課時跟蹤檢測（二十六）課時跟蹤檢測（二十六）臨界知識問題臨界知識問題1某學校要召開學生代表大會，規(guī)定各班每某學校要召開學生代表大會，規(guī)定各班每 10 人推選一名代表，當各班人數(shù)除以人推選一名代表，當各班人數(shù)除以 10的余數(shù)大于的余數(shù)大于 6 時再增選一名代表那么，各班可推選代表人數(shù)時再增選一名代表那么，各班可推選代表人數(shù) y 與該班人數(shù)與該班人數(shù) x 之間的函數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系用取整函數(shù)關(guān)系用取整函數(shù) yx(x表示不大于表示不大于 x 的最大整數(shù)的最大整數(shù))可以表示為可以表示為()Ayx10Byx310Cyx410Dyx510解析解析：選選 B法一法一：特殊值法特殊值法，若若 x56，y5，排除排除 C、D，若若 x57，y6，排除排除 A，所以選所以選 B.法二：法二：設(shè)設(shè) x10m(09)，當，當 06 時，時，x310m310mx10 ，當，當 69 時，時，x310m310m1x10 1，所以選，所以選 B.2對于定義域為對于定義域為 R 的函數(shù)的函數(shù) f(x)，若，若 f(x)在區(qū)間在區(qū)間(，0)和區(qū)間和區(qū)間(0，)上均有零點上均有零點，則稱函數(shù)則稱函數(shù) f(x)為為“含界點函數(shù)含界點函數(shù)”，則下列四個函數(shù)中，不是，則下列四個函數(shù)中，不是“含界點函數(shù)含界點函數(shù)”的是的是()Af(x)x2bx1(bR)Bf(x)2|x1|Cf(x)2xx2Df(x)xsin x解析：解析：選選 D因為因為 f(x)x2bx1(bR)的零點即為方程的零點即為方程 x2bx10 的根，所以的根，所以b240，且方程，且方程 x2bx10 有一正根一負根，故函數(shù)有一正根一負根，故函數(shù) f(x)x2bx1(bR)是是“含含界點函數(shù)界點函數(shù)”；令令 2|x1|0，得，得 x3 或或 x1，故，故 f(x)2|x1|在區(qū)間在區(qū)間(，0)和區(qū)間和區(qū)間(0，)上均有零點，即上均有零點，即 f(x)為為“含界點函數(shù)含界點函數(shù)”；作出作出 yx2和和 y2x的圖象，可知的圖象，可知 f(x)2xx2在區(qū)間在區(qū)間(，0)和區(qū)間和區(qū)間(0，)上均有上均有零點，故零點，故 f(x)2xx2是是“含界點函數(shù)含界點函數(shù)”；因因為為 f(x)xsin x在在R上是增函數(shù)上是增函數(shù)， 且且f(0)0， 故故f(x)xsin x不是不是“含界點函數(shù)含界點函數(shù)”3下列四個函數(shù)下列四個函數(shù)：y2x；y2x；yx2；yxsin x；yxx2x1中中，屬于屬于有界泛函數(shù)的序號是有界泛函數(shù)的序號是_解析：解析：當當 x0 時，時，|yx|22；|yx|sin x|1；|yx|1x2x1|43.對于對于，當，當 x4 時，時，2xx2，|yx|2xx|x2x|x|無界；對于無界；對于，當，當 x0 時，時，|yx|x|無界無界故填故填.答案：答案：4對于具有相同定義域?qū)τ诰哂邢嗤x域 D 的函數(shù)的函數(shù) f(x)和和 g(x)，若存在函數(shù)，若存在函數(shù) h(x)kxb(k，b 為常數(shù)為常數(shù))對任給的正數(shù)對任給的正數(shù) x，存在相應的，存在相應的 x0D 使得當使得當 xD 且且 xx0時，總有時，總有 x時時 f(x)g(x)0，則稱直線則稱直線 l：ykxb 為曲線為曲線 yf(x)和和 yg(x)的的“分漸近線分漸近線”給出定義域均為給出定義域均為 Dx|x1的三組函數(shù)如下：的三組函數(shù)如下：f(x)x2，g(x) x；f(x)10 x2，g(x)2x3x；f(x)2x2x1，g(x)2(x1ex)，其中，曲線其中，曲線 yf(x)和和 yg(x)存在存在“分漸近線分漸近線”的是的是_(填序號填序號)解析：解析：f(x)和和 g(x)存在分漸近線的充要條件是存在分漸近線的充要條件是 x時，時，f(x)g(x)0.