專題檢測(cè)（十三）專題檢測(cè)（十三） 數(shù)數(shù) 列列 A 卷卷夯基保分專練夯基保分專練 一、選擇題一、選擇題 1(20 xx 武漢調(diào)研武漢調(diào)研)設(shè)公比為設(shè)公比為 q(q0)的等比數(shù)列的等比數(shù)列an的前的前 n 項(xiàng)和為項(xiàng)和為 Sn.若若 S23a22，S43a42，則，則 a1( ) A2 B1 C.12 D23 解析：解析：選選 B 由由 S23a22，S43a42， 得得 a3a43a43a2，即，即 qq23q23， 解得解得 q1(舍去舍去)或或 q32， 將將 q32代入代入 S23a22 中，得中，得 a132a1332a12， 解得解得 a11. 2已知等比數(shù)列已知等比數(shù)列an的前的前 n 項(xiàng)和為項(xiàng)和為 Snx 3n116，則，則 x 的值為的值為( ) A.13 B13 C.12 D12 解析：解析：選選 C 當(dāng)當(dāng) n1 時(shí)，時(shí)，a1S1x16，當(dāng)，當(dāng) n2 時(shí)，時(shí)，anSnSn1 x 3n116 x 3n216x (3n13n2)2x 3n2，an是等比數(shù)列，是等比數(shù)列， a12x 31223xx16，x12. 3公差不為零的等差數(shù)列公差不為零的等差數(shù)列an的前的前 n 項(xiàng)和為項(xiàng)和為 Sn，若，若 a4是是 a3與與 a7的等比中項(xiàng)，的等比中項(xiàng)，S832，則則 S10等于等于( ) A18 B24 C60 D90 解析：解析： 選選 C 設(shè)數(shù)列設(shè)數(shù)列an的公差為的公差為 d(d0)， 由， 由 a24a3a7， 得， 得(a13d)2(a12d)(a16d)，故故 2a13d0，再由，再由 S88a128d32，得，得 2a17d8，則，則 d2，a13，所以，所以 S1010a145d60. 4已知等差數(shù)列已知等差數(shù)列an的公差為的公差為 d，關(guān)于，關(guān)于 x 的不等式的不等式 dx22a1x0 的解集為的解集為0,9，則使，則使數(shù)列數(shù)列an的前的前 n 項(xiàng)和項(xiàng)和 Sn最大的正整數(shù)最大的正整數(shù) n 的值是的值是( ) A4 B5 C6 D7 解析：解析： 選選 B 關(guān)于關(guān)于 x 的不等式的不等式 dx22a1x0 的解集為的解集為0,9， 0,9 是一元二次是一元二次方程方程 dx22a1x0 的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且 d0，a612d0.使數(shù)列使數(shù)列an的前的前 n 項(xiàng)和項(xiàng)和 Sn最大的正整數(shù)最大的正整數(shù) n 的值是的值是 5. 5(高三高三 廣東五校聯(lián)考廣東五校聯(lián)考)數(shù)列數(shù)列an滿足滿足 a11，且，且 an1a1ann(nN*)，則，則1a11a21a2 016的值為的值為( ) A.4 0322 017 B.4 0282 015 C.2 0152 016 D.2 0142 015 解析：解析：選選 A 由由 a11，an1a1ann 可得可得 an1ann1，利用累加法可得，利用累加法可得 ana1 n1 n2 2， 所以所以 ann2n2，所以，所以1an2n2n2 1n1n1， 故故1a11a21a2 0162 112121312 016 12 0172 112 0174 0322 017. 6設(shè)無窮等差數(shù)列設(shè)無窮等差數(shù)列an的前的前 n 項(xiàng)和為項(xiàng)和為 Sn.若首項(xiàng)若首項(xiàng) a132，公差，公差 d1，則滿足，則滿足 Sk2(Sk)2的正整數(shù)的正整數(shù) k 的值為的值為( ) A7 B6 C5 D4 解析：解析：選選 D 法一：法一：由題意知，由題意知， Sk2k2 a1ak2 2k2 3232k212k2 k22 2， Skk a1ak 2k 3232k12k k2 2， 因?yàn)橐驗(yàn)?Sk2(Sk)2，所以，所以k2 k22 2k2 k2 24，得，得 k4. 法二：法二： 不妨設(shè)不妨設(shè) SnAn2Bn， 則， 則 Sk2A(k2)2Bk2， SkAk2Bk， 由， 由 Sk2(Sk)2得得 k2(Ak2B)k2(AkB)2， 考慮到， 考慮到 k 為正整數(shù)， 從而為正整數(shù)， 從而 Ak2BA2k22ABkB2， 即， 即(A2A)k22ABk(B2B)0，又，又 Ad212，Ba1d21，所以，所以14k2k0，又，又 k0，從而，從而 k4. 二、填空題二、填空題 7(20 xx 長(zhǎng)沙模擬長(zhǎng)沙模擬)等比數(shù)列等比數(shù)列an的公比為的公比為 2，則，則 ln(a2 017)2ln(a2 016)2_. 