專題二十二 正弦定理和余弦定理【高頻考點解讀】 掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡單的三角形度量問題【熱點題型】題型一 利用正、余弦定理解三角形例1、(1)在ABC中，ABC，AB，BC3，則sinBAC()A.B.C. D.(2)如圖，在ABC中，已知點D在BC邊上，ADAC，sinBAC，AB3，AD3，則BD的長為_ 【提分秘籍】利用正、余弦定理解三角形的關(guān)鍵是合理地選擇正弦或余弦定理進(jìn)行邊角互化，解題過程中注意隱含條件的挖掘以確定解的個數(shù)【舉一反三】在ABC中，已知內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足asinc.(1)求角A的大??；(2)若ABC為銳角三角形，求sin Bsin C的取值范圍 【熱點題型】題型二 三角形形狀的判斷例2、設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若bcos Cccos Basin A，則ABC的形狀為()A銳角三角形B直角三角形C鈍角三角形 D不確定【提分秘籍】 依據(jù)已知條件中的邊角關(guān)系判斷三角形的形狀時，主要有如下兩種方法(1)利用正、余弦定理把已知條件轉(zhuǎn)化為邊邊關(guān)系，通過因式分解、配方等得出邊的相應(yīng)關(guān)系，從而判斷三角形的形狀；(2)利用正、余弦定理把已知條件轉(zhuǎn)化為內(nèi)角的三角函數(shù)間的關(guān)系，通過三角函數(shù)恒等變形，得出內(nèi)角的關(guān)系，從而判斷出三角形的形狀，此時要注意應(yīng)用ABC這個結(jié)論 注意：在上述兩種方法的等式變形中，一般兩邊不要約去公因式，應(yīng)移項提取公因式，以免漏解【舉一反三】在ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a，b，c，且b2c2a2bc.(1)求角A的大??；(2)若sin Bsin Csin2A，試判斷ABC的形狀【熱點題型】題型三 三角形的面積問題例3、在ABC中，角A，B，C對應(yīng)的邊分別是a，b，c.已知cos 2A3cos(BC)1.(1)求角A的大??；(2)若ABC的面積S5，b5，求sin Bsin C的值【提分秘籍】三角形的面積求法最常用的是利用公式Sabsin CacsinBbcsin A去求計算時注意整體運(yùn)算及正、余弦定理的應(yīng)用【舉一反三】在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若acos2ccos2b.(1)求證：a，b，c成等差數(shù)列；(2)若B60，b4，求ABC的面積【熱點題型】題型四 解三角形 例4、在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且2cos2cos Bsin(AB)sin Bcos(AC).(1)求cos A的值；(2)若a4，b5，求向量在方向上的投影【提分秘籍】 正弦定理、余弦定理及其在現(xiàn)實生活中的應(yīng)用是高考的熱點，主要利用正弦定理、余弦定理解決一些簡單的三角形的度量問題以及幾何計算的實際問題，常與三角變換、三角函數(shù)的性質(zhì)交匯命題、多以解答題形式出現(xiàn)【高考風(fēng)向標(biāo)】1(20xx浙江卷) 在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知4sin24sin Asin B2.(1)求角C的大??；(2)已知b4，ABC的面積為6，求邊長c的值2(20xx安徽卷) 設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C所對邊的長分別是a，b，c，且b3，c1，ABC的面積為.求cos A與a的值3(20xx北京卷) 在ABC中，a1，b2，cos C，則c_；sin A_4(20xx福建卷) 在ABC中，A60，AC2，BC，則AB等于_5(20xx廣東卷) 在ABC中，角A，B，C所對應(yīng)的邊分別為a，b，c，則“ab”是“sin Asin B”的()A充分必要條件 B充分非必要條件C必要非充分條件 D非充分非必要條件6(20xx湖北卷) 在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知A，a1，b，則B_7(20xx湖南卷) 如圖14所示，在平面四邊形ABCD中，DAAB，DE1，EC，EA2，ADC，BEC.(1)求sinCED的值；(2)求BE的長圖14 8(20xx江蘇卷) 若ABC的內(nèi)角滿足sin Asin B2sin C，則cos C的最小值是_9(20xx江西卷) 在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c.若3a2b，則的值為()A B. C1 D.10(20xx遼寧卷) 在ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且ac.已知2，cos B，b3.求：(1)a和c的值；(2)cos(BC)的值11(20xx全國卷) ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知3acos C2ccos A，tan A，求B.12(20xx新課標(biāo)全國卷 四邊形ABCD的內(nèi)角A與C互補(bǔ)， AB1，BC3，CDDA2.(1)求C和BD；(2)求四邊形ABCD的面積13(20xx山東卷) ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知a3，cos A，BA.(1)求b的值；(2)求ABC的面積14(20xx陜西卷) ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.