對于對于：f(x)x2，g(x) x，因為當因為當 x1，x時時，f(x)g(x) x(x x1)，所以所以不存在；不存在；對于對于：f(x)10 x2，g(x)2x3x，因為當因為當 x1，x時時，f(x)g(x)110 x3x0，所以存在分漸近線；所以存在分漸近線；對于對于：f(x)2x2x1，g(x)2(x1ex)，當當 x1，x時，時，f(x)g(x)211x22ex0，因此，存在分漸近線故存在分漸近線的是因此，存在分漸近線故存在分漸近線的是.答案：答案：5求函數(shù)求函數(shù) f(x)x1515x1(0 x100)的值域的值域(x表示不大于表示不大于 x 的最大整數(shù)的最大整數(shù))解：解：當當 0 x15 時，得時，得 0 x151，則則x15 0，f(x)1.當當 15x100 時，時，115x320，所以所以 f(x)x15 1，因為因為 1x1510015623，所以，所以x15 1,2,3,4,5,6，f(x)0，1，2，3，4，5.所以值域為所以值域為1,0，1，2，3，4，56已知上凸函數(shù)已知上凸函數(shù) f(x)在定義域內(nèi)滿足在定義域內(nèi)滿足 fx1x22f x1 f x2 2.若函數(shù)若函數(shù) ysin x 在在(0，)上是上凸函數(shù)，那么在上是上凸函數(shù)，那么在ABC 中，求中，求 sin Asin Bsin C 的最大值的最大值解：解：因為因為 ysin x 在在(0，)上是上凸函數(shù)，則上是上凸函數(shù)，則13(sin Asin Bsin C)sinABC3sin332，即即 sin Asin Bsin C3 32，當且當且僅當僅當 sin Asin Bsin C 時，即時，即 ABC3時，取等號時，取等號故故 sin Asin Bsin C 的最大值為的最大值為3 32.7 已知不等式已知不等式12131n12log2n， 其中其中 n 為大于為大于 2 的整數(shù)的整數(shù)， log2n表示不超過表示不超過 log2n的最大整數(shù)設(shè)數(shù)列的最大整數(shù)設(shè)數(shù)列an的各項為正，且滿足的各項為正，且滿足 a1b(b0)，annan1nan1，n2,3,4，.(1)證明證明 an2b2blog2n，n3,4,5，；(2)試確定一個正整數(shù)試確定一個正整數(shù) N，使得當，使得當 nN 時，對任意時，對任意 b0，都有，都有 an15.解：解：(1)證明：證明：法一：法一：因為當因為當 n2 時，時，0annan1nan1，所以所以1annan1nan11an11n，即，即1an1an11n，于是有于是有1a21a112，1a31a213，1an1an11n.所有不等式兩邊相加可得所有不等式兩邊相加可得1an1a112131n.由已知不等式知，當由已知不等式知，當 n3 時，有時，有1an1a112log2n因為因為 a1b，所以，所以1an1b12log2n2blog2n2b.所以所以 an2b2blog2n.法二法二： 設(shè)設(shè) f(n)12131n， 首先利用數(shù)學歸納法證不等式首先利用數(shù)學歸納法證不等式 anb1f n b， n3,4,5， .當當 n3 時，由時，由 a33a23a233a21332a12a11b1f 3 b知不等式成立知不等式成立假設(shè)當假設(shè)當 nk(k3，kN*)時，不等式成立，時，不等式成立，即即 akb1f k b，則，則 ak1 k1 ak k1 akk1 k1 ak1k1 k1 1f k bb1 k1 b k1 k1 f k bbb1f k 1k1 bb1f k1 b，即當即當 nk1 時，不等式也成立時，不等式也成立由由知，知，anb1f n b，n3,4,5，.又由已知不等式得又由已知不等式得 anb112log2nb2b2blog2n，n3,4,5，.(2)因為因為2b2blog2n2log2n，令，令2log2n15，則有則有 log2nlog2n10n2101 024，故取故取 N1 024，可使當，可使當 nN 時，都有時，都有 an15.8.