解析：解析：因?yàn)橐驗(yàn)閍nan1 2(n2)，故，故 anan122，從而，從而 ln(a2 017)2ln(a2 016)2ln a2 017a2 0162ln 2. 答案：答案：ln 2 8(高三高三 福建八校聯(lián)考福建八校聯(lián)考)在數(shù)列在數(shù)列 an中，中，nN*，若，若an2an1an1ank(k 為常數(shù)為常數(shù))，則稱，則稱 an為為“等差比數(shù)列等差比數(shù)列”，下列是對(duì)，下列是對(duì)“等差比數(shù)列等差比數(shù)列”的判斷：的判斷： k 不可能為不可能為 0； 等差數(shù)列一定是等差數(shù)列一定是“等差比數(shù)列等差比數(shù)列”； 等比數(shù)列一定是等比數(shù)列一定是“等差比數(shù)列等差比數(shù)列”； “等差比數(shù)列等差比數(shù)列”中可以有無數(shù)項(xiàng)為中可以有無數(shù)項(xiàng)為 0. 其中所有正確判斷的序號(hào)是其中所有正確判斷的序號(hào)是_ 解析：解析：由等差比數(shù)列的定義可知，由等差比數(shù)列的定義可知，k 不為不為 0，所以，所以正確，當(dāng)?shù)炔顢?shù)列的公差為正確，當(dāng)?shù)炔顢?shù)列的公差為 0，即，即等差數(shù)列為常數(shù)列時(shí)，等差數(shù)列不是等差比數(shù)列，所以等差數(shù)列為常數(shù)列時(shí)，等差數(shù)列不是等差比數(shù)列，所以錯(cuò)誤；當(dāng)錯(cuò)誤；當(dāng) an是等比數(shù)列，且公比是等比數(shù)列，且公比q1 時(shí)，時(shí)， an不是等差比數(shù)列，所以不是等差比數(shù)列，所以錯(cuò)誤；數(shù)列錯(cuò)誤；數(shù)列 0,1,0,1，是等差比數(shù)列，該數(shù)列中有是等差比數(shù)列，該數(shù)列中有無數(shù)多個(gè)無數(shù)多個(gè) 0，所以，所以正確正確 答案：答案： 9(20 xx 福建質(zhì)檢福建質(zhì)檢)已知數(shù)列已知數(shù)列an滿足滿足 a140，且，且 nan1(n1)an2n22n，則，則 an取最小值時(shí)取最小值時(shí) n 的值為的值為_ 解析：解析：由由 nan1(n1)an2n22n2n(n1)， 兩邊同時(shí)除以兩邊同時(shí)除以 n(n1)，得，得an1n1ann2， 所以數(shù)列所以數(shù)列 ann是首項(xiàng)為是首項(xiàng)為40、公差為、公差為 2 的等差數(shù)列，的等差數(shù)列， 所以所以ann40(n1)22n42， 所以所以 an2n242n， 對(duì)于二次函數(shù)對(duì)于二次函數(shù) f(x)2x242x， 在在 xb2a42410.5 時(shí)，時(shí)，f(x)取得最小值，取得最小值， 因?yàn)橐驗(yàn)?n 取正整數(shù)，且取正整數(shù)，且 10 和和 11 到到 10.5 的距離相等，的距離相等， 所以所以 n 取取 10 或或 11 時(shí)，時(shí)，an取得最小值取得最小值 答案：答案：10 或或 11 三、解答題三、解答題 10(20 xx 全國(guó)卷全國(guó)卷)記記 Sn為等比數(shù)列為等比數(shù)列an的前的前 n 項(xiàng)和已知項(xiàng)和已知 S22，S36. (1)求求an的通項(xiàng)公式；的通項(xiàng)公式； (2)求求 Sn，并判斷，并判斷 Sn1，Sn，Sn2是否成等差數(shù)列是否成等差數(shù)列 解：解：(1)設(shè)設(shè)an的公比為的公比為 q. 由題設(shè)可得由題設(shè)可得 a1 1q 2，a1 1qq2 6. 解得解得 a12，q2. 故故an的通項(xiàng)公式為的通項(xiàng)公式為 an(2)n. (2)由由(1)可得可得 Sn 2 1 2 n1 2 23(1)n2n13. 由于由于 Sn2Sn143(1)n2n32n23 2 23 1 n2n132Sn， 故故 Sn1，Sn，Sn2成等差數(shù)列成等差數(shù)列 11已知等差數(shù)列已知等差數(shù)列an的首項(xiàng)為的首項(xiàng)為 a1(a10)，公差為，公差為 d，且不等式，且不等式 a1x23x20 的解集的解集為為(1，d) (1)求數(shù)列求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；的通項(xiàng)公式； (2)若數(shù)列若數(shù)列bn滿足滿足 bnan1n2n，求數(shù)列，求數(shù)列bn的前的前 n 項(xiàng)和項(xiàng)和 Sn. 