(1)若a，b，c成等差數(shù)列，證明：sin Asin C2sin(AC)；(2)若a，b，c成等比數(shù)列，且c2a，求cos B的值 15(20xx重慶卷) 在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且abc8.(1)若a2，b，求cos C的值；(2)若sin Acos2sin Bcos22sin C，且ABC的面積Ssin C，求a和b的值16(20xx安徽卷) 設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C所對邊的長分別為a， b，c，若bc2a，3sin A5sin B，則角C()A. B.C. D.17(20xx北京卷) 在ABC中，a3，b5，sin A，則sin B()A. B.C. D118(20xx全國卷) 設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，(abc)(abc)ac.(1)求B；(2)若sin Asin C，求C.19(20xx福建卷) 如圖16，在等腰直角OPQ中，POQ90，OP2 ，點M在線段PQ上(1)若OM，求PM的長；(2)若點N在線段MQ上，且MON30，問：當(dāng)POM取何值時，OMN的面積最??？并求出面積的最小值圖1620(20xx湖北卷) 在ABC中，角A，B，C對應(yīng)的邊分別是a，b，c.已知cos 2A3cos(BC)1.(1)求角A的大??；(2)若ABC的面積S5 ，b5，求sinB sin C的值21(20xx湖南卷) 在銳角ABC中，角A，B所對的邊長分別為a，b.若2asin Bb，則角A等于()A. B.C. D.22(20xx江西卷) 在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知sin Asin Bsin Bsin Ccos 2B1.(1)求證：a，b，c成等差數(shù)列；(2)若C，求的值23(20xx遼寧卷) 在ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若asin Bcos Ccsin Bcos Ab，且a>b，則B()A. B.C. D.24(20xx新課標(biāo)全國卷)ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知b2，B，C，則ABC的面積為()A2 2 B.1C2 2 D.125(20xx山東卷) ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.若B2A，a1，b，則c()A2 B2 C. D126(20xx陜西卷) 設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若bcos Cccos Basin A，則ABC的形狀為()A直角三角形 B銳角三角形C鈍角三角形 D不確定27 (20xx天津卷) 在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c.已知bsin A3csin B，a3，cos B.(1)求b的值；(2)求sin2B的值28 (20xx四川卷) 在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且cos(AB)cos Bsin(AB)sin(AC).(1)求sin A的值；(2)若a4 ，b5，求向量在方向上的投影【隨堂鞏固】 1在ABC中，A，B，C為內(nèi)角，且sin Acos Asin Bcos B，則ABC是()A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形 D等腰或直角三角形答案：D2在斜三角形ABC中，sin Acos Bcos C，且tan Btan C1，則角A的值為()A. B.C. D.3在銳角ABC中，角A，B所對的邊長分別為a，b.若2asin Bb，則角A等于()A. B.C. D.4在ABC中，A，B， C的對邊分別為a，b，c且acos C，bcos B，ccos A成等差數(shù)列，則B的值為()A. B. C. D.5在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，ac3，且a3bsin A，則ABC的面積等于()A. B.C1 D.6在ABC中，角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，sin A，sin B，sin C成等比數(shù)列，且c2a，則cos B的值為()A. B.C. D.7ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，若a2c22b，且sin B6cos Asin C，則b的值為_8在銳角ABC中，a， b，c是角A，B，C的對邊，且a2csin A.(1)求角C的度數(shù)；(2)若c，且ABC的面積為，求ab的值9已知函數(shù)f(x)2sin xcos x2cos2x，xR.(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期；(2)在銳角ABC中，若f(A)1，求ABC的面積10在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知cos C(cos Asin A)cos B0.(1)求角B的大??；(2)若ac1，求b的取值范圍11已知a，b，c分別為ABC三個內(nèi)角A，B，C的對邊，2bcos C2ac，(1)求B；(2)若ABC的面積為，求b的取值范圍12在ABC中，角A，B，C的對邊分別是a， b，c，已知向量m(cos A，cos B)，n(a,2cb)，且mn.(1)求角A的大??；(2)若a4，求ABC面積的最大值