如圖，已知異面直線如圖，已知異面直線 a，b 成成 60角，其公垂線段角，其公垂線段(指與指與 a，b 直直線垂直相交的線段線垂直相交的線段)EF2，長為長為 4 的線段的線段 AB 的兩端點的兩端點 A，B 分別在分別在直線直線 a，b 上運動上運動(1)指出指出 AB 中點中點 P 的軌跡所在位置；的軌跡所在位置；(2)求求 AB 中點中點 P 的軌跡所在的曲線方程的軌跡所在的曲線方程解：解：(1)設(shè)設(shè) EF 的中點的中點 O，而，而 P 為為 AB 的中點，故的中點，故 O，P 在在 EF 的的中垂面中垂面上，從而上，從而 P 點軌跡在點軌跡在 EF 的中垂面的中垂面上上(2)設(shè)設(shè) A，B 在面在面上的射影為上的射影為 C，D，則由則由 APPB2，ACBD1，得，得 CD2 3.因為因為 aOC，bOD，所以，所以COD60.在平面在平面內(nèi)內(nèi)，以以 O 為原點為原點，COD 的角平分線為的角平分線為 x 軸的正半軸建軸的正半軸建立直角坐標系如圖設(shè)立直角坐標系如圖設(shè) C 點的坐標為點的坐標為( 3t1，t1)，D 點坐標為點坐標為( 3t2，t2)，則，則 P 點坐標點坐標(x，y)滿足滿足x32 t1t2 ，y12 t1t2 ，因為因為 CD2 3，所以所以 3(t1t2)2(t1t2)212.所以所以x29y21，故，故 P 點軌跡在點軌跡在 EF 的中垂面的中垂面上，且軌跡為橢圓上，且軌跡為橢圓9設(shè)設(shè) P 為橢圓為橢圓x225y2161 長軸上一個動點，過長軸上一個動點，過 P 點斜率為點斜率為 k 的直線交橢圓于的直線交橢圓于 A，B 兩兩點若點若|PA|2|PB|2的值僅依賴于的值僅依賴于 k 而與而與 P 無關(guān)，求無關(guān)，求 k 的值的值解：解：設(shè)點設(shè)點 P 的坐標為的坐標為(a,0)，直線方程為，直線方程為xatcos ，ytsin 代入橢圓方程代入橢圓方程x225y2161 得得(16cos225sin2)t232acos t16a24000.所以所以 t1t232acos 16cos225sin2，t1t216a240016cos225sin2.所以所以|PA|2|PB|2t21t22(t1t2)22t1t232acos 16cos225sin22216a240016cos225sin232 16cos225sin2 a2400cos2625sin2 16cos225sin2 2.因為因為|PA|2|PB|2的值與的值與 P 無關(guān)就是與無關(guān)就是與 a 無關(guān)，所以無關(guān)，所以 16cos225sin20，所以，所以 k45.10已知已知 mR，直線，直線 l：mx(m21)y4m 和圓和圓 C：x2y28x4y160.(1)求直線求直線 l 的斜率的取值范圍；的斜率的取值范圍；(2)直線直線 l 能否將圓能否將圓 C 分割成弧長的比值為分割成弧長的比值為12的兩段圓弧，為什么？的兩段圓弧，為什么？解：解：(1)當當 m0 時，直線時，直線 l 的斜率為的斜率為 0；當當 m0 時，直線時，直線 l 的斜率的斜率 kmm211m1m.當當 m0 時，時，m1m2，所以，所以 0k12；當；當 m0 時，時，m1m2，所以，所以12k0.所以直線所以直線 l 的斜率的取值范圍是的斜率的取值范圍是12，12 .(2)法一法一：因為圓心：因為圓心 C(4，2)到直線到直線 l 的距離的距離 d|4m2 m21 4m|m2 m21 22 m21 m43m21.若直線若直線 l 能將圓能將圓 C 分割成弧長的比值為分割成弧長的比值為12的兩段圓弧，則劣弧對的圓心角為的兩段圓弧，則劣弧對的圓心角為 120.所以所以 dr21，即，即 2(m21) m43m21，化簡得，化簡得 3m45m230.而此方程無實數(shù)解，所以直線而此方程無實數(shù)解，所以直線 l 不能將圓不能將圓 C 分割成弧長的比值為分割成弧長的比值為12的兩段圓弧的兩段圓弧法二：法二：因為直線因為直線 l 的方程可化為：的方程可化為：(m4)x(m21)y0，所以直線，所以直線 l 恒過點恒過點(4,0)，此，此點正好是圓點正好是圓 C 與與 x 軸的切點軸的切點，由幾何知識可得要使直線由幾何知識可得要使直線 l 能將圓能將圓 C 分割成弧長的比值為分割成弧長的比值為12的的兩段圓弧兩段圓弧，則直線則直線 l 的傾斜角為的傾斜角為 60或或 120，所以直線所以直線 l 的斜率為的斜率為 3，這與這與 k12，12 矛矛盾，所以直線盾，所以直線 l 不能將圓不能將圓 C 分割成弧長的比值為分割成弧長的比值為12的兩段圓弧的兩段圓弧