解：解：(1)由不等式由不等式 a1x23x20 的解集為的解集為(1，d)，可得，可得 a10 且且 1，d 為方程為方程 a1x23x20 的兩根，即有的兩根，即有 1d3a1，d2a1，解得，解得 a11，d2， 則數(shù)列則數(shù)列an的通項(xiàng)公式為的通項(xiàng)公式為 ana1(n1)d2n1. (2)bnan1n2n1n1n1，即，即 bnan1n1n12n11n1n1， 則數(shù)列則數(shù)列bn的前的前 n 項(xiàng)和項(xiàng)和 Sn(132n1) 11212131n1n112n(12n1)11n1n2nn1. 12已知等比數(shù)列已知等比數(shù)列an的前的前 n 項(xiàng)和為項(xiàng)和為 Sn，且，且 6Sn3n1a(nN*) (1)求求 a 的值及數(shù)列的值及數(shù)列an的通項(xiàng)公式；的通項(xiàng)公式； (2)若若 bn(1an)log3(a2n an1)，求數(shù)列，求數(shù)列 1bn的前的前 n 項(xiàng)和項(xiàng)和 Tn. 解：解：(1)6Sn3n1a(nN*)， 當(dāng)當(dāng) n1 時(shí)，時(shí)，6S16a19a， 當(dāng)當(dāng) n2 時(shí)，時(shí)，6Sn13na， 得，得，6an23n， 即即 an3n1， an是等比數(shù)列，是等比數(shù)列，a11，則，則 9a6，得，得 a3， 數(shù)列數(shù)列an的通項(xiàng)公式為的通項(xiàng)公式為 an3n1(nN*) (2)由由(1)得得 bn(1an)log3(a2n an1)(3n2)(3n1)， Tn1b11b21bn 1141471 3n2 3n1 13 114141713n213n1 n3n1. B 卷卷大題增分專練大題增分專練 1新定義運(yùn)算：新定義運(yùn)算： a bc d adbc，若數(shù)列，若數(shù)列an滿足滿足 a123， an1 n an n10. (1)求數(shù)列求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；的通項(xiàng)公式； (2)若數(shù)列若數(shù)列bn滿足：滿足：bnanan1，求數(shù)列，求數(shù)列bn的前的前 n 項(xiàng)和項(xiàng)和 Tn. 解：解：(1)因因?yàn)闉?an1 n an n10，所以，所以(n1)an1nan， 所以數(shù)列所以數(shù)列nan是常數(shù)列，因?yàn)槭浅?shù)列，因?yàn)?a123，所以，所以 nan23，所以，所以 an23n. (2)因?yàn)橐驗(yàn)?bnanan1， 所以所以 bn49n n1 49 1n1n1， 所以所以 Tn49 11212131n1n1 49 11n14n9 n1 ， 所以所以 Tn4n9 n1 . 2已知數(shù)列已知數(shù)列bn滿足滿足 3(n1)bnnbn1，且，且 b13. (1)求數(shù)列求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式；的通項(xiàng)公式； (2)已知已知anbnn12n3，求證：，求證：561a11a21an1. 解：解：(1)因?yàn)橐驗(yàn)?3(n1)bnnbn1， 所以所以bn1bn3 n1 n. 因此，因此，b2b1321，b3b2332，b4b3343，bnbn13nn1， 上面式子累乘可得上面式子累乘可得bnb13n1n， 因?yàn)橐驗(yàn)?b13，所以，所以 bnn 3n. (2)證明：因?yàn)樽C明：因?yàn)閍nbnn12n3， 所以所以 ann n1 2n3 3n. 因?yàn)橐驗(yàn)?an2n3n n1 13n3 n1 nn n1 13n 3n1n113n 1n13n11n113n， 所以所以1a11a21an 113012131 12131 13132 1n13n11n113n11n113n. 因?yàn)橐驗(yàn)?nN*，所以，所以 01n113n16， 所以所以5611n113n1， 所以所以561a11a21an0. 由題意得由題意得 x1x1q3，x1q2x1q2. 所以所以 3q25q20. 因?yàn)橐驗(yàn)?q0，所以，所以 q2，x11， 因此數(shù)列因此數(shù)列xn的通項(xiàng)公式為的通項(xiàng)公式為 xn2n1. (2)過過 P1，P2，Pn1向向 x 軸作垂線，垂足分別為軸作垂線，垂足分別為 Q1，Q2，Qn1. 由由(1)得得 xn1xn2n2n12n1， 記梯形記梯形 PnPn1Qn1Qn的面積為的面積為 bn， 由題意得由題意得 bn nn1 22n1(2n1)2n2， 所以所以 Tnb1b2bn 321520721(2n1)2n3(2n1)2n2. 又又 2Tn320521722(2n1)2n2(2n1)2n1. 得得 Tn321(2222n1)(2n1)2n1 322 12n1 12(2n1)2n1. 所以所以 Tn 2n1 2n12.