k2b24)，x1x22kbk24，x1x2b24k24，由已知 mn0 得 x1x2y1y240，x1x2（kx1b） （kx2b）40， 代入整理得 2b2k24， 代入中， 滿足題意， AOB 的 面 積 S 12|b|1k2|AB| 12|b| （x1x2）24x1x2|b| 4k24b216k244b22|b|1.AOB 的面積